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  • 2021-10-27 发布

北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明PPT

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第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性,发展推理意识. (重点) 2 . 了解检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理论证等. (难点) 新课导入 以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结 论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受 几个! (1) 图 1 中两条线段 a , b 的长度相等吗?图 2 中的四边形是正方 形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论 . 图 1 图 2 (2) 如图 3, 把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长 l m 的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间 的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想、 象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一 致,并与同伴进行交流 . 图 3 新课导入 新课讲解 知识点 1 证明的必要性 议一议 许多猜想的结论,数学上的一些结论以及数学之外的其他事实,应当追其缘由,推理证明是非常必要的吗? (1) 要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验,观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明. (2) 没有经过严格的推理,仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误 . (3) 对一个结论要肯定其是正确的,必须通过一步一步推理, 论证才能下结论. 新课讲解 结论 (1) 直觉有时会产生错误,不是永远可信的; (2) 图形的性质并不都是通过测量得出的; (3) 对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论, 并不能保证一般情况下都成立; (4) 只有通过推理的方法研究问题,才能揭示问题的本 质. 新课讲解 例 典例分析 1. 一个两位数,它的十位数字为 a ,个位数字为 b ,若把它的 十位数字与个位数字对调,将得到一个新的两位数,这两 个数的和能被 11 整除吗?我们可验证一下:比如 23 ,把它 的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数 32 ,而 23 + 32 = 55 ,因此我们断定,这两个数的和能被 11 整除.问: 上述说法正确吗? 解:上述验证过程只是一个特例,为了验证结论的正确 性,可作如下推理:原两位数为 10 a + b ,得到的新 两位数为 10 b + a , (10 a + b ) + (10 b + a ) = 11( a + b ) , 因为 11( a + b ) 是 11 的整数倍,所以这两个数的 和能被 11 整除. 新课讲解 做一做 新课讲解 知识点 2 检验数学结论的常用方法 (1) 代数式 n 2 - n +11 的值是质数吗?取 n =0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数 n , n 2 - n +11 的值都是质数?与同伴进行交流 . 新课讲解 (2) 如图,在△ ABC 中,点 D , E 分别是 AB , AC 的中点, 连接 DE , DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系? 请你先猜一猜,再设法检验你的猜想 . 你能肯定你的 结论对所有的△ ABC 都成立吗?与同伴进行交流 .  主要有:实验验证、举出反例、推理证明.实验验证是 最基本的方法,它直接反映由具体到抽象、由特殊到一 般的逻辑思维方法;举出反例常用于说明该数学结论不 一定成立;推理证明是最可靠、最科学的方法,是我们 要掌握的重点.实际上每一个正确的结论都需要我们进 行严格的推理证明才能得出.检验数学结论的具体过程: 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论. 新课讲解 方法 检验数学结论常用的三种方法的应用: 实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论;举 出反例法多用于验证某结论是不是正确的;推理证明主 要用来进行严格的推理论证,既可以验证某结论是正确 的,也可以验证某结论是不正确的. 新课讲解 应用 新课讲解 例 典例分析 2. 我们知道: 2×2 = 4 , 2 + 2 = 4. 试问:对于任意数 a 与 b , 是否一定有结论 a × b = a + b ? 分析:通过举反例,找出使 a × b = a + b 不成立的 a , b 的值,就可以得出答案. 解: 3×2 = 6 ,而 3 + 2 = 5 ,因为 6≠5 ,所以不是对于任意数 a 与 b ,都有结论 a × b = a + b . 课堂小结 为什么要证明 证明的必要性 检验数学结论的常用方法 当堂小练 1. 观察图, (1) 中间的圆圈大还是 (2) 中间的圆圈大? 解:一样大. 当堂小练 2. 下列推理正确的是 (    ) A .若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c B .若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c C .因为∠ AOB =∠ BOC ,所以两角是对顶角 D .因为两角的和是 180° ,所以两角互为邻补角 A 当堂小练 3. 下列推理正确的是 (    ) A .弟弟今年 13 岁,哥哥比弟弟大 6 岁,到了明年, 哥哥比弟弟只大 5 岁了,因为弟弟明年比今年长 大了 1 岁 B .如果 a > b , b > c ,那么 a > c C .∠ A 与∠ B 相等,原因是它们看起来大小差不多 D .因为对顶角必然相等,所以相等的角也必是对 顶角 B 拓展与延伸 1. 要判断一个数学结论的正确性,仅依靠经验、观 察和实验是不够的,必须一步一步地进行有根有 据的推理.否定一个结论举出反例就是最有力的 证据. 2. 证明的常用方法:验证法、举反例、推理论证 等. 第七章 平行线的证明 2 定义与命题 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义. (重点) 2 . 会区分命题的条件和结论,了解判断命题真假的方法,通过实例感受证明的过程. (重点、难点) 新课导入 请阅读以下几句话: ( 1 )两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离 . ( 2 )无限不循环小数称为无理数 . ( 3 )今天要下雨 . ( 4 )我们要充满梦想,执着地飞翔 . 新课讲解 知识点 1 定义的概念 概念 1. 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定, 也就是给出它们的定义. 2. 定义是证明的重要依据,它既可以作为性质应用, 又可以作为判定方法应用. 新课讲解 例 典例分析 1. 下列语句属于定义的是 (    ) A .两点确定一条直线 B .两直线平行,同位角相等 C .等角的补角相等 D .三条边都相等的三角形叫做等边三边形 D 议一议 新课讲解 知识点 2 命题的概念 下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有? 与同伴进行交流 . ( 1 )任何一个三角形一定有一个角是直角; ( 2 )对顶角相等; ( 3 )无论 n 为怎样的自然数,式子 n 2 - n +11 的值都是质数; ( 4 )如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也 互相平行; ( 5 )作线段 AB = CD . 定义 新课讲解 判断一件事情的句子,叫做命题. 新课讲解 例 典例分析 2. 下列语句: (1) 时间都去哪儿了? (2) 画一条直线的平行线; (3) 长 方形的四个角都是直角; (4)4 不是偶数.其中命题共有 (    ) 个. A . 1     B . 2     C . 3     D . 4 分析:紧扣命题的定义进行判断: (1) 是一个疑问句,没有 作出判断,所以不是命题; (2) 没有包含判断的意思, 所以不是命题; (3) 对一件事情作出了肯定的判断, 所以是命题; (4) 对事情作出了否定的判断,所以是 命题 . B 新课讲解 知识点 3 命题的构成 命题由 条件和结论 两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 定义 呈现方法:命题通常可以写成“如果 …… 那么 ……” 的 形式;其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出 的部分是结论. 新课讲解 知识点 4 真命题、假命题、反例的概念 做一做 指出下列各命题的条件和结论,其中哪些命题是错 误的?你是如何判断的?与同伴进行交流. ( 1 )如果两个角相等,那么它们是对顶角; ( 2 )如果 a ≠ b , b ≠ c , 那么 a ≠ c ; ( 3 )全等三角形的面积相等; ( 4 )如果室外气温低于 0 ° c , 那么地面上的水一定会结 冰 . 1. 正确的命题称为 真命题 ,不正确的命题称为 假命题 . 2. 要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子, 使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种 例子称为 反例 . 新课讲解 新课讲解 例 典例分析 3. 指出下列命题的条件和结论,并判断是真命题 还是假命题. (1) 互为补角的两个角相等; (2) 若 a = b ,则 a + c = b + c ; (3) 如果两个长方形的周长相等,那么这两个长方形的面积相等. 新课讲解 解: (1) 条件:两个角互为补角;结论:这两个角相等 . 假命题. (2) 条件: a = b ;结论: a + c = b + c . 真命题. (3) 条件:两个长方形的周长相等;结论:这两个 长方形的面积相等.假命题. 新课讲解 知识点 5 公理、证明、定理 定义 公认的真命题为 公理 演绎推理的过程称为 证明 ,经过证明的真命题称为 定理 . 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 定义、命题、基本事实 ( 公理 ) 、定理之间的区别与联系: (1) 联系:这四者都是命题. (2) 区别:定义、基本事实、定理都是真命题, 都可以作为进一步判断其他命题真假的依据, 只不过基本事实是最原始的依据;而命题不 一定是真命题,因而不 能作为进一步判断其 他命题真假的依据 . 新课讲解 新课讲解 例 典例分析 4. 已知:如图 , 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O , ∠ AOC 与 ∠ BOD 是对顶角 . 求证: ∠ AOC = ∠ BOD . 证明:∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O , ∴ ∠ AOB 和 ∠ COD 都是平角 ( 平角的定义 ). ∴ ∠ AOC 和 ∠ BOD 都是 ∠ AOD 的补角 ( 补角的定义 ). ∴ ∠ AOC = ∠ BOD ( 同角的补角相等 ). 由上面的例题,我们可以得到定理: 定理 : 对顶角相等 . 课堂小结 定理与命题 定义 定理 真假命题 公理 证明 当堂小练 1. 下列语句属于定义的有 (    ) ① 含有未知数的等式称为方程; ②等式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 称为两数和的完全平方公式; ③如果 a , b 为实数,那么 ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 ; ④三角形内角和等于 180°. A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 B 当堂小练 2. 下列说法错误的是 (    ) A .命题是判断一件事情的句子 B .基本事实的正确性必须得到证明 C .证明假命题举一个反例即可 D .推理的过程叫做证明 B 3. 在每一步推理后面 的括号内填上理由. 证明: (1) 如图①,因为 AB ∥ CD , EF ∥ CD ,所以 AB ∥ EF (________________________________) . (2) 如图②,因为 AB ∥ CD ,过点 F 画 EF ∥ AB ( _ ___________________________________________) , 所以 EF ∥ CD (______________________________) . 平行于同一条直线的两直线平行 平行于同一条直线的两直线平行 过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 当堂小练 拓展与延伸 古希腊数学家欧几里得 (Eyclid, 公元前 300 前后 ). 公理 : 公认的真命题称为公理 . 原名 : 某些数学名词称为原名 . 证明 : 除了公理外 , 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 . 推理的过程称为证明 . 定理 : 经过证明的真命题称为定理 . 第七章 平行线的证明 3 平行线的判定 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 初步了解证明的基本步骤和书写格式. (重点) 2 . 会根据基本事实 “ 同位角相等,两直线平行 ” 来证明 “ 内错角相等,两直线平行 ” . (重点) 3. 在证明过程,发展初步的演绎推理能力 . (重点) 新课导入 1 、什么是平行线? 2 、判定两条直线平行的基本事实是什么? 新课讲解 知识点 1 与平行线有关的基本事实 1. 平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位 角相等,那么这两条直线平行. 简述: 同位角相等,两直线平行. 2. 平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据. 3. 表达方式: 如图:因为∠ 1 =∠ 2( 已知 ) , 所以 a ∥ b ( 同位角相等,两直线平行 ). 新课讲解 例 典例分析 1. 如图 ,若∠ 1 =∠ 2 ,能否确定 l 1 ∥ l 2 ?为什么?能否确定 l 3 ∥ l 4 ?为什么? 分析:利用平行线的判定公理来判定两直线平行的关键是弄清同 位角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的. 解:能确定 l 1 ∥ l 2 ,理由:同位角相等,两直线平行.不能确定 l 3 ∥ l 4 ,因为∠ 1 和∠ 2 不是直线 l 3 , l 4 被第三条直线所截形 成的同位角. 新课讲解 新课讲解 知识点 2 平行线的判定定理 1 证明 已知:如图, ∠ 1 和 ∠ 2 是直线 a , b 被直线 c 截出的内错角, 且∠ 1=∠2. 求证: a // b . 证明:∵ ∠1=∠2 (已知), ∠1=∠3 (对顶角相等), ∴∠3=∠2 (等量代换) . ∴ a // b (同位角相等,两直线平行) . 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简述: 内错角相等,两直线平行. 判定定理 1 新课讲解 新课讲解 知识点 3 平行线的判定定理 2 小明用下面的方法作出了平行线,你认为他的作法对吗?为什么? ( 1 )已知:如图,∠ 1 和∠ 2 是直线 a , b 被直线 c 截出的同旁内角, 且∠ 1 与∠ 2 互补 . 求证: a // b . 证明 新课讲解 证明:∵∠ 1 与∠ 2 互补(已知), ∴ ∠ 1+ ∠ 2=180° (互补的定义) . ∴ ∠ 1=180°- ∠ 2 (等式的性质) . ∵ ∠ 3+ ∠ 2=180° (平角的定义), ∴ ∠ 3=180°- ∠ 2 (等式的性质) . ∴ ∠ 1= ∠ 3 (等量代换) . ∴ a // b (同位角相等,两直线平行) . 新课讲解 新课讲解 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互 补,那么这两条直线平行.简述为: 同旁内角互补,两直线平行. 判定定理 2 新课讲解 例 典例分析 2. 如图 ,已知∠ ADE = 60° , DF 平分∠ ADE ,∠ 1 = 30° ,试说明: DF ∥ BE . 分析:要想说明 DF ∥ BE ,可通过说明∠ 1 =∠ EDF 来实现,由于∠ 1 = 30° ,所以只需求出 ∠ EDF = 30° ,而这个结论可通过 DF 是 ∠ ADE 的平分线来得到. 新课讲解 解:因为 DF 平分∠ ADE ( 已知 ) , 所以∠ EDF = 又因为∠ ADE = 60° , 所以∠ EDF = 30°. 又因为∠ 1 = 30°( 已知 ) , 所以∠ EDF =∠ 1 , 所以 DF ∥ EB ( 内错角相等,两直线平行 ) . 课堂小结 平行线的判定 两同位角相等,两直线的平行 同旁内角互补,两直线平行 内错角相等,两直线平行 当堂小练 1. 如图,给出下面的推理,其中正确的是 (    ) ① 因为∠ B =∠ BEF ,所以 AB ∥ EF ; ②因为∠ B =∠ CDE ,所以 AB ∥ CD ; ③因为∠ B +∠ BEC = 180° ,所以 AB ∥ EF ; ④因为 AB ∥ CD , CD ∥ EF ,所以 AB ∥ EF . A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④ B 当堂小练 2. 如图,下列条件中,不能判定 AB ∥ CD 的是 (    ) A . AB ∥ EF , CD ∥ EF   B .∠ 1 =∠ A C .∠ ABC +∠ BCD = 180°   D .∠ 3 =∠ 2 D 当堂小练 3. 证明:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 1 2 3 a b c 已知:∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截出的内错角,且∠ 1=∠2 . 求证: a ∥ b 当堂小练 1 2 3 a b c 证明:∵∠ 1=∠2 (已知), ∠ 1+∠3=180° (平角定义) ∴∠ 2+∠3=180° (等量代换) ∴∠ 2 与∠ 3 互补(互补的定义) ∴ a ∥ b (同旁内角互补,两直线平行) 拓展与延伸 蜂房的底部由三个全等的四边形围成,每个 四边形的形状如图所示,其中∠ α=109°28′, ∠ β=70 °32′, 试确定这三个四边形的形状。 第七章 平行线的证明 4 平行线的性质 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握平行线的性质定理,会证明 “ 两直线平行,内错角相等(或同旁内角互补) ” ;了解平行于同一条直线的两条直线平行. (重点、难点) 2 . 了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程. (重点) 3. 进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎推理能力 . (重点) 新课导入 1 、什么叫做平行线? 2 、平行线的判定方法有哪些? 新课讲解 知识点 1 平行线的性质定理 性质 1 :两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等. 简称:两直线平行,同位角相等. 表达方式:如图,因为 a ∥ b , ( 已知 ) 所以∠ 1 =∠ 2.( 两直线平行,同位角相等 ) 性质 2 :两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等. 简称:两直线平行,内错角相等. 表达方式:如图,因为 a ∥ b ( 已知 ) ,所以∠ 1 =∠ 2 ( 两直线平行,内错角相等 ) . 新课讲解 定理:两直线平行,同旁内角互补 . 性质 3 :两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简称:两直线平行,同旁内角互补. 表达方式:如图,因为 a ∥ b ( 已知 ) ,所以∠ 1+ ∠ 2=180°( 两直线平行,同旁内角互补 ) . 新课讲解 新课讲解 知识点 2 平行线的性质(判定)定理 4 定理 平行于同一条直线的两条直线平行 . 新课讲解 1. 已知:如图, b // a , c // a , ∠1 , ∠2 ,∠ 3 是直线 a , b , c 被直线 d 截出的同位角 . 求证: b // c . 例 典例分析 新课讲解 证明:∵ b // a ( 已知), ∴ ∠2=∠1( 两直线平行,同位角相等) . ∵ c // a (已知) , ∴∠3=∠1 (两直线平行,同位角相等) . ∴∠2 = ∠ 3 (等量代换) . ∴ b // c (同位角相等,两直线平行) . 新课讲解 知识点 3 证明的一般步骤 ( 1 )根据题意画出图形; ( 2 )根据已知条件、结论结合图形写出已知、求证; ( 3 )根据已有的定义、基本事实和定理进行推理论证; ( 4 )检查证明过程是否正确。 步骤 课堂小结 平行线的判定 → ← 互逆 平行线的判定 两同位角相等,两直线的平行 同旁内角互补,两直线平行 内错角相等,两直线平行 当堂小练 1. 如图,已知 AB ∥ DE ,∠ ABC = 70° , ∠ CDE = 140° ,则∠ BCD 为 (    ) A . 20° B . 30° C . 40° D . 70° 2. 如图, AB ∥ EF , CD ⊥ EF ,∠ BAC = 50° , 则∠ ACD = (    ) A . 120° B . 130° C . 140° D . 150° B C 当堂小练 3. 如图,已知∠ ABC 与∠ ECB 互补,∠ 1 =∠ 2 ,则∠ P 与∠ Q 一定相等吗?说说你的理由 . 分析:如果∠ P 和∠ Q 相等,那么 PB ∥ CQ , 所以要判断∠ P 与∠ Q 是否相等,只需判断 PB 和 CQ 是否平行.要说明 PB ∥ CQ ,可以 通过说明∠ PBC =∠ BCQ 来实现,由于 ∠ 1 =∠ 2 ,只需说明∠ ABC =∠ BCD 即可. 当堂小练 解:∠ P =∠ Q . 理由:∵∠ ABC 与∠ ECB 互补 ( 已知 ) , ∴ AB ∥ ED ( 同旁内角互补,两直线平行 ) . ∴∠ ABC =∠ BCD ( 两直线平行,内错角相等 ) . ∵∠ 1 =∠ 2( 已知 ) , ∴∠ ABC -∠ 1 =∠ BCD -∠ 2( 等式的性质 ) , 即∠ PBC =∠ BCQ . ∴ PB ∥ CQ ( 内错角相等,两直线平行 ) . ∴∠ P =∠ Q ( 两直线平行,内错角相等 ) . 拓展与延伸 一个数学问题的构成含有四个要素:题目的 条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论, 如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结 论虽未指明,但它是完全确定的,这样的问题就 是封闭性的数学问题. 第七章 平行线的证明 课时1 三角形的内角和 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 证明三角形内角和定理,并能运用这些定理解决简单问题。 (重点) 新课导入 我们知道,三角形内角和等于 180°. 你还记得这个结论的探索过程吗? ( 1 )如图,如果我们只把∠ A 移到∠ 1 的位置,你能说明这个结论吗?如果不移动∠ A ,那么你还有什么方法可以达到同样的效果? ( 2 )根据前面给出的基本事实和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴进 行交流 . 新课讲解 知识点 1 三角形内角和定理 已知:如图,△ ABC . 求证: ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 图 1 合作探究 新课讲解 分析:延长 BC 到 D ,过点 C 作射线 CE // BA ( 图 2) ,这样 就相当于把 ∠ A 移到了 ∠1 的位置,把 ∠ B 移了 ∠2 的位置 . 图 2 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线. 新课讲解 证明:延长 BC 到 D ,过点 C 作射线 CE // BA ,则 ∠ 1= ∠ A (两直线平行,内错角相等), ∠2=∠ B (两直线平行,同位角相等) . ∵ ∠ l+ ∠ 2+ ∠ ACB =180° (平角的定义), ∴∠ A +∠ B +∠ ACB =180° (等量代换) . 三角形的内角和等于 180°. 结论 课堂小结 三角形内角和 三角形内角和定理 三角形内角和 定理 的证明 当堂小练 1. 在 △ ABC 中,∠ A ∶∠ B ∶∠ C = 1∶2∶3 ,试判断△ ABC 的形状,并说明理由. 解: △ ABC 直角三角形,理由:∵∠ A ∶∠ B ∶∠ C = 1∶2∶3 , ∴可设∠ A ,∠ B ,∠ C 的度数分别为 x ° , 2 x ° , 3 x °. 在△ ABC 中,∵∠ A +∠ B +∠ C = 180° , ∴ x + 2 x + 3 x = 180 ,解得 x = 30. ∴∠ A +∠ B = x ° + 2 x ° = 3 x ° = 90°. ∴∠ C = 180° - 90° = 90°. ∴△ ABC 是直角三角形. 当堂小练 2. 如图, AB ∥ CD , AE 交 CD 于点 C , ∠ A = 34° ,∠ DEC = 90° ,则∠ D 的度数为 (    ) A . 17° B . 34° C . 56° D . 124° C 拓展与延伸 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若 ∠ 3 = 50° ,则∠ 1 +∠ 2 = (    ) A . 90° B . 100° C . 130° D . 180° B 第七章 平行线的证明 课时2 三角形的外角 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 证明三角形内角和定理,掌握它的两个推论,并能运用这些定理解决简单问题。 (重点) 新课导入 三角形的内角和定理是什么? 新课讲解 知识点 1 三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角.如图中的∠ ACD 的一条边是△ ABC 的边 AC ,另一条边是△ ABC 的边 BC 的延长线. 概念 新课讲解 例 典例分析 1. 在 △ ABC 中, ∠ A 等于和它相邻的外角的四分 之一,这个外角等于 ∠ B 的两倍,那么 ∠ A = ______ , ∠ B = ______ , ∠ C = _____. 分析: ∠ A 和与它相邻的外角互为邻补角, ∠ A 又等于和它相邻的外角的四分之一,所以 ∠ A = 36° , ∠ A 的外角为 144 ° ,所以 ∠ B = 72° ,根据三角 形内角和为 180° ,可以求得 ∠ C = 72°.     36° 72° 72° 新课讲解 知识点 2 三角形内角和定理的推论 推论 1. 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 新课讲解 例 典例分析 2. 已知:如图,在△ ABC 中,∠ B =∠ C , AD 平分外角∠ EAC . 求证: AD // BC . 分析:要证明 AD // BC , 只需证明“同位角相等” 或“内错角相等”或 “同旁内角互补” . 新课讲解 证明:∵∠ EAC =∠ B +∠ C (三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和 ), ∠ B =∠ C (已知), ∴∠ C = ∵ AD 平分∠ EAC (已知), ∴∠ DAC = ∴∠ DAC =∠ C (等量代换) . ∴ AD // BC (内错角相等,两直线平行) . 新课讲解 知识点 3 证明的一般步骤 ( 1 )根据题意画出图形; ( 2 )根据已知条件、结论结合图形写出已知、求证; ( 3 )根据已有的定义、基本事实和定理进行推理论证; ( 4 )检查证明过程是否正确。 步骤 课堂小结 平行线的判定 → ← 互逆 平行线的判定 两同位角相等,两直线的平行 同旁内角互补,两直线平行 内错角相等,两直线平行 当堂小练 1. 如图,在△ ABC 中,∠ B = 40° ,∠ C = 30° ,延长 BA 至点 D ,则∠ CAD 的大小为 (    ) A . 110° B . 80° C . 70° D . 60° 2. 如图,△ ABC 中,∠ A = 40° ,点 D 为 AB 延长线 上一点,且∠ CBD = 120° ,则∠ C 等于 (    ) A . 40° B . 60° C . 80° D . 100° C C 当堂小练 3. 三角形的外角和等于 360°. 已知:∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 为△ ABC 的三个外角,如图. 求证:∠ 1+∠2+∠3=360° . 证明: ∵∠ 1+∠ BAC =180° ,∠ 2+∠ BCA =180° ,∠ 3+∠ ABC =180° , ∴∠ 1+∠2+∠3+ (∠ BAC +∠ BCA +∠ ABC ) =540 (等式性质) . ∵∠ BAC +∠ BCA +∠ ABC =180° (三角形内角和定理), ∴∠ 1+∠2+∠3=360°. 拓展与延伸 如图 ,△ CEF 的外角为 ________________ . 分析:图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF 的延长线 FA , CE 的延长线 EB ,延长线 FA 与边 CF 构成的角为∠ AFC ; 延长线 EB 与边 EF 构成的角为∠ BEF . 由三角形外角的 概念可以判断∠ AFC ,∠ BEF 是△ CEF 的外角. ∠ AFC ,∠ BEF