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- 2021-10-27 发布
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第五章 二元一次方程组
*5.8 三元一次方程组
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组.
1.解二元一次方程组有哪几种方法?
2.解二元一次方程组的基本思路是什么?
二元一次方程组
代入
加减
消元 一元一次方程
化未知为已知 化归转化思想
代入消元法和加减消元法 消元法
【问题】已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数
大1,甲数的两倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
上述问题中,设甲数为x,乙数为y,丙数为z,
由题意可得到方程组:
2 3,
1,
2 2 0 .
x y z
x y
x y z
这个方程组和前面
学过的二元一次方
程组有什么区别和
联系?
三元一次方程组的概念1
在这个方程组中,x+y+z=23和2x+y-z=20
都含有三个未知数,并且所含未知数的项的
次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程.
像这样,共含有三个未知数的三个一次方
程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做
这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢?
能不能像以前一
样“消元”,把
“三元”化成
“二元”呢?
2 3,
1,
2 2 0 .
x y z
x y
x y z
三元一次方程组的解2
【例1】解方程组
解:由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得
y=8,z=6
把y=8代入④,得x=9
所以原方程的解是
x=9,
y=8,
z=6.
23,
1,
2 20.
x y z
x y
x y z
解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或
“加减”进行 ,把 转化为 ,使解
三元一次方程组转化为解 ,进而再转
化为解 .
三元一次方
程组
二元一次方
程组
一元一次方
程
消元 消元
消元 “三元” “二元”
二元一次方程组
一元一次方程
【练习】解方程组
解:将③分别代入①②③得
2y+z=22 ④
3y-z=18 ⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组,得
y=3, z=2
把y=3, z=2代入③,得x=5.
所以原方程的解是
x=5,
y=3,
z=2.
10...........
3 18...............
...................
x y z
x y
x y z
①
②
③
【例2】在等式 y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意,得三元一次方程组
a-b+c= 0, ①
4a+2b+c=3, ②
25a+5b+c=60. ③
②-①, 得 a+b=1 ④
③-①,得 4a+b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a+b=1,
4a+b=10.
a=3,
b=-2.解这个方程组,得
把 代入①,得
a=3,
b=-2 c=-5,
a=3,
b=-2,
c=-5.
因此
1.解方程组 ,则x=_____,
y=______,z=_______.
x+y-z=11,
y+z-x=5,
z+x-y=1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数,可采取①
+②求出y, ②+ ③求出z,最后再将y与z的值代
入任何一个方程求出x即可.
6
8 3
2.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z的值
为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数,可采取两个方程相加得,
5x+5y+5z=25,所以x+y+z=5.
D
3.若|a-b-1|+(b-2a+c)2+|2c-b|=0,求a,b,
c的值.
解:因为三个非负数的和等于0,所以每个非负数都为0.
可得方程组 解得
1 0,
2 0,
2 0.
a b
b a c
c b
3,
4,
2.
a
b
c
4.一个三位数,十位上的数字是个位上的数字的 ,
百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.
将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位
数大495,求原三位数.
解:设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意,得
解得
答:原三位数是368.
4
3
3 ,
4
1,
100 10 100 10 495.
y z
x y z
z y x x y z
3 ,
6 ,
8 .
x
y
z
三元一次方程组
三元一次方程组
的概念
三元一次方程组
的解法