人教版数学八年级上册《角的平分线的性质》同步练习 4页

12.3 角的平分线的性质 基础巩固 1．作∠AOB 的平分线 OC，合理的顺序是( ) ①作射线 OC；②以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E；③分别以 D，E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于点 C. A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 2．三角形中到三边距离相等的点是( ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点 3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是( ) A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD 4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于点 D，如果 AC＝3 cm，那么 AE＋DE 等于( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 5．△ABC 中，∠C＝90°，点 O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD⊥BC 于 D，OE⊥AC 于 E， OF⊥AB 于 F，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离为( ) A．2 cm,2 cm,2 cm B．3 cm,3 cm,3 cm C．4 cm,4 cm,4 cm D．2 cm,3 cm,5 cm 6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，且 CD＝CE，则∠DCO＝__________. 7．在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC＝32，且 BD∶CD＝9∶7，则 D 到 AB 的距离为_________． 8．点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC 的度数为__________． 能力提升 9．如图，BN 是∠ABC 的平分线，P 在 BN 上，D，E 分别在 AB，BC 上，∠BDP＋∠BEP＝180°， 且∠BDP，∠BEP 都不是直角．求证：PD＝PE. 10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD＝DF. (1)求证：CF＝EB； (2)请你判断 AE，AF 与 BE 的大小关系，并说明理由． 11．八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图)．设计了如下方案： ①∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA，OB 之间，移动角尺使角尺两边 相同的刻度与 M，N 重合，即 PM＝PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． ②∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM＝ON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA， OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM＝PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． (1)方案①、方案②是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由． (2)在方案①PM＝PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？ 请说明理由． 参考答案 1．C 2．D 点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角 形三边距离相等的是三条内角平分线的交点． 3．D 点拨：由角平分线的性质得，PE＝PD，进而可证△PEO≌△PDO，得 OE＝OD，∠DPO＝ ∠EPO，但 PD＝OD 是错误的． 4．B 点拨： 因为 BE 平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB 于点 D，所以 DE＝EC，那么 AE＋ DE＝AE＋EC＝AC＝3 cm. 5．B 点拨：因为点 O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD⊥BC 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥AB 于 F ， 所 以 设 点 O 到 三 边 AB ， AC ， BC 的 距 离 为 x cm ， 由 三 角 形 的 面 积公 式 得 ， 1 1 1 16 8 10 6 82 2 2 2x x x        ，解得 x＝2(cm)． 6．60° 点拨：因为 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，且 CD＝CE，所以 OC 为∠AOB 的平分 线，所以∠AOC＝30°，所以∠DCO＝60°. 7．14 点拨：设 BD＝9x，CD＝7x，所以 9x＋7x＝32，解得 x＝2，所以 BD＝18，CD＝14.AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，则 D 到 AB 的距离等于 CD＝14. 8．120° 点拨：点 O 到三边的距离相等，所以点 O 是三个内角的平分线的交点，又因为 ∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°， 1 1 602 2ABC ACB     ， 所以∠BOC＝180°－60°＝120°. 9．证明：过点 P 分别作 PF⊥AB 于 F，PG⊥BC 于 G，因为 BN 是∠ABC 的平分线，所以 PF＝ PG. 又因为∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°， 所以∠BDP＝∠PEG.在△PFD 和△PGE 中， FDP GEP PFD PGE PF PG         ， ， ， ∴△PFD≌△PGE(AAS)， ∴PD＝PE. 10．(1)证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∠DEB＝∠C ＝90°， 在 Rt△DCF 与 Rt△DEB 中， DF DB DC DE    ， ，∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)， ∴CF＝EB. (2)解：AE＝AF＋BE. 理由如下：∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD， 又∵∠C＝∠DEA＝90°， ∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE， 由(1)知 BE＝CF， ∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE，即 AE＝AF＋BE. 11．(1)方案①不可行．缺少证明三角形全等的条件． 方案②可行． 证明：在△OPM 和△OPN 中， OM ON PM PN OP OP      ， ， ， ∴△OPM≌△OPN(SSS)． ∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形对应角相等)． (2)解：当∠AOB 是直角时，此方案可行． ∵四边形内角和为 360°，又若 PM⊥OA，PN⊥OB， ∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵若 PM⊥OA，PN⊥OB，且 PM＝PN， ∴OP 为∠AOB 的平分线．(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)，当∠AOB 不为直 角时，此方案不可行．