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  • 2021-10-27 发布

精品人教版八年级数学上册第十一章11.3多边形及其内角和

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第十一章 三角形 11.3多边形及其内角和 第1课时 1.掌握多边形的定义及有关概念,能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.(重点) 3.会求多边形的对角线的条数.(难点) 学习目标 导入新课 情景引入 在实际生活当中,除了三角形,还有许多由线段围成 的图形.观察图片,你能找到由一些线段围成的图形吗? 中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼——五角大楼 讲授新课 问题2 观察画某多边形的过程,类比三角形的概念, 你能说出什么是多边形吗? 在平面内,由一些线段首尾 顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形. 问题1 什么是三角形? 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 多边形的定义及相关概念 思考:比较多边形的定义与三角形的定义,为什么要 强调“在平面内”呢?怎样命名多边形呢? 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面 内,而四点,五点,甚至更多的点就有可能不在同 一个平面内. 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写,可以按顺时针或逆时 针的顺序. 问题3 根据图示,类比三角形的有关概念,说明什么是多边形 的边、顶点、内角、外角. n边形有n个顶点, n条边,n个内角, 2n个外角. 多边形按它的边数可分为:三角形,四边形,五边形等等.其 中三角形是最简单的多边形. 问题4 请分别画出下列两个图形各边所在 的直线,你能得到什么结论? (1) (2) 如图(1)这样,画出多边形的任何一条边所在的直线, 整个多边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就 是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形. A B C D E F G H 此类多边形被 一条边所在的 直线分成了两 部分,不在这 条直线同侧是 凹多边形. 例1 凸六边形纸片剪去一个角后,得到的多边形的边数可能 是多少?画出图形说明. 解:∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情 况,∴新多边形的边数为7、5、6三种情况, 如图所示. 一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一 条,也可能不变或减少了一条. 典例精析 总结 A B C D E u定义: 连接多边形不相邻的两个顶 点的线段,叫做多边形的对 角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线,多边 形的对角线通常用虚线表示. 注意 多边形的对角线 三角形 六边形四边形 八边形 …… 五边形 探究:请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数: 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形 从同一顶点 引出的对角 线的条数 分割出的三 角形的个数 0 1 2 3 5 n-3 1 2 3 4 6 n-2 ( 3) 2 n n  归纳总结 例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这 些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21, 求这个多边形的边数. 解:设这个多边形为n边形,则有(n-3)条对角线, 所分得的三角形个数为n-2, ∴n-3+n-2=21, 解得n=13. 答:该多边形的边数有13条. 画一画:画出下列多边形的全部对角线. u定义: 像正方形这样,各个角都相等,各条边都相等的多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正多边形 想一想:下列多边形是正多边形吗?如不是,请说明为什么? (四条边都相等) (四个角都相等) 答:都不是,第一个图形不符合四个角都相等;第二个 图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形,各边都相等,各角 都相等,两个条件必须同时具备. 注意 当堂练习 1.下列多边形中,不是凸多边形的是( ) A B C D B 2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是 一个四边形,则这张纸片原来的形状不可能是( ) A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形 A 3.九边形的对角线有( ) A.25条 B.31条 C.27条 D.30条 C 4.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条 对角线,则这是 边形.十三 5.过八边形的一个顶点画对角线,把这个八边形分割 成 个三角形.六 课堂小结 多边形 定 义 前提条件是在一个平面内 对 角 线 它是多边形的一条重要线段,在 今后通常作对角线把多边形的问 题转化为三角形和四边形的问题 正 多 边 形 定义既是判定也是性质 第十一章 三角形 11.3多边形及其内角和 第2课时 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式. (重点) 2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题. (难点) 学习目标 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的 想象力结合,创造了这个“abeilles bee pavilion”. 导入新课 情景引入 思考:你知道正六边形的内角和是多少吗? 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度? 问题1 三角形内角和是多少度? 三角形内角和 是180°. 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度? 讲授新课 多边形的内角和 猜想:四边形ABCD的内角和是360°. 问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗? 猜想与证明 方法1:如图,连接AC, 所以四边形被分为两个三角形, 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D A B C D E  方法2:如图,在CD边上任取一点E,连接AE,DE, 所以该四边形被分成三个三角形, 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3- 180°=360°. 方法3:如图,在四边形ABCD内部取一点E, 连接AE,BE,CE,DE, 把四边形分成四个三角形:△ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD内角和为: 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A B C D E A B C D P  方法4:如图,在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180° ×3- 180° = 360°. 这四种方法都运用 了转化思想,把四 边形分割成三角形, 转化到已经学了的 三角形内角和求解. 结论: 四边形的内角和为360°. 例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么 关系?试说明理由. 解: 如图,四边形ABCD中, ∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2) ×180 °= 360 °,因为 ∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C) = 360°- 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角互补. 典例精析 【变式题】如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE平 分∠ABC,DF平分∠ADC,若BE∥DF,求证:△DCF为直 角三角形. 证明:∵在四边形ABCD中,∠A与∠C互补, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC, ∴∠CDF+∠EBF=90°, ∵BE∥DF,∴∠EBF=∠CFD, ∴∠CDF+∠CFD=90°, 故△DCF为直角三角形. 运用了整体思想 A C D E B A B C D E F 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方 法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180° ×3 = 540°. 内角和为180° ×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和分割出三角 形的个数 从多边形的一顶点 引出的对角线条数图形边数 ······ 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 ( n -2 )·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ············ 由特殊到一般  分割 多边形 三角形 分割点与多边 形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °. 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°,并且这个多边形的各内角都相等,这个多 边形的每个内角是多少度? 解:设这个多边形边数为n,则 (n-2)•180=360+720, 解得n=8, ∵这个多边形的每个内角都相等, (8-2)×180°=1080°, ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°. 典例精析 例3 已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°. (1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取 630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不 对,说明理由; 解:∵360°÷180°=2, 630°÷180°=3......90°, ∴甲的说法对,乙的说法不对, 360°÷180°+2=4. 故甲同学说的边数n是4; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加 了360°,用列方程的方法确定x. 解:依题意有 (n+x-2)×180°-(n-2) ×180°=360°, 解得x=2. 故x的值是2. 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为 1125°,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这 个内角是多少度?他求的是几边形的内角和? 解:设此多边形的内角和为x, 则有1125°<x<1125°+180°, 即180°×6+45°<x<180°×7+45°, 因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数, 所以x=180°×7=1260°. 所以7+2=9,1260°-1125°=135°. 因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形. 思路点拨:多边形的内角的度数在0°~180°之间. 例4 如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°, ∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度 数. 解析:根据五边形的内角和等于540°,由∠C,∠D, ∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数,再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和,进一步求 得∠P的度数. 可运用了 整体思想 解:∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°, ∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°, ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠EAB, ∴∠PAB= ∠EAB, 同理可得∠ABP= ∠ABC, ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°, ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板,你知道这 是为什么吗? 如图,在五边形的每个顶点处 各取一个外角,这些外角的和 叫做五边形的外角和. 问题1:任意一个外角和它相邻的内角有什么关系? 问题2:五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少? E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 多边形的外角和 E B C D 1 2 3 4 5 A五边形外角和 =360 ° =5个平角-五边形内角和 =5×180°-(5-2) × 180° 结论:五边形的外角和等于360°. 问题3:这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系? 在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和 叫做n边形的外角和. n边形外角和 n边形的外角和等于360°. -(n-2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考:n边形的外角和又是多少呢? 与边数无关 问题4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每 个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么? 每个内角的度数是 每个外角的度数是 ( 2) 180 ,n n    360 .n  练一练: (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正__边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形. 六 正八 典例精析 例4 已知一个多边形,它的内角和等于外角和的 2倍,求这个多边形的边数. 解: 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n-2)•180°, 多边形外角和等于360°, ∴ (n-2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2,求这个多边形的边数. 解法一:设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180, 解得x=20. 即每个内角是140 °,每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答:这个多边形是九边形. 还有其他 解法吗? 解法二:设这个多边形的边数为n ,根据题意得 解得n=9. 答:这个多边形是九边形.  180 2 7 ,360 2 n   【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数. 解:设该正多边形的内角是x°,外角是y°, 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°, 则该正多边形的边数为360÷120=3, 故这个多边形的每个内角的度数是60°,边数是三 条. 60, 180, y x x y      60, 120. x y    例6 如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,求 ∠BED的度数. 解:由题意得 AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°, 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.   ° °5 2 180 =1085A AED   ∠ ∠ , 1 2 当堂练习 1.判断. (1)当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的 每一个内角等于______.120° 3.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左 转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…, 照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的 路程一共是________米.150 4.一个多边形的内角和不可能是( ) A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形 内角和等于( ) A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° B 6. 一个多边形的内角和为1800°,截去一个角 后,求得到的多边形的内角和. 解:∵1800÷180=10, ∴原多边形边数为10+2=12. ∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能 不变,也可能加1, ∴新多边形的边数可能是11,12,13, ∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°. 能力提升:如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+ ∠6+∠7的度数. 解:如图, ∵∠3+∠4=∠8+∠9, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7 =五边形的内角和=540°. 8 9 课堂小结 多边形 的内角 和 内角和计 算 公 式 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数) 外 角 和 多边形的外角和等于360° 特别注意:与边数无关. 正 多 边 形 内角= ,外角=( 2) 180n n    360 n 