八年级数学全等三角形复习 5页

全等三角形复习 一、知识点： 1． 全等三角形：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。 ⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合 的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 ⑶全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 2.三角形全等的性质： 全等三角形的识别：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形） 3．角平分线的性质：⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑵角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 二、经验与提示 1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边 是对应边． ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角． ③有公共边的，公共边一定是对应边． ④有公共角的，公共角一定是对应角． ⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角) 2．找全等三角形的方法 （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等 的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 3．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。 4．证明线段相等的方法： （1）中点定义； （2）等式的性质； （3）全等三角形的对应边相等； （4）借助中间线段（即要证 a=b,只需证 a=c,c=b 即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。 5．证明角相等的方法： （1） 对顶角相等； （2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等； （3） 两直线平行，同位角、内错角相等； （4） 角的平分线定义； （5） 等式的性质； （6） 垂直的定义； （7） 全等三角形的对应角相等； （8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。 6．证垂直的常用方法 （1） 证明两直线的夹角等于 90°； （2） 证明邻补角相等； （3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角； （4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。 （5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等； （6） 邻补角的平分线互相垂直。 7．全等三角形中几个重要结论 （1） 全等三角形对应角的平分线相等； （2） 全等三角形对应边上的中线相等； （3） 全等三角形对应边上的高相等。 三、典型例题 例 1．已知 ， 求证： 。 证明： 文字叙述题 例 2：求证：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。 已知：如图， ，求证： . 证明： 例 3 已知：如图,已知 AB=DC,AC = DB,AC 和 DB 相交于点 O . 求证:OB=OC； 略证：证明 。 例 4 已知：如图，已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，PＢ＝ＰC. 求证：PA=PD． 略证：证明 即可。 全等三角形的应用(生活实际问题) （1）利用全等三角形配玻璃 例 5 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一 块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） （A）带①去 （B）带②去 （C）带③去 （D）带①和②去 答案：C （1） 利用全等测距离 例 6 如图，工人师傅把两根钢条 AA’和 BB’中心铆在一起，可以 做成一个测量工件内槽宽度的工具，请你结合图形，并利用你学过 的知识，解释一下它的工作原理。 答案：证明 即可。 三角形中常见辅助线的作法 1、延长中线构造全等三角形 例 1 如图 1，已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6，求 AD 的取值范围． 提示：延长 AD 至 A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得 AC＝A＇B．这 样将 AC 转移到△A＇BA 中，根据三角形三边关系定理可解． 2、引平行线构造全等三角形 例 2 如图 2，已知△ABC 中，AB＝AC，D 在 AB 上，E 是 AC 延长线上一点，且 BD＝CE，DE 与 BC 交于点 F． 求证：DF=EF． 提示：此题辅助线作法较多，如： ①作 DG∥AE 交 BC 于 G； ②作 EH∥BA 交 BC 的延长线于 H； 再通过证三角形全等得 DF＝EF． 3、作连线构造等腰三角形 例 3 如图 3，已知 RT△ACB 中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为 D，交 BC 于 E． 求证：BD=DE=CE． 提示：连结 DC，证△ECD 是等腰三角形． 4、利用翻折，构造全等三角形． 例 4 如图 4，已知△ABC 中，∠B＝2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D．求证：AC＝AB＋BD． 提示：将△ADB 沿 AD 翻折，使 B 点落在 AC 上点 B＇处，再证 BD=B＇D＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇， △B＇DC 是等腰三角形，于是结论可证． 5、作三角形的中位线 例 5 如图 5，已知四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线交 EF 的延长 线于点 M、N．求证：∠BME＝∠CNE． 提示：连结 AC 并取中点 O，再连结 OE、OF． 则 OE∥AB，OF∥CD， 故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．、 且 OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．