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- 2021-10-27 发布
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人教版数学初二下学期第十六章知识点总结
第十六章 二次根式
【知识回顾】
1.二次根式:式子 a( a≥0)叫做二次根式。
2. 简二次根式:必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶
分母中不含根式。
3.同类二次根式:
二次根式化成 简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类
二次根式。
4.二次根式的性质:
(1)( a)2= a ( a≥0); (2) aa 2
5.二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,
就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么
先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的
正因式平方后移到根号里面.
(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成 简二次根式再合并同类二次
根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),
所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为 简二次根式.
a( a>0)
a ( a<0)
0 ( a =0);
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ab = a· b (a≥0,b≥0);
b b
a a
(b≥0,a>0).
(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的
分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
A. a>b B. a0,b>0 时,则:
① 1
a
a b
b
; ② 1
a
a b
b
例 8、比较5 3 与 2 3 的大小。
5、规律性问题
例 1. 观察下列各式及其验证过程:
,验证: ;
验证: .
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人教版数学初二下学期第十七章知识点总结
第十七章 勾股定理
1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a
2
+b
2
=c
2
。
2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a
2
+b
2
=c
2
。,那么这个三角形
是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命
题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90°∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下: BC=
2
1
AB
∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下: CD=
2
1
AB=BD=AD
D 为 AB 的中点
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5、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的
摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和
斜边的比例中项
∠ACB=90° BDADCD 2
ABADAC 2
CD⊥AB ABBDBC 2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得:AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角
形。
3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c有关系 222 cba ,
那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
理解:命题的定义包括两层含义:
(1)命题必须是个完整的句子;
(2)这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类(按正确、错误与否分)
真命题(正确的命题)
命题
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假命题(错误的命题)
所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
(1)根据题意,画出图形。
(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
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数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10 数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全
公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍
放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。
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人教版数学初二下学期第十八章知识点总结
第十八章 平行四边形
1.四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于 360°;
(2)四边形的外角和等于 360°.
2.多边形的内角和与外角和定理:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;
(2)任意多边形的外角和等于 360°.
3.平行四边形的性质:
因为 ABCD 是平行四边形
.5
4
3
2
1
)邻角互补(
)对角线互相平分;(
)两组对角分别相等;(
)两组对边分别相等;(
)两组对边分别平行;(
A
B C
D
1 2
3
4
A
B C
D
A B
D
O
C
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4.平行四边形的判定:
是平行四边形
)对角线互相平分(
)一组对边平行且相等(
)两组对角分别相等(
)两组对边分别相等(
)两组对边分别平行(
ABCD
5
4
3
2
1
.
5.矩形的性质:
因为 ABCD 是矩形
.3
;2
;1
)对角线相等(
)四个角都是直角(
有通性)具有平行四边形的所(
6. 矩形的判定:
边形)对角线相等的平行四(
)三个角都是直角(
一个直角)平行四边形(
3
2
1
四边形 ABCD 是矩形.
A B
D
O
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
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7.菱形的性质:
因为 ABCD 是菱形
.3
2
1
角)对角线垂直且平分对(
)四个边都相等;(
有通性;)具有平行四边形的所(
8.菱形的判定:
边形)对角线垂直的平行四(
)四个边都相等(
一组邻边等)平行四边形(
3
2
1
四边形四边形 ABCD 是菱形.
9.正方形的性质:
因为 ABCD 是正方形
.3
2
1
分对角)对角线相等垂直且平(
角都是直角;)四个边都相等,四个(
有通性;)具有平行四边形的所(
CD
A B (1) A B
CD
O
(2)(3)
10.正方形的判定:
一组邻边等矩形)(
一个直角)菱形(
一个直角一组邻边等)平行四边形(
3
2
1
四边形 ABCD 是正方形.
(3)∵ABCD 是矩形
C
D
B
A O
C
D
B
A O
CD
A B
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又∵AD=AB
∴四边形 ABCD 是正方形
11.等腰梯形的性质:
因为 ABCD 是等腰梯形
.3
2
1
)对角线相等(
;)同一底上的底角相等(
两底平行,两腰相等;)(
12.等腰梯形的判定:
对角线相等)梯形(
底角相等)梯形(
两腰相等)梯形(
3
2
1
四边形 ABCD 是等腰梯形
(3)∵ABCD 是梯形且 AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD 四边形是等腰梯形
A
B C
D
O
A
B C
D
O
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14.三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边,
并且等于它的一半.
15.梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并
且等于两底和的一半.
一 基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距
离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,
等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.
二 定理:中心对称的有关定理
※1.关于中心对称的两个图形是全等形.
※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心
平分.
※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两
个图形关于这一点对称.
三 公式:
1.S菱形 =
2
1
ab=ch.(a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ,h为 c 边上的
高)
2.S平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边,h为 a上的高)
3.S 梯形 =
2
1
(a+b)h=Lh.(a、b 为梯形的底,h 为梯形的高,L 为梯形的中位
线)
四 常识:
E F
D
A B
C
ED
CB
A
平行四边形
矩
形
菱
形
正
方
形
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※1.若 n是多边形的边数,则对角线条数公式是:
2
)3n(n
.
2.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”.
3.如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边
形、等腰梯形 …… ;仅是中心对称图形的有:平行四边形 …… ;是双对称
图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意:线段有
两条对称轴.
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人教版数学初二下学期第十九章知识点总结
第十九章 一次函数
一.常量、变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ;数值始终不变的量叫做 常
量 。
二、函数的概念:
函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x
的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x是自变量,
y是 x的函数.
三、函数中自变量取值范围的求法:
(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为 0的一切实数。
(3)用寄次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的
一 切实数。
(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再
求其公共范围,即为自变量的取值范围。
(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义:一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对
应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这
个函数的图象.
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。)
注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。
2、描点:(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,
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描出表格中数值对应的各点。
3、连线:(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。
六、函数有三种表示形式:
(1)列表法 (2)图像法 (3)解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念:
一般地,形如 y=kx(k 为常数,且 k≠0)的函数叫做正比例函数.其中 k叫做比例
系数。
一般地,形如 y=kx+b (k,b 为常数,且 k≠0)的函数叫做一次函数.
当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质:
(1)图象:正比例函数 y= kx (k 是常数,k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线,
我们称它为直线 y= kx 。
(2)性质:当 k>0 时,直线 y= kx 经过第三,一象限,从左向右上升,即随着 x
的增大 y也增大;当 k<0 时,直线 y= kx 经过二,四象限,从左向右下降,即随着
x的增大 y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具
体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程:从“数”的角度看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值
为 0.
2. 求 ax+b=0(a, b 是常数,a≠0)的解,从“形”的角度看,求直线 y= ax+b
与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式:
解不等式 ax+b>0(a,b 是常数,a≠0) .从“数”的角度看,x 为何值时函数
y= ax+b 的值大于 0.
4. 解不等式 ax+b>0(a,b 是常数,a≠0) . 从“形”的角度看,求直线 y= ax+b
在 x 轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围.
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十、一次函数与正比例函数的图象与性质
一 次 函 数
概 念
如果 y=kx+b(k、b 是常数,k≠0),那么 y叫 x的一次函数.当 b=0
时,一次函数 y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
图 像 一条直线
性 质
k>0时,y随 x的增大(或减小)而增大(或减小);
k<0时,y随 x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线 y=kx+b(k
≠0)的位置与
k、b符号之间
的关系.
(1)k>0,b>0 图像经过一、二、三象限;
(2)k>0,b<0 图像经过一、三、四象限;
(3)k>0,b=0 图像经过一、三象限;
(4)k<0,b>0图像经过一、二、四象限;
(5)k<0,b<0图像经过二、三、四象限;
(6)k<0,b=0图像经过二、四象限。
一次函数表达
式的确定
求一次函数 y=kx+b(k、b是常数,k≠0)时,需要由两个点来确
定;求正比例函数 y=kx(k≠0)时,只需一个点即可.
5.一次函数与二元一次方程组:
解方程组
从“数”的角度看,自变量(x)为何值时两个函
数的值相等.并求出这个函数值
解方程组 从“形”的角度看,确定两直线交点的坐标.
cba
cba
yx
yx
222
111
cba
cba
yx
yx
222
111
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人教版数学初二下学期第二十章知识点总结
第二十章 数据的分析
知识点:
选用恰当的数据分析数据
知识点详解:
一:5个基本统计量(平均数、众数、中位数、极差、方差)的数学内涵:
平均数:把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一
组数据的平均水平,平均数分为算术平均数和加权平均数。
众数:在一组数据中,出现次数 多的数(有时不止一个),叫做这组数据
的众数
中位数:将一组数据按大小顺序排列,把处在 中间的一个数(或两个数的
平均数)叫做这组数据的中位数.
极差:是指一组数据中 大数据与 小数据的差。巧计方法,极差= 大值
- 小值。
方差:各个数据与平均数之差的平方的平均数,记作 s
2
.巧计方法:方差
是偏差的平方的平均数。
标准差:方差的算术平方根,记作 s 。
二 教学时对五个基本统计量的分析:
1 算术平均数不难理解易掌握。加权平均数,关键在于理解“权”的
含义,权重是一组非负数,权重之和为 1,当各数据的重要程度不同时,一般采
用加权平均数作为数据的代表值。
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学生出现的问题:对“权”的意义理解不深刻,易混淆算术平均数与加权
平均数的计算公式。
采取的措施:弄清权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。并且提醒
学生再求平均数时注意单位。
2 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系:平均数、中位
数和众数都反映了一组数据的集中趋势,其中以平均数的应用 为广
泛。 区别:A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系,任一数
据的变动都会引起平均数的变动。B 中位数仅与数据的排列位置有关,某些
数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时,可用它来
描述其集中趋势。C 众数主要研究个数据出现的频数,其大小只与这组数
据中的某些数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,我们往往关心
众数。其中众数的学习是重点。
学生出现的问题:求中位数时忘记排序。对三种数据的意义不能正确理
解。
采取的措施:加强概念的分析,多做对比练习。
3 极差,方差和标准差。 方差是重难点,它是描述一组数据的离
散程度即稳定性的非常重要的量,离散程度小就越稳定,离散程度大就不稳定,
也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特征,但是,对
两组数据来说,极差大的那一组方差不一定大;反过来,方差大的,极差也不一
定大。
学生出现的问题:由于方差,标准差的公式较麻烦,在应用时常由于粗心
或公式不熟导致错误。
采取的措施:注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特征。或使用
计算器计算。
这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。中考中常常综合
在一起考察。
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