人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）13数据分析 10页

内容 基本要求 略高要求 较高要求 数据分析 了解相关概念 能根据实际问题使用数据分析 1、平均数： 一组数据中，有 n 个数据，分别记为 ， ，……， ，则它们的平均数为： = ,如果这 n 个数据比较大，而且批次之间接近，我们就可以采用“选基准数”求和的简便算法. 2、加权平均数： 在统计学中，经常把下面的这种算术平均数看成加权平均数： 在求 n 个数得算数平均数时， 如果 出现 次， 出现 次，…， 出现 次， 这里( =n) ,那么这 n 个数的算术平均数为： = ,也叫做 … 这 k 个 数的加权平均数，其中 ， ，…， 分别叫做 ， ，…， 的权. 3、中位数： 将一组数据按从小到大（或从大到小顺）的顺序进行排列，如果数据个数为奇数，则中间的那个数就 是中位数，如果数据的个数为偶数，则中位数应是中间两个数据的平均数． 4、众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数一样，都是最大，那么这些个数据是这组数据的 众数. 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数，譬如：1，2，3，4，5 没有众数. 当一组数据有较多重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量. 5、平均数、众数和中位数对一组数分别从不同的方面进行描述 平均数反映这组数据中各数据的平均大小； 众数反映的是这个值出现的次数最多； 中位数不易受极端值影响. 6、方差 ⑴极差：极差=数据的最大值  最小值. ⑵方差的计算：①基本公式： 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]nS x x x x x xn        . ②简化公式： 22 2 2 2 1 2 1 [( ) ]nS x x x nxn      或 22 2 2 2 1 2 1 ( )nS x x x xn      . ⑶标准方差： 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]nS S x x x x x xn         . ⑷方差与标准方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数（或衡量一组数据相对于它们的平均数的 离散程度）.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据单位的平方，标准方 差的单位与原单位相同. 【例 1】 某男子排球队 20 名队员的身高如下表： 身高（cm） 180 186 188 192 208 数据分析 人数（个） 4 6 5 3 2 则此男子排球队 20 名队员的身高的众数和中位数分别是（ ）B A．186cm，186cm B．186cm，187cm C．208cm，188cm D．188cm，187cm 【解析】省略 【答案】B 【例 2】 已知数据 x ，6，8，10 的中位数是 8，则平均数为 。 【解析】省略 【答案】8 【例 3】 若 5 个正整数的中位数是 3，众数是 7 且唯一，这 5 个正整数的和是多少？ 【解析】判断知 5 个数为：1、2、3、7、7，所以和为 20. 【答案】 20 【例 4】 5 个整数从小到大排列，中位数是 4，平均数是 6，且有唯一的众数 3，则这样的 5 个整数（ ） A.不存在 B.有且只有一组 C.不止一组，但有有限组 D.有无限组 【解析】根据题意，前三数必是 3，3，4，后两数之和为 20，且第四个数大于 4，因此可以得到以下五组 整数满足条件：3，3，4，5，15；3，3，4，6，14；3，3，4，7，13；3，3，4，8，12；，3，4， 9，11.故选 C. 【答案】C 【例 5】 一位数学教师在录入班级 50 名同学的数学成绩时，有一名同学的成绩录入错了，则该组数据一 定会发生改变的是（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．中位数、众数、平均数都一定发生改变 【解析】省略 【答案】C 【例 6】 在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中( ) A．平均数不变 B．众数不变 C．中位数不变 D．以上说法均有错误 【解析】省略 【答案】A 【例 7】 如果一组数据中有惟一的一个众数，在该组数据中加入它的众数，则新数据组中( ) A．中位数不变 B．平均数不变 C．众数不变 D．以上说法都有错误 【解析】省略 【答案】C 【例 8】 下列说法有错误的是( ) A．一组数据总有众数 B．众数是出现频数最多的数据值 C．当有多个数据出现的频数并列最多时，则这多个数据都是众数 D．众数不一定是整数 【解析】省略 【答案】A 【例 9】 以下问题中的数据在美国的历史上都是真实的，试对此现象进行分析： ⑴亚利桑那州历来是一个风景优美，气候宜人的地方，尤其有利于肺结核病人的疗养、康复．可 是十九世纪有一位统计学家发现，在亚利桑那州死于肺结核的人数远较其他州多，患者比例普遍 达到其他州的 1.5 至 2 倍．人们一度对这里优美的环境望而却步，给当地的旅游、疗养业造成了 巨大的影响． ⑵上个世纪，某地的房产开发商曾对当时每户家庭人数进行过较大规模的调查，得到的结论是平 均每户3.6 人．据此，在当年的住房设计中主要考虑了适宜 4 人家庭居住的户型，结果造成了滞 销，而适宜 2 至 3 人家庭居住的小户型和 4 人以上的大户型却供不应求． 【解析】⑴由于亚利桑那州的气候、环境有利于肺结核病人的康复，所以必然会有大量外地患者前来疗养 患者比例、死亡人数的增加就不足为奇．要正确评价当地环境对肺结核患者的作用，应同时调查 肺结核病人的治愈、好转率，当地居民中肺结核的发病率等． ⑵平均每户 3.6 人并不表示大多数家庭规模为近 4 人．开发商在关注家庭人数平均数、众数的同 时 应对数据作全面分析，并注重对近期准备购房对象作调查．事实上，当地媒体事后公布的数据是 全 部家庭中，3～4 人家庭占 45％，1～2 人家庭占 35％，4 人以上家庭占 20％；而两年内购买新 房的 家庭中 3～4 人家庭占 33％，1～2 人家庭占 56％，4 人以上家庭占 11％． 【答案】见解析 【例 10】 炎热的夏天来了，不太会游泳的小明准备去游泳清凉一下，可是游泳馆因为改造而没有开馆. 小明失望极了，但他在回家的路上，恰好经过一条小河，河边标牌上写着平均水深 1.3 米，于是 小明就想在那儿游泳.他想：平常总能看见有人在这游泳，不会有危险的，再说我身高 1.6 米，不 会游泳也不算是问题.先凉快一下再说!如果你是小明的朋友，你会给小明怎样的建议？ 【解析】河边木牌上所指的平均数是算术平均数，一般在没有特别说明的情况下，平均数指的就是算术平 均数，但在日常生活中我们还会用到其他几种平均数，如加权平均数、截尾平均数、几何平均数 等.显然这里平均水深并不表示河里每一处的水深都是 1.3 米，可能会有深有浅，小明下去游泳会 很危险.我们更应该建议管理部门将牌子改为最深×××米.事实上，由于平均数是一组数据中所有数 值的总和除以这组数据的个数所得的值，当个别数据偏离较大时，常常会导致我们判断上的失误. 有很多统计资料，所呈现出来的信息就未必可靠. 【答案】见解析 【例 11】 某学校规定，初二学年的单科平均成绩的计算方法如下：初二上学期期中考试成绩占 10％， 期末考试成绩占 30％；下学期期中成绩占 20％，期末考试成绩占 40％；如果某个学生初二四次 数学考试成绩如下：初二上学期期中数学成绩：108；初二上学期期末数学成绩：104；初二下学 期期中数学成绩：110；初二下学期期末数学成绩：115；求这个学生初二学年的数学平均成绩．(每 次考试数学总分 120 分) 【解析】这是因为这四个成绩在总成绩所占的比重不一样，即每个成绩都有自己的权，应该利用加权平均 数．该生平均成绩为： 108 10% 104 30% 110 20% 115 40% 110x          【答案】110 【例 12】 小明和爸爸妈妈非常喜欢看 CCTV-2，由佳明和庞晔主持的《绝对挑战》栏目，每当到了关键 时候，也就是招聘方决定聘谁的那一刻，一家三口常常还热烈地争讨.本周是某广告公司欲招聘广 告策划人员一名，公司在栏目组的帮助下对 A、B 、C 三名候选人进行了各项素质测试.小明和爸 爸妈妈认真观看后，为三名候选人在各项测试上打出了分数： 测试项目 A 的成绩 B 的成绩 C 的成绩 创新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语言 88 45 67 小明：“聘用 A，因为 A 的平均成绩是 70 分，B 、C 的平均成绩都是 68 分，A 成绩最高.” 妈妈：“聘用 C ，因为 C 的各方面都比较平均，而 A、B 都有一项不及格.” 爸爸：“聘用 B ，我认为广告策划关键看创新，而 B 的基础知识也比较扎实.” 看看!一家人的意见不一致了.你认为该公司的老总会聘用谁呢?说说你的理由. 【解析】 在实际问题中，各个数据的重要程度是不同的，因此在计算平均数时，我们往往给每个数据一 个 权，以此来体现它们的重要程度.看看一家人后面的解决方法：爸爸向小明问道：“广告策划 人员最重要的条件是什么?” “是创新.” “其次呢?” “是综合知识，最后是语言.” 妈妈问道：“这三个条件的重要程度各是多少呢?” 经过三人商讨，认为 4：3：1 较合适。下面是小明在附加了权重后计算的三名应聘人员的成绩. A 的成绩为： 72 4 50 3 88 1 65.754 3 1        分， B 的成绩为 75.875 分，C 的成绩为 68.125 分. 小明：“B 的成绩最高，应该录用 B.”话音未落，电视里的结果也出来了，招聘方确实选的是 B . 爸爸：“那么 A 适合做什么工作呢?” 小明道：“要发挥他的特长，语言对于推销员来说最重要，其次是综合知识和创新，我看他作推 销一定会很优秀.”正所谓“寸有所长，尺有所短” 【答案】见解析 【例 13】 新华机械厂有 15 名工人，某月这 15 名工人加工的零件数统计如下： 人数（名） 1 1 2 6 3 2 加工的零件数（件） 540 450 300 240 210 120 （1）求这 15 名工人该月加工的零件数的平均数、中位数和众数； （2）假如部门负责人把每位工人每月加工零件的任务确定为 260 件，你认为是否合理？为什么？ 如果不合理，你认为多少较为合适？ 【解析】⑴平均数为： (540 450 2 300 6 240 3 210 2 120) 15 260           （件）；中位数为 240 件；众数为 240 件. ⑵不是很合理，因为大多数人（11 个）的每月加工数量都在 260 件以下，这在短时间内是不可能 达 到的，定在 240 件左右比较合理，这样 10 个人每月的加工数都满足条件. 【答案】见解析 【例 14】 将某雷达测速区测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（未完成）： （1）请你把表中的数据填写完整； （2）根据表格可得，被监测的汽车时速的中位数所在的范围是 ； 众数所在的范围是 ； （3）如果此地汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有 辆． 数据段 频数 频率 30 40 10 0.05 40 50 36 50 60 0.39 60 70 70 80 20 0.10 总计 1 【解析】 （1）如表 数据段 频数 频率 30 ~ 40 10 0.05 40 ~ 50 36 0.18 50 ~ 60 78 0.39 60 ~ 70 56 0.28 70 ~ 80 20 0.10 总计 200 1 （2）根据表格可得，被监测的汽车时速中位数所在的范围是 50 ~ 60 ； 众数所在的范围是 50 ~ 60 ． （3）如果此地汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有 76 辆． 【答案】见解析 【例 15】 下表中，若平均数为 2，则 x 等于 . 分数 0 1 2 3 4 学生人数 x 5 6 3 2 【解析】根据题意有： 1 5 2 6 3 3 4 22 , 15 6 3 2 xx            【答案】 1x  【例 16】 一组数据同时减去 70，算得新的一组数据的平均数为 0.3，则原数据的平均数为多少？ 【解析】原数据的平均数为： 70 0.3 70.3  【答案】 70.3 【例 17】 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为 15 元/千克的甲种糖果 10 千克，单价 为 12 元/千克的乙种糖果 20 千克，单价为 10 元/千克的丙种糖果 30 千克混合成的什锦糖果的单 价应定为（ ） A．11 元/千克 B．11.5 元/千克 C．12 元/千克 D．12.5 元/千克 【解析】省略 【答案】B 【例 18】 一组数据 1x ， 2x ， 3x ，…， nx 得平均数是 a ，则数据 13 5x  ， 23 5x  ， 33 5x  ，…，3 5nx  的平均数是 . 【解析】 1 2 3 1 (3 5 3 5 3 5 3 5)nx x x xn          = 1 2 3 3 5( )n nx x x xn n       = 3 5a  . 【答案】 3 5a  【例 19】 已知数据 1x ， 2x ， 3x 的平均数是 m ，那么数据 13 7x  ， 23 7x  ， 33 7x  的平均数等于多少？ 【解析】 1 2 3 1 2 3[(3 7) (3 7) (3 7)] 3 3 7 3 73 x x xx x x m            【答案】 3 7m  【例 20】 如果 a ，b ， c 的平均数为 2，则 5a  ， 2b  ， 3c  的平均数是多少？ 【解析】 5a  ， 2b  ， 3c  的平均数是： ( 5) ( 2) ( 3) 6 2 3 53 3 a b c a b c           【答案】 5 【例 21】 将最小的 31 个正整数分成 A、B 两组，10 在 A 组中，如果把 10 从 A 组移到 B 组，则 A 组中 各数的算术平均数增加 1 2 ，B 组的各数的算术平均数也增加 1 2 ，问 A 组中原有多少个数？ 【解析】设 A 组中有 ( 1)k  个数 0x ， 1x ，…， kx ，其中 0 10x  ，B 组中有 (30 )k 个数 1kx  ， 2kx  ，…， 30x ， 依题意有 1 110 1 1 2 k kx x x x k k         ① 1 30 1 3010 1 31 30 2 k kx x x x k k           ② 由①得 2 1 1 10 1 21 ( 1) 1 2 2 k k x x k kx xk k k            ③ 由②得 2 1 30 1 30 10 1 330 41 (31 )(30 ) 31 2 2 k k x x k kx xk k k                 ④ 又 30 1 486i i x   ，由③＋④，得 62 330 2 486 21k k     故 A 组中原有 22 个数. 【答案】 22 【例 22】 一位同学调查 41 名女运动员所穿运动鞋的尺码，整理如下表（单位： cm ） 运动鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 穿鞋人数 2 3 5 7 11 6 4 1 求这组数据的众数、中位数、平均数. 【解析】众数、中位数、平均数分别为： 24cm 、 24cm 、约 22.6cm ,注意利用加权平均数计算. 【答案】众数、中位数、平均数分别为： 24cm 、 24cm 、约 22.6cm 【例 23】 中央电视台 2004 年 5 月 8 日 7 时 30 分发布天气预报，我国内地 31 个直辖市和省会城市 5 月 9 日的最高气温(℃)统计如下表： 那么这些城市 5 月 9 日的最高气温的中位数和众数分别是多少？ 【解析】 31 个省市，第 16 个数是最中间的，所以中位数是 28℃，众数也为 28℃. 【答案】中位数是 28℃，众数也为 28℃ 【例 24】 分别求出下列两组数据的平均数、中位数和众数： （1）2，4，4，5，3，9，4，5，1，8； （2）54，5，4，6，4，6，6，5，4，56． 【解析】⑴众数、中位数与平均数分别为 4，4，4.5. ⑵将数据重新排列：4，4，4，5，5，6，6，6，54，56，容易得到平均数是 15，中位数是 5.5， 众数有两个：4 和 6． 【答案】⑴众数、中位数与平均数分别为 4，4，4.5. ⑵将数据重新排列：4，4，4，5，5，6，6，6，54，56，容易得到平均数是 15，中位数是 5.5， 众数有两个：4 和 6． 【例 25】 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别是 9，9， x ，7，若这组数据的众 数与平均数相等，则这组数据的中位数为多少？ 【解析】若 7x  ，那么众数就为 9，则易得 11x  ，若 7x  ，平均数为 8 ，显然不成立.所 以这组数为：7，9，9，11，中位数为： (9 9) 2 9   ； 【答案】 9 【例 26】 一组数据 5，7，7， x 的中位数与平均数相等，则 x 的值为多少？ 【解析】注意分类讨论，按从小到大排列可分成以下几种情况： ① x ，5，7，7，所以中位数为 6，那么有： 5 7 7 64 x     ，得 5x  ，符合排序； ②5， x ，7，7，若 7x  ，那么 7 5 7 7 2 4 x x    ，得 5x  ，符合排序；若 7x  ，显然不符 合题意； ③5，7，7， x ，中位数为 7，所以 9x  ，符合排序；总上所述 x 为 5 或 9. 【答案】见解析 【例 27】 当五个整数从小到大排列后，其中位数为 4，如果这组数据的惟一众数是 6，那么这 5 个整 数可能的最大的和是多少？ 【解析】把这组数据由小到大排列，根据中位数是 4，则第三个是 4，6 是惟一的众数，则第 4 个和第 5 个都是 6，而且前两个小于 4，并且不相等，最大是第一个 2，第二个是 3，和的最大值为： 2 3 4 6 6 21     . 【答案】 21 【例 28】 一组数据 3，3，5， x 的中位数与平均数相等，则 x 的值为多少？ 【解析】注意分类讨论，按从小到大排列可分成以下几种情况： ⑴ x ，3，3，5，所以中位数为 3，那么有： 3 3 5 34 x     ，得 1x  ，符合排序； ⑵3，3， x ，5，若 3x  ，那么 3 3 3 5 2 4 x x    ，得 5x  ，符合排序；若 3x  ，显然不符合 题意； ⑶3，3，5， x ，中位数为 4，所以 5x  ，符合排序；总上所述 x 为 5 或 1. 【答案】见解析 【例 29】 某高科技产品开发公司现有员工 50 名，所有员工的月工资情况如下表： 员工 管理人员 普通工作人员 人员结构 总经理 部门经 理 科研人 员 销售人 员 高级技 工 中级技 工 勤杂工 员工名数 1 3 2 3 24 1 每人月工资 /元 21000 8400 2025 2200 1800 1600 950 请你根据上述内容，解答下列问题： （1）该公司“高级技工”有 名； （2）所有员工月工资的平均数为 2 500 元， 中位数为 元，众数为 元； （3）小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图中小张的问题，并指出用(2)中的哪个 数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些； （4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资 y (结果保留整数)，并 判断 y 能否反映该公司员工的月工资实际水平． 【解析】⑴16； ⑵1700，1600； ⑶这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平，用 1700 或 1600 元来介绍更合理些； ⑷ 2500 50 21000 8400 3 171346y      （元）， y 能反映员工的月工资实际水平． 【答案】见解析 【例 30】 说一说你对下列问题的看法：鞋厂为开发新产品，抽样调查了 100 名 16 至 18 岁女学生穿鞋 的尺码，厂方对于调查所得的平均数、中位数和众数中最关注的是什么？ 【解析】厂方最关注的是众数. 【答案】众数 【例 31】 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的 30 名学生，测试了 1 分钟仰卧起 座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在 15~20 次之 间的频率是（ ） A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4 人数 12 10 5 0 15 20 25 30 35 次数 【解析】本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法。仰卧起做次数在 15～20 间的频数 是30 5 10 12 3    ，其频率为 3 0.130  ，所以选 A。 【答案】A 【例 32】 计算：若 10 个数据平均数是 3，标准差是 2，则方差是 ，这 10 个数据的平方和 是 . 【解析】方差  （标准差）2，方差  22 4 又方差 22 2 2 2 1 2 1 [( ) ]nS x x x nxn      22 2 2 2 1 2 10 (4 9) 130nx x x nS nx         【答案】 4 130， 【例 33】 为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成 绩进行统计，得出他们的平均分均为 85 分，且 1002 甲s 、 1102 乙s 、 1202 丙s 、 902 丁s ． 根据统 计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙 【解析】省略 【答案】C 【例 34】 随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： 13甲x ， 13乙x ， 5.72 甲S ， 6.212 乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲” 或“乙”)． 【解析】省略 【答案】甲 【例 35】 一组数据 1 2, , , nx x x 的方差为 9，数据 1 25, 5, , 5nx x x   的方差为 ，标准差为 . 【解析】设数据 1 2, , , nx x x 的平均值为 x ，则 1 2 1 ( )nx x x xn     ， 数据 1 25, 5, , 5nx x x   的平均值为 1 2 1 ( 5 5 5) 5nx x x x xn           方差 22 2 2 2 1 2 1 [( ) ] 9nS x x x nxn        22 2 2 2 1 2 1 [(( 5) ( 5) ( 5) ) ]nS x x x nxn          2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 22 2 2 1 2 2 1 [( ) 10( ) 25 ( 5) ] 1 1( ) 10 ( ) 25 ( 10 25) 1 [( ) ] n n n n n x x x x x x n n xn x x x x x x x xn n x x x nxn S                                      1 25, 5, , 5nx x x   的方差为 9 ，标准差为3. 【答案】 9 3， 【例 36】 一组数据 1 2, , , nx x x 的方差为 9，数据 1 23 ,3 , ,3 nx x x 的方差为 ，标准差为 . 【解析】设数据 1 2, , , nx x x 的平均值为 x ，则 1 2 1 ( )nx x x xn     ， 数据 1 23 ,3 , ,3 nx x x 的平均值为 1 2 1 (3 3 3 ) 3nx x x x xn       方差 22 2 2 2 1 2 1 [( ) ] 9nS x x x nxn        22 2 2 2 1 2 1 [((3 ) (3 ) (3 ) ) ]nS x x x nxn       22 2 2 1 2 22 2 2 1 2 2 1 [9( ) 9 ] 9 [( ) ] 9 81 n n x x x nxn x x x nxn S                1 23 ,3 , ,3 nx x x 的方差为81，标准差为9 . 【答案】方差为81，标准差为9 课后作业 1. 在一组数据中加入它的中位数，则新数据组中( ) A．中位数不变 B．平均数不变 C．众数不变 D．以上说法均有错误 【解析】省略 【答案】A 2. 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm)如下表所示： 设 两队队员身高的平均数依 次 为 甲x ， 乙x ，身高的方差 依次为 2 甲S ， 2 乙S ，则下列关系中完全正 确的是（ ） A． 甲x = 乙x ， 2 甲S > 2 乙S B． 甲x = 乙x ， 2 甲S < 2 乙S C． 甲x > 乙x ， 2 甲S > 2 乙S D． 甲x < 乙x ， 2 甲S > 2 乙S 。 【解析】省略 【答案】B 3. 一组数据从小到大排列为 1，2，4，x ，6，9，这组数据的中位数为 5，那么这组数据的众数为多少？ 【解析】易得 6x  ，所以众数为 6. 【答案】 6 队员 1 队员 2 队员 3 队员 4 队员 5 甲队 177 176 175 172 175 乙对 170 175 173 174 183