数学冀教版八年级上册教案16-2线段的垂直平分线（1） 5页

- 1 - 16.2 线段的垂直平分线（1） 教学目标 【知识与能力】 1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理. 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题. 【过程与方法】 通过经历线段的垂直平分线的性质定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法. 【情感态度价值观】 通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识. 教学重难点 【教学重点】 1.线段的垂直平分线的性质定理. 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题. 【教学难点】 灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使世界更 加美丽,那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢? 生:如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就 叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 师:什么是线段的垂直平分线呢? 学生思考抢答. 师:很好,这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容. [设计意图] 通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极 性. 导入二: 【课件 1】 如图所示,木条 l 与 AB 钉在一起,l 垂直平分 AB,P1,P2,P3,…是 l 上的点, 分别量一量点 P1,P2,P3,…到 A 与 B 的距离,你有什么发现? - 2 - 1.用平面图将上述问题进行转化,已知线段 AB 及 AB 的垂直平分线 l,在 l 上取 P1,P2,P3,…,连接 AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3…… 2.作好图后,用直尺量出 AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……讨论发现什么样的规律. [设计意图] 通过学生对图形的抽象、观察、测量发现线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等这一结论,从而为下面的进一步探究做好铺垫. 二、新知构建： [过渡语] 线段是最简单的轴对称图形,它的中垂线就是它的对称轴,本节我们将探究 线段垂直平分线的重要性质和应用. 活动一:一起探究——线段垂直平分线的性质 思路一 【 课 件 2 】 如 图 所 示 , 已 知 线 段 AB 和 它 的 中 垂 线 l,O 为 垂 足 . 在直线上任取一点 P,连接 PA,PB,线段 PA 和线段 PB 有怎样的数量关系?提出你的猜想说 明理由. 学生猜想得出:事实上,因为线段 AB 是轴对称图形,垂直平分线 l 是它的对称轴,所以线 段 AB 沿对称轴 l 对折后,点 A 和点 B 重合,线段 PA 和线段 PB 重合,从而 PA=PB. 思路二 教师指导学生画线段 AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上确定 几个点,让学生测量,思考有什么发现? 【课件 3】 如图所示,直线 l 垂直平分线段 AB,P1,P2,P3,…是 l 上的点,分别量一量点 P1,P2,P3,…到 点 A 与点 B 的距离,你有什么发现? 由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范. 命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,还得在理论上证明是正确的才能作为定理,我 - 3 - 们来证明这个命题的正确性. 请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证. 已知:如图所示,线段 AB 和它的垂直平分线 l,垂足为 O,点 P 为直线 l 上任意一点,连接 PA,PB. 求证 PA=PB. 引导学生利用 SAS 证明ΔPAO≌ΔPBO,从而得到 PA=PB. 证明:在ΔPAO 和ΔPBO 中, ∵ 㠵 = 㠵 , ∠ 㠵 = ∠ 㠵 = 90 °, 㠵 = 㠵 , ∴ΔPAO≌ΔPBO(SAS), ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 教师说明:经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的. 因为点 P 是线段的垂直平分线上一点,所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 师:分析定理的条件和结论. 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 PA=PB. (条件) (结论) [知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征, 即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等. (2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形 上任取一点作代表即可. (3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法. 说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形 的一种判定方法. [设计意图] 通过观察、猜想、证明让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学 态度,进一步体会线段垂直平分线的性质定理. 活动二:例题讲解 [过渡语] 了解了线段垂直平分线的性质定理,应用线段垂直平分线的性质定理可以解 决一些问题. 【课件 4】 已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使 AP+BP 最短. - 4 - 解:如图所示,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B,交直线 l 于点 P,则 AP+BP 最短. 引导学生分析,证明. 【提出问题】 (1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把 PA 和 PB 这两条线段转化到一条线段上? 学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线 l 的对称点,对称点与另一点的连线与直 线 l 的交点,即为点 P. (2)在直线 l 上任取一个异于点 P 的点 P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明. 学生小组内交流,教师指一名学生板演. 解:∵点 A 和点 A'关于直线 l 对称, ∴AP=A'P. ∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换), 如 图 所 示 , 在 直 线 l 上 任 取 一 个 异 于 点 P 的 点 P', 连 接 AP',BP',A'P', 则 A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短). 即 AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP. ∴AP+BP 最短. 【课件 5】 已知:如图所示,D,E 分别是 AB,AC 的中点,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E. - 5 - 求证 AC=AB. 分析:引导学生根据线段的垂直平分线的性质加以证明. 证明:连接BC,因为点D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB,BE⊥AC,所以CD,BE分别是AB,AC 的垂直平分线,所以 AC=BC,AB=CB,所以 AC=AB. [设计意图] 让学生明白,线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据,以 后证明两条线段相等,又多了一个好办法——线段垂直平分线的性质定理,且比用三角形全 等更简便. 三、课堂小结： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直 平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等. (2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形 上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法. (3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.