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- 2021-10-27 发布
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2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
1.理解平行四边形的概念;(重点)
2.掌握平行四边形边、角的性质;(重点)
3.利用平行四边形边、角的性质解决问题.(难点)
[来源:Zxxk.Com]
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形,它具有十分和谐的对称美.它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?
二、合作探究
探究点一:平行四边形的定义
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:四边形ABCD是平行四边形.
解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,从而可以推出AD∥BC,AB∥CD,再根据平行四边形的定义即可推出结论.[来源:Z§xx§k.Com]
证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC,∵∠1=∠2,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
方法总结:平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.
探究点二:平行四边形的边、角的性质
【类型一】 利用平行四边形的性质求边长
如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E,F分别是AC,BC,BA延长线上的点,四边形ADEF为平行四边形,DE=2,则AD=________.
解析:∵四边形ADEF为平行四边形,∴AD=EF,AD∥EF,DE=AF=2,∴∠ACB=∠FEB,∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠FEB=∠B,∴EF=BF,∴AD=BF,∵AB=5,∴BF=5+2=7,∴AD=7.故答案为7.
方法总结:平行四边形对边平行且相等,根据该性质可解决和边有关的问题.[来源:学科网]
【类型二】 利用平行四边形的性质求角度
如图,平行四边形ABCD中,CE⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度数为( )[来源:学科网ZXXK]
A.35° B.55°
C.25° D.30°
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠BCD=125°.又∵CE⊥AB,∴∠BEC=∠ECD=90°,∴∠BCE=125°-90°=35°.故选A.
方法总结:平行四边形对角相等,对边平行,所以利用该性质可以解决和角度有关的问题.
【类型三】 利用平行四边形的性质证明线段相等
如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG=DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连接FP,EP.求证:FP=EP.
解析:根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB,再由等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG,即可推出∠DCG=∠GCB,根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP,根据SAS证出△PCF≌△PCE即可得出结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DGC=∠GCB,∵DG=DC,∴∠DGC=∠DCG,∴∠DCG=∠GCB,∵∠DCG+∠ECP=180°,∠GCB+∠FCP=180°,∴∠ECP=∠FCP,在△PCF和△PCE中,∴△PCF≌△PCE(SAS),∴PF=PE.
方法总结:利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系,进而通过证明三角形的全等得出结论.
【类型四】 判断直线的位置关系
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD,M为AB的中点,如图连接DM、MC,试问直线DM和MC有何位置关系?请证明.
解析:由AB=2AD,M是AB的中点的位置关系,可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线,又由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°,进而可得出DM与MC的位置关系.
解:DM与MC互相垂直,∵M是AB的中点,∴AB=2AM,又∵AB=2AD,∴AM=AD,∴∠ADM=∠AMD,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠AMD=∠MDC,∴∠ADM=∠MDC,即∠MDC=∠ADC,同理∠MCD=∠BCD,∵AD∥BC,∴∠BCD+∠ADC=180°,∴∠MDC+∠MCD=∠BCD+∠ADC=90°,∴∠DMC=90°,∴DM与MC互相垂直.
方法总结:根据平行四边形对边平行、对角相等,邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题.
探究点三:两平行线间的距离
如图,已知l1∥l2,点E,F在l1上,点G,H在l2上,试说明△EGO与△FHO面积相等.
解析:结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.
证明:∵l1∥l2,∴点E,F到l2之间的距离都相等,设为h.∴S△EGH=GH·h,S△FGH=GH·h,∴S△EGH=S△FGH,∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,∴△EGO的面积等于△FHO的面积.
方法总结:解题的关键是明确两平行线间的距离相等;同底等高的两个三角形的面积相等.
三、板书设计
1.平行四边形的定义
2.平行四边形的边、角的性质[来源:学科网ZXXK]
3.两平行线间的距离
从现实生活中抽象出图形,理解和掌握平行四边形边、角的性质,学生能很好的运用,只是在推理过程中不是很完美,在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练.
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