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  • 2021-10-27 发布

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)12

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12.3 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 角平分线的性质 八年级数学上(RJ) 学习目标 1. 通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性质定理 . (难点) 2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题 . (重点) 挑战第一关 情境引入 问题 1 : 在纸上 画一个角,你能得到这个角的平分 线吗? 导入新课 用量角器度量,也可用折纸的方法 .   问题 2 : 如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 提炼图形 问题 3 : 如图,是一个角平分仪,其中 AB = AD , BC = DC . 将点 A 放在角的顶点 , AB 和 AD 沿着角的两边放下 , 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗 ? A B C ( E ) D 其依据是 SSS ,两全等三角形的 对应角相等 . 挑战第二关 探索新知 问题: 如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器的功能吗? A B O 尺规作角平分线 一 做一做: 请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系 . 提示: (1) 已知什么?求作什么? (2) 把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等,怎样在作图中体现这个过程呢 ? (3) 在平分角的仪器中, BC=DC ,怎样在作图中体现这个过程呢? (4) 你能说明为什么 OC 是 ∠AOB 的平分线吗? A B M N C O 已知 : ∠ AOB . 求作: ∠ AOB 的平分线 . 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图 , 大家一定要掌握噢 ! 作法: ( 1 )以点 O 为圆心,适当 长为半径画弧,交 OA 于 点 M ,交 OB 于点 N . ( 2 )分别以点 MN 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧在 ∠ AOB 的内部相交于点 C . ( 3 )画射线 OC . 射线 OC 即为所求 . 已知:平角∠ AOB . 求作:平角∠ AOB 的角平分线 . 结论: 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法 . A B O C 1. 操作测量 :取点 P 的三个不同的位置,分别过点 P 作 PD⊥OA , PE ⊥OB, 点 D 、 E 为垂足,测量 PD 、 PE 的长 . 将三次数据填入下表: 2. 观察测量结果,猜想线段 PD 与 PE 的大小关系,写出结: __________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验: OC 是 ∠AOB 的平分线,点 P 是射线 OC 上的 任意一点 猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角平分线的性质 二 验证猜想 已知:如图, ∠ AOC = ∠ BOC , 点 P 在 OC 上, PD ⊥ OA,PE ⊥ OB , 垂足分别为 D,E . 求证: PD=PE . P A O B C D E 证明: ∵ PD ⊥ OA , PE ⊥ OB , ∴ ∠ PDO = ∠ PEO =90 °. 在 △ PDO 和△ PEO 中, ∠ PDO = ∠ PEO , ∠ AOC= ∠BOC , OP= OP , ∴ △ PDO ≌ △ PEO (AAS). ∴ PD=PE . 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即 1. 明确命题中的已知和求证; 2. 根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 3. 经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程 . 方法归纳 性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 应用所具备的条件: ( 1 ) 角的平分线; ( 2 ) 点在该平分线上; ( 3 ) 垂直距离 . 定理的作用: 证明线段相等 . 应用格式: ∵ OP 是 ∠ AOB 的平分线, ∴ PD = PE 推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个 . 知识要点 PD ⊥ OA , PE ⊥ OB , B A D O P E C 判一判: ( 1 ) ∵ 如下左图, AD 平分 ∠ BAC ( 已知), ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图 , DC ⊥ AC , DB ⊥ AB (已知) . ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例 1 : 已知:如图,在 △ ABC 中, AD 是它的角平分线,且 BD=CD , DE ⊥ AB, DF ⊥ AC . 垂足分别为 E , F . 求证: EB=FC . A B C D E F 证明: ∵ AD 是 ∠ BAC 的角平分线, DE ⊥ AB, DF ⊥ AC , ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC =90 °. 在 Rt △ BDE 和 Rt △ CDF 中, DE=DF , BD=C D , ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF (HL). ∴ EB=FC . 典例精析 例 2 : 如图, AM 是 ∠ BAC 的平分线,点 P 在 AM 上, PD⊥AB,PE⊥AC, 垂足分别是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示: 存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式: 如 图,在 Rt △ABC中,AC=BC,∠C=90 ° ,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示: 存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式: 如图,在 Rt △ABC中,AC=BC,∠C=90 0 ,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14. ( 2 )求△ APB 的面积 . D ( 3 )求∆PDB的周长 . · AB ·P D =28. 由垂直平分线的性质,可知, PD=PC=4 , = 1. 应用角平分线性质: 存在 角平分线 涉及 距离问题 2 . 联系角平分线性质: 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 当堂练习 2. △ ABC 中 , ∠C=90 ° , AD 平分 ∠ CAB , 且 BC =8, BD =5, 则 点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图, DE ⊥ AB , DF ⊥ BG , 垂足分别是 E , F , DE =DF , ∠ EDB = 60° , 则 ∠ EBF = 度, BE = . 60 BF E B D F A C G 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明 ∠ AOC =∠ BOC 的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 4. 如图, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC的长是(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 D B C E A D 解析: 过点 D 作 DF⊥AC 于 F , ∵ AD 是 △ ABC 的角平分线, DE⊥AB , ∴DF = DE = 2 , 解得 AC = 3. F 方法总结: 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法. E D C B A 6 8 10 5.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则: (1)哪条线段与DE相等?为什么? (2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周长. 解: (1) DC=DE. 理由如下:角平分线上的点到角两边的距离相等 . ( 2 )在 Rt△ CDB 和 Rt△ EDB 中, DC = DE , DB = DB , ∴Rt△ CDB ≌ Rt△ EDB (HL) , ∴ BE = BC= 8. ∴ AE = AB-BE= 2. ∴ △ AED 的周长 = AE+ED+DA= 2+6=8. 6. 如图,已知 AD ∥ BC , P 是∠ BAD 与 ∠ ABC 的平分线的交点, PE ⊥ AB 于 E ,且 PE =3 ,求 AD 与 BC 之间的距离 . 解:过点 P 作 MN ⊥ AD 于点 M ,交 BC 于点 N . ∵ AD ∥ BC , ∴ MN ⊥ BC , MN 的长即为 AD 与 BC 之间 的距离 . ∵ AP 平分∠ BAD , PM ⊥ AD , PE ⊥ AB , ∴ PM = PE. 同理, PN = PE. ∴ PM = PN = PE= 3 . ∴ MN= 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6. 7. 如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF. 证明: ∵ CD 是 ∠ ACG 的平分线, DE ⊥ AC , DF ⊥ CG , ∴ DE = DF . 在 Rt△ CDE 和 Rt△ CDF 中, ∴Rt△ CDE ≌ Rt△ CDF (HL) , ∴ CE = CF . 课堂小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图,必须熟练掌握 性质定理 一个点: 角平分线上的点; 二距离: 点到角两边的距离; 两相等: 两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段