八年级下数学课件1-4 角平分线的性质_湘教版 18页

第1章　直角三角形 第1课时 角平分线的性质 第1章　直角三角形 1.4　角平分线的性质 1．结合角平分线的概念，以测量的形式，得出角平分线的性质定 理并对角平分线的性质定理加以综合应用． 2．从命题的条件与结论的逆反角度，通过验证，推导出角平分线 的性质定理的逆定理并加以应用． 目标一　能利用角平分线的性质定理解题 例1 教材补充例题 操作测量：如图1－4－1，OC是∠AOB的平分线， P是射线OC上的任意一点，取三个不同位置的点P，分别过点P作 PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，测量PD，PE的长，将三次数据填入 下表．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，结论是 __________．并证明你的结论． 1.4　角平分线的性质 图1－4－1 PD PE 第一次 第二次 第三次 1.4　角平分线的性质 [解析] ∠1，∠2分别是△ABD和△ACD的内角，要证明∠1＝∠2，只需证 明这两个三角形全等即可，而这两个三角形均是直角三角形，且AB＝AC， AD＝AD，故得证． 1.4　角平分线的性质 解：填表略，PD＝PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠DOP＝∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△ODP与△OEP中， ∵∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO， OP＝OP, ∴△ODP≌△OEP，∴PD＝PE. 1.4　角平分线的性质 例2 教材补充例题 如图1－4－2，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂 足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF. 图1－4－2 1.4　角平分线的性质 [解析] 要证明BE＝CF，只要证明△BDE≌△CDF，在△BDE和△CDF中，BD ＝CD.由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，可得DE＝DF，从而根据“HL” 定理可证Rt△BDE≌Rt△CDF. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE＝CF. 1.4　角平分线的性质 【归纳总结】角平分线性质定理的应用 (1)证明线段、角相等；(2)证明三角形全等；(3)通过转化求 线段的长． 1.4　角平分线的性质 目标二　理解并会用角平分线性质定理的逆定理 图1－3－2 例3 教材例1针对训练 如图1－4－3，在∠AOB的两边OA，OB上 分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C. 求证：点C在∠AOB的平分线上． 1.4　角平分线的性质 [解析]首先证明△MOE≌△NOD(SAS)，然后利用图形中的面积关系 求得S△MDC＝S△NEC，已知两个三角形的底相等，所以它们的高也相等， 它们的高即CG，CF(如图)，所以点C在∠AOB的平分线上． 1.4　角平分线的性质 解：如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F. 在△MOE和△NOD中， ∵OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD， ∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD. 同时减去S四边形ODCE，得S△MDC＝S△NEC. ∵OM＝ON，OD＝OE， ∴MD＝NE，∴CG＝CF. 又∵CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点C在∠AOB的平分线上． 1.4　角平分线的性质 【归纳总结】证明点在角平分线上的一般思路 证明点在一个角的平分线上一般转化为证明这点到这个角的两 边的距离相等，其步骤如下： (1)过这点向这个角的两边作垂线；(2)证明两个三角形全等； (3)由两条垂线段相等得出点在这个角的平分线上． 1.4　角平分线的性质 知识点一　角平分线的性质定理 小结 角的平分线上的点到角的两边的距离________．相等 1.4　角平分线的性质 知识点二　角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在__________上．角的平分线 1.4　角平分线的性质 反思 D是△ABC中AB边上的一点，在△ABC内有一点O，使OC＝OD，则 AO平分∠CAB吗？ 解：AO平分∠CAB.理由如下： 因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上， 所以AO平分∠CAB. 以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结 论． 1.4　角平分线的性质 解：不正确．解法中忽视了OC与OD分别垂直于AC，AB的条件，故产生错误．正 确结论是“AO不一定平分∠CAB”． 1.4　角平分线的性质