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- 2021-10-27 发布
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小结与复习
第十三章 轴对称
要点梳理
一、轴对称相关定义和性质
(1)
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作
____________
,这条直线就是它的
_________.
(2)
如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称
,
这条直线就是它的对称轴
.
轴对称图形
对称轴
1.
定义
(3)
轴对称图形的
________
,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
.
2.
性质
(1)
关于某直线对称的两个图形是
全等图形
;
(2)
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的
__________
;
垂直平分线
对称轴
三、平面直角
坐标
系中轴对称
(
x
,-
y
)
点(
x
,
y
)关于
x
轴对称的点的坐标为
.
点(
x
,
y
)关于
y
轴对称的点的坐标为
.
(-
x
,
y
)
四、等腰三角形的性质及判定
1.
性质
(1)
两腰相等
;
二、垂直平分线的性质和判定
性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
______.
相等
判定:与线段两个
______
距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
端点
(4)___________
、底边上的中线和底边上的高互相重合
,
简称“三线合一”
顶角平分线
2.
判定
(1)
有两边相等的三角形是等腰三角形
;
(2)
如果一个三角形中有两个角相等
,
那么这两个角所对的边也相等
(简写成“
____________
”)
.
等角对等边
(3)
两个
_______
相等,简称“
等边对等角
”
;
底角
(2)
轴对称图形
,
等腰三角形的
顶角平分线所在的直线
是它的对称轴
;
五、等边三角形的性质及判定
1.
性质
⑴
等边三角形的三边都相等
;
⑵
等边三角形的三个内角都相等
,
并且每一个角都等于
________;
⑶
是
轴对称图形
,对称轴是三条高所在的直线
;
⑷
任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合,简称“三线合一”
.
60°
2.
判定
⑴
三条边都相等的三角形是等边三角形
.
⑵
三个角都相等的三角形是等边三角形
.
⑶
有一个角是
60°
的
___________
是等边三角形
.
等腰三角形
六、有关作图
1.
过已知直线外的一点作该直线的垂线
2.
作线段的垂直平分线
3.
最短路径:
(1)
牧人饮马问题;
(2)
造桥选址马问题
考点讲练
考点一 轴对称及轴对称图形
例
1
下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中,为轴对称图形的是( )
A
B
C
D
B
针对训练
1.
在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中,一定是轴对称图形的有( )个
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
D
2.
如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为
______.
6
0°
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
例
2
按要求完成作图:
(1)
作△ABC关于
y
轴对称的△A
1
B
1
C
1
;
(2)
在
x
轴上找出点P,使PA+PC最小,并直接写出P点的坐标:
解析:
(1)
先找出点
A
、
B
、
C
关于
y
轴的对称点,再依次连线即可
.
(2)
找出点
A
关于
x
轴的对称点
A'
,连接
A'C
,
A'C
与
x
轴的交点即是点
P
的位置
.
x
y
O
A
B
C
A
1
B
1
C
1
A
1
P
3.
在直角坐标系中,点
P
(
a
,2)
与点
A
(-3,
m
)
关于
y
轴对称,则
a,m
的值分别为( )
A. 3
,
-2 B. -3
,
-2 C. 3
,
2
D. -3
,
2
C
针对训练
方法总结
坐标轴中作轴对称图形,一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征,找出对称点,而后连线即可
.
点
(
x
,
y
)
关于
x
轴对称的点的坐标为
(
x
,-
y
)
,关于
y
轴对称的点的坐标为
(-
x
,
y
).
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
例
3
在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC
.
求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
解析:要证明点
E
在线段
AC
的垂直平分线上,即要证明
AE=EC.
根据题意及线段垂直平分线的定义,得出
AB=AE.
而后根据AB+BD=
DC,进行等量变换,可到
AE=EC.
证明:∵AD是高,∴AD⊥BC,
又∵BD=DE,
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线,
∴AB=AE,
∴AB+BD=AE+DE,
又∵AB+BD=DC,
∴DC=AE+DE,
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE,
∴点E在线段AC的垂直平分线上.
针对训练
方法总结
线段的垂直平分线一般会与中点、
90
°角、等腰三角形一同出现,在求角度、三角形的周长,或证明线段之间的等量关系时,要注意角或线段之间的转化
.
A
B
C
M
N
4.
如图:
△
ABC
中,
MN
是
AC
的垂直平分线,若
CM
=3cm
,△
ABC
的周长是
22cm
,则
△
ABN
的周长是
.
16cm
考点四 等腰三角形的性质和判定
例
4
如图所示,在
△
ABC
中,
AB=AC,BD
⊥
AC
于
D
.
求证
: ∠
BAC
=2∠
DBC
.
解析:根据等腰三角形“三线合一”的性质,可作顶角
∠
BAC
的平分线,来获取角的数量关系
.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
解:作
∠
BAC
的平分线
AE
,
交
BC
于点
E
,
如图所示,则
∵
AB=AC
, ∴
AE
⊥
BC
.
∴ ∠
2+ ∠
ACB
=90 °.
∵
BD
⊥
AC
, ∴ ∠
DBC
+ ∠
ACB
=90 °.
∴ ∠
2= ∠
DBC
.
∴ ∠
BAC
= 2∠
DBC
.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
方法总结
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中,常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线,而后利用等腰三角形三线合一的性质,可以实现线段或角之间的相互转化
.
例
5
等腰三角形的一个内角是另一个内角的
2
倍,求该等腰三角形的顶角的度数
.
解:设该等腰三角形中,小角的度数为
x
,
则大角的度数为
2
x
.
当
x
为底角时,
x
+
x
+ 2
x
=180
°
解得
x
=45
°,则
2
x
=90
°
.
当
x
为顶角时,
x
+2
x
+ 2
x
=180
°
解得
x
=36
°
.
故该等腰三角形顶角的度数为
90
°或
36
°
.
方法总结
在等腰三角形中,常用到分类讨论思想,一般有如下情况:
(1)
在求角度时,未指明底角和顶角;
(2)
在求三角形周长时,未指明底边和腰;
(3)
未给定图形时,有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论
.
针对训练
5.
如图,
△
ABC
中,
∠
A
=36 °
,
AB=AC, BD
平分
∠
ABC
交
AC
于点
D
,
则图中的等腰三角形共有
个
.
3
6.
如图,已知等边
△
ABC
中,点
D
、
E
分别在边
AB
、
BC
上,把
△
BDE
沿直线
DE
翻折,使点
B
落在
B
1
处
,
DB
1
,
EB
1
分别交边
AC
于
M
、
H
点,若
∠
ADM
=50 °,
则
∠
EHC
的度数为
.
70 °
B
C
D
A
A
B
C
D
E
B
1
M
H
7.
如图
,
在
△ABC
中
,AD
是角平分线
,AC=AB+BD.
求证
∠B=2∠C.
证明:在
AC
上截取
AE=AB
,连结
DE.
E
∵AD
是角平分线,
∴∠EAD=∠BAD.
又
∵AD=AD
,
∴
△
EAD
≌
△
BAD
,
∴DE=DB
,
∠AED=∠B.
∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC
,
∴CE=ED.
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C
,即
∠B=2∠C.
想一想:还有别的证明方法吗?
提示:延长
AB
至
F
,使
BF=BD
,连结
DF
8.
如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.
求证:BF=2CF.
证明:连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
∴CF=AF,
∴∠FAC=∠C=30°,
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°,
在Rt△ABF中,∠B=30°,
∴BF=2AF,
∴BF=2CF.
课堂小结
轴对称
等腰三角形
轴对称图形
垂直平分线
等腰三角形
等边三角形
轴对称的性质
关于坐标轴对称的点的坐标
轴对称作图
性质和判定
性质
判定
性质
判定
含
30
°角的直角三角形的性质
轴对称
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