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  • 2021-10-27 发布

八年级数学上册第十三章轴对称小结与复习教学课件新版 人教版

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小结与复习 第十三章 轴对称 要点梳理 一、轴对称相关定义和性质 (1) 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作 ____________ ,这条直线就是它的 _________. (2) 如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称 , 这条直线就是它的对称轴 . 轴对称图形 对称轴 1. 定义 (3) 轴对称图形的 ________ ,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 . 2. 性质 (1) 关于某直线对称的两个图形是 全等图形 ; (2) 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 __________ ; 垂直平分线 对称轴 三、平面直角 坐标 系中轴对称 ( x ,- y ) 点( x , y )关于 x 轴对称的点的坐标为 . 点( x , y )关于 y 轴对称的点的坐标为 . (- x , y ) 四、等腰三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 两腰相等 ; 二、垂直平分线的性质和判定 性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ______. 相等 判定:与线段两个 ______ 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 端点 (4)___________ 、底边上的中线和底边上的高互相重合 , 简称“三线合一” 顶角平分线 2. 判定 (1) 有两边相等的三角形是等腰三角形 ; (2) 如果一个三角形中有两个角相等 , 那么这两个角所对的边也相等 (简写成“ ____________ ”) . 等角对等边 (3) 两个 _______ 相等,简称“ 等边对等角 ” ; 底角 (2) 轴对称图形 , 等腰三角形的 顶角平分线所在的直线 是它的对称轴 ; 五、等边三角形的性质及判定 1. 性质 ⑴ 等边三角形的三边都相等 ; ⑵ 等边三角形的三个内角都相等 , 并且每一个角都等于 ________; ⑶ 是 轴对称图形 ,对称轴是三条高所在的直线 ; ⑷ 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合,简称“三线合一” . 60° 2. 判定 ⑴ 三条边都相等的三角形是等边三角形 . ⑵ 三个角都相等的三角形是等边三角形 . ⑶ 有一个角是 60° 的 ___________ 是等边三角形 . 等腰三角形 六、有关作图 1. 过已知直线外的一点作该直线的垂线 2. 作线段的垂直平分线 3. 最短路径: (1) 牧人饮马问题; (2) 造桥选址马问题 考点讲练 考点一 轴对称及轴对称图形 例 1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中,为轴对称图形的是(  ) A B C D B 针对训练 1. 在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中,一定是轴对称图形的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2. 如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为 ______. 6 0° 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例 2 按要求完成作图: (1) 作△ABC关于 y 轴对称的△A 1 B 1 C 1 ; (2) 在 x 轴上找出点P,使PA+PC最小,并直接写出P点的坐标: 解析: (1) 先找出点 A 、 B 、 C 关于 y 轴的对称点,再依次连线即可 . (2) 找出点 A 关于 x 轴的对称点 A' ,连接 A'C , A'C 与 x 轴的交点即是点 P 的位置 . x y O A B C A 1 B 1 C 1 A 1 P 3. 在直角坐标系中,点 P ( a ,2) 与点 A (-3, m ) 关于 y 轴对称,则 a,m 的值分别为( ) A. 3 , -2 B. -3 , -2 C. 3 , 2 D. -3 , 2 C 针对训练 方法总结 坐标轴中作轴对称图形,一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征,找出对称点,而后连线即可 . 点 ( x , y ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ( x ,- y ) ,关于 y 轴对称的点的坐标为 (- x , y ). 考点三 线段垂直平分线的性质和判定 例 3 在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC . 求证:E点在线段AC的垂直平分线上. 解析:要证明点 E 在线段 AC 的垂直平分线上,即要证明 AE=EC. 根据题意及线段垂直平分线的定义,得出 AB=AE. 而后根据AB+BD= DC,进行等量变换,可到 AE=EC. 证明:∵AD是高,∴AD⊥BC, 又∵BD=DE, ∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线, ∴AB=AE, ∴AB+BD=AE+DE, 又∵AB+BD=DC, ∴DC=AE+DE, ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE, ∴点E在线段AC的垂直平分线上. 针对训练 方法总结 线段的垂直平分线一般会与中点、 90 °角、等腰三角形一同出现,在求角度、三角形的周长,或证明线段之间的等量关系时,要注意角或线段之间的转化 . A B C M N 4. 如图: △ ABC 中, MN 是 AC 的垂直平分线,若 CM =3cm ,△ ABC 的周长是 22cm ,则 △ ABN 的周长是 . 16cm 考点四 等腰三角形的性质和判定 例 4 如图所示,在 △ ABC 中, AB=AC,BD ⊥ AC 于 D . 求证 : ∠ BAC =2∠ DBC . 解析:根据等腰三角形“三线合一”的性质,可作顶角 ∠ BAC 的平分线,来获取角的数量关系 . A B C D ) ) 1 2 E 解:作 ∠ BAC 的平分线 AE , 交 BC 于点 E , 如图所示,则 ∵ AB=AC , ∴ AE ⊥ BC . ∴ ∠ 2+ ∠ ACB =90 °. ∵ BD ⊥ AC , ∴ ∠ DBC + ∠ ACB =90 °. ∴ ∠ 2= ∠ DBC . ∴ ∠ BAC = 2∠ DBC . A B C D ) ) 1 2 E 方法总结 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中,常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线,而后利用等腰三角形三线合一的性质,可以实现线段或角之间的相互转化 . 例 5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍,求该等腰三角形的顶角的度数 . 解:设该等腰三角形中,小角的度数为 x , 则大角的度数为 2 x . 当 x 为底角时, x + x + 2 x =180 ° 解得 x =45 °,则 2 x =90 ° . 当 x 为顶角时, x +2 x + 2 x =180 ° 解得 x =36 ° . 故该等腰三角形顶角的度数为 90 °或 36 ° . 方法总结 在等腰三角形中,常用到分类讨论思想,一般有如下情况: (1) 在求角度时,未指明底角和顶角; (2) 在求三角形周长时,未指明底边和腰; (3) 未给定图形时,有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 . 针对训练 5. 如图, △ ABC 中, ∠ A =36 ° , AB=AC, BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 D , 则图中的等腰三角形共有 个 . 3 6. 如图,已知等边 △ ABC 中,点 D 、 E 分别在边 AB 、 BC 上,把 △ BDE 沿直线 DE 翻折,使点 B 落在 B 1 处 , DB 1 , EB 1 分别交边 AC 于 M 、 H 点,若 ∠ ADM =50 °, 则 ∠ EHC 的度数为 . 70 ° B C D A A B C D E B 1 M H 7. 如图 , 在 △ABC 中 ,AD 是角平分线 ,AC=AB+BD. 求证 ∠B=2∠C. 证明:在 AC 上截取 AE=AB ,连结 DE. E ∵AD 是角平分线, ∴∠EAD=∠BAD. 又 ∵AD=AD , ∴ △ EAD ≌ △ BAD , ∴DE=DB , ∠AED=∠B. ∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC , ∴CE=ED. ∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C ,即 ∠B=2∠C. 想一想:还有别的证明方法吗? 提示:延长 AB 至 F ,使 BF=BD ,连结 DF 8. 如图所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F. 求证:BF=2CF. 证明:连接AF, ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°, ∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F, ∴CF=AF, ∴∠FAC=∠C=30°, ∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°, 在Rt△ABF中,∠B=30°, ∴BF=2AF, ∴BF=2CF. 课堂小结 轴对称 等腰三角形 轴对称图形 垂直平分线 等腰三角形 等边三角形 轴对称的性质 关于坐标轴对称的点的坐标 轴对称作图 性质和判定 性质 判定 性质 判定 含 30 °角的直角三角形的性质 轴对称