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- 2021-10-27 发布
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1. 在△ABC 中,∠B=90°,∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c,则 a、b、c 的关系是( )
A.c2=a2+b2 B.a2=(b+c)(b-c ) C.a2=c2-b2 D.b=a+c
知识点:勾股定理
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,要正确的理解勾股定理
的条件和结论,要明确斜边和直角边在定理中的区别。
答案:B
详细解答:在△ABC 中,∠B=90°,∠B 的对边 b 是斜边,所以 b2=a2+c2。a2=(b +c)(b-c )
可变形为 b2=a2+c2,所以选 B
1. 下列说法正确的是( )
A.若 a、b、c 是△ABC 的三边,则 a2+b2=c2;
B.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边,则 a2+b2=c2;
C.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边, 90A ,则 a2+b2=c2;
D.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边, 90C ,则 c2-b2=a2。
答案:D
详细解答:A 是错的,缺少直角条件;
B 也是错的,不明确哪一边是斜边,无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方;
C 也是错的,既然 90A ,那么 a 边才是斜边,应该是 a2=c2+b2
D 才是正确的, 90C ,那么 c2=a2+b2,即 c2-b2=a2.
2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为 58cm,宽为 46cm,则这台电视机的尺寸(即电视机
屏幕的对角线长)是 ( )
A. 9 英寸(23cm) B. 21 英寸(54cm) C. 29 英寸(74cm) D.34 英寸(87cm)
知识点:勾股定理的应用
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的
一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,作为三角形的边来求。
答案:C
详细解答:
如答图,四边形 ABCD 表示彩电屏幕,其长为 58cm,即
BC=58cm;宽为 46cm,即 AB=46cm。
在直角三角形 ABC 中,BC=58cm,AB=46cm,那么 AC2=BC2+AB2=572+462=5365,所以 AC=74cm,选
C。
2.两只小鼹鼠在地下挖洞,一只朝前方挖,每分钟挖 8cm,另一只朝左挖,每分钟挖 6cm,
10 分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm
答案:C
详细解答:
如答图,一只小鼹鼠从 B 挖到 C,BC=8cm×10=80cm,
另一只小鼹鼠从 B 挖到 A,BA=6cm×10=60cm,
由题意可知两个方向互相垂直,
所以 AC2=AB2+BC2=602+802=10000,所以 AC=100 cm
3.已知一个三角形三个内角的比是 1:2:1,则它的三条边的比是( )
A.1:1: 2 B.1:1:2 C.1: 2 : 3 D.1:4:1
知识点:等腰直角三角形、含 30°角的直角三角形
知识点的描述:要求知道等腰直角三角形、含 30°角的直角三角形的三边的比的来历,最
好能记住三边之比。
答案:A
详细解答:
三角形三个内角的比是 1:2:1,可以知道三个角分别为 45°、90°、 45°,
如答图,假设 AB=1,那么 BC=1,AC2=AB2+BC2=1+1=2,所以 AC= 2 ,三条边
的比是 1:1: 2 。
3.已知△ABC 中,∠A= 1
2
∠C= 1
3
∠B,则它的三条边之比为( ).
A.1:1: 2 B.1: 3 :2 C.1: 2 : 3 D.1:4:1
答案:B
详细解答:△ABC 中,∠A= 1
2
∠C= 1
3
∠B,可求出∠A=30°,∠
C=60°,∠B=90°,画出答图。
假设 BC=1,那么 AC=2,根据勾股定理得 AB2=AC2-BC2=4-1=3,所
以 AB= 3 ,因此三边的比为 1: 3 :2。
4.直角三角形中,斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍,这个三角形的最小锐角为( )
(A)15° (B)30° (C)45° (D)不能确定
知识点:勾股定理在数学中的应用
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案:C
详细解答:由勾股定理得AC2=BC2+AB2,又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,即AC2=2AB
×BC,所以 BC2+AB2=2AB×BC,得(BC-AB)2=0,所以 BC=AB,所以三角形 ABC 是等腰直角
三角形,最小锐角为 45°。
4.如图所示,Rt△ABC 中,BC 是斜边,将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果
AP=3,那么 PP′长为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D) 18
答案:D
详细解答:由题意“将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知,△ABP≌△ACP′,
所以∠CAP′=∠BAP,AP′=AP,又因为∠BAC=90°,所以∠PAP′=90°,AP′=AP=3,
A
B
C
在直角三角形 APP′中,PP′2= AP′2+AP2=32+32=18,所以 PP′= 18
5.如图,数轴上的点 A 所表示的数为 x,则 x 的值为( )
A. 2 B.- 2 C.2 D.-2
知识点:认识长度为无理数的线段
知识点的描述:在直角三角形中利用勾股定理,可以作出长度为无理数的线段
答案:B
详细解答:在 Rt△BCD 中,CB=BD=1,那么 CD2=CB2+BD2=2,所以 CD= 2 ,CA=CD= 2 ,因此
点 A 所表示的数为- 2
5. 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形 ABC 中,边长为无
理数的边数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案:C
详细解答:在 Rt△ABD 中,AD=5,BD=1,那么 AB2=AD2+BD2=26,AB= 26
在 Rt△BCE 中,BE=3,CE=2,那么 BC2=BE2+CE2=13,BC= 13
在 Rt△ACF 中,AF=4,CF=3,那么 AC2=AF2+CF2=25,AC=5
所以边长为无理数的边是:AB 和 BC
6.已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长是( )
A.5 B.25 C. 7 D.5 或 7
知识点:两解问题
知识点的描述:在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。
答案:D
详细解答:如果两直角边长分别为 3 和 4,那么第三边就是斜边,其长度为 5;如果 4 是斜
边,3 是直角边,那么另一条直角边为 7 。
6.△ABC 中,若 AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长是( )
A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33
答案:C
详细解答:若高 AD 在△ABC 内部,如图,
在 Rt△ABD 中,AB=15,AD=12,那么 BD2=AB2-AD2=81,BD=9
在 Rt△ACD 中,AC=13,AD=12,那么 CD2=AC2-AD2=25,CD=5
所以 BC=BD+CD=9+5=14,这时周长为 15+13+14=42
若高 AD 在△ABC 外部,如图,
在 Rt△ABD 中,AB=15,AD=12,那么 BD2=AB2-AD2=81,BD=9
在 Rt△ACD 中,AC=13,AD=12,那么 CD2=AC2-AD2=25,CD=5
所以 BC=BD-CD=9-5=4,这时周长为 15+13+4=32
所以选 C.
7.如图,有两棵树,一棵高 8m,另一棵高 2 m,两树相距 8 m,一只小鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢,至少飞行( )
(A)6 m (B)8 m (C)10 m (D)18 m
知识点:构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述:在解决实际问题时,常常要构建直角三角形,构成勾股定理的模型,应用勾
股定理解决实际问题
答案:C
详细解答:把实际问题转化为数学问题,如图,AB 表示高 8m 的树,CD 表示高 2 m 的树,小
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为 AD,过 D 点作 AB 的垂线,构成直角三
角形 AED。
在直角三角形 AED 中,DE=BC=8 m,AE=AB-EB=AB-CD=6m,从而 AD2=AE2+DE2=62+82=100,所以
AB=10 m。
7.一根高 9 米的旗杆在离地 4 米高处折断,折断处仍相连,此时在 3.9 米远处玩耍的身高为
1 米的小明是否有危险 ( )
A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断
答案:B
详细解答:把实际问题转化为数学问题,如答图,
AB 代表原旗杆的位置,AF 表示折段的旗杆,CD 表示小明,如果 AD 小于等于 AF,就有危险,
反之就没有危险。过 D 点作 AB 的垂线,构成直角三角形 AED。
在直角三角形 AED 中,DE=BC=3.9,AE=AB-EB=AB-CD=3,从而 AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。
由题意知 AF=5,所以 AF2=25,显然 AD 小于 AF,有危险。
8.如图,AB 为一棵大树,在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的 C
处有一筐水果,一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处,利用拉在 A 处的滑绳 AC,滑到 C 处,
A
D.
另一只猴子从 D 处滑到地面 B,再由 B 跑到 C,已知两猴子所经路程都是 15m,求树高 AB
( ).
A.10 m B.11 m C.12 m D.15 m
知识点:方程的思想、勾股定理的实际应用问题
知识点的描述:在解决几何中的有关计算问题时,经常要用到代数中的方程,要形成用方程
解决几何问题的思想意识。
答案:C
详细解答:设 AD=x 米,则 AB 为(10+x)米,AC 为(15-x)米,BC 为 5 米,
∴(x+10)2+52=(15-x)2,解得 x=2,∴10+x=12(米)
所以树高 12 m 。
8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底,竹竿高出水面 0.5m,
把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).
A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m
答案:A
详细解答:画出如图所示的示意图,AB 是竖直的竹竿,CB 是拉向岸边的
竹竿,CD 是水面,
由题意知:CD=1.5 m,AD=0.5 m,假设河水的深度 BD 为 x m,那么竹竿的
高就是(x+0.5)m,所以 CB=(x+0.5)m,直角三角形 BDC 中应用勾股定
理得(x+0.5)2=x2+1.52,解得 x=2,所以河水的深度为 2m
9.已知:如图,△ABC 中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,那么 AC=( )
(A) 24 (B)4 (C)6 (D) 12
知识点:转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转
化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。
答案:A (2 6 也行)
分析:由于本题中的△ABC 不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°,添置
AB 边上的高这条辅助线,就可以得到直角三角形,在直角三角形中就可以求得一些线段的
长度
详细解答:作 AB 边的高 CD,如图,
在 Rt△BDC 中,∠B=60°,那么∠BCD=90°-60°=30°,
BC=4,
那么 BD=2,利用勾股定理可求出 CD= 12 ;
在 Rt△ADC 中,∠A=45°,那么∠ACD=90°-45°=45°,所以 AD=CD= 12 ,
那么利用勾股定理得 AC2=AD2+CD2=24,所以 AC= 24 ;
小结:可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可
以作其它辅助线吗?为什么?(注意利用特殊角)
9.已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。四边形 ABCD 的面积为( )。
(A)20 (B) 310
(C) 36 (D)16
答案:C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简,做到 2 48 - 12 就可以了)
分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC,或延长 AB、DC 交于 F,或延长
AD、BC 交于 E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
不妨几种方法都尝试一下,你会有很多收获的。
详细解答:延长 AD、BC 交于 E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
C
A BD
A
B
C
D
E
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= 48 = 34 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= 12 = 32 。
∴S 四边形 ABCD=S△ABE-S△CDE=
2
1 AB·BE-
2
1 CD·DE=
2
1 ×4× 48 -
2
1 ×2· 12 =2 48 - 12 = 36
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形
的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件,一般情
况下是不能把特殊角分割的。
10. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折
叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,则 CD 等于( )
A. cm2 B. cm3 C. cm4 D. cm5
知识点:“折叠”问题、勾股定理的应用
知识点的描述:“折叠”问题是数学中常见问题之一.解决问题的关键就是一定要搞清是怎
样折叠的,尤其是原来的线段和角折叠到哪去了,理清已知和未知,找到能联系二者的直角
三角形,利用勾股定理问题就迎刃而解。
答案:B
详细解答:假设 CD=xcm,那么 DE=CD=xcm,BD=(8-x)cm。
因为直角三角形纸片的两直角边 AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边 AB=10cm,
又 AE=AC=6cm,所以 EB=AB-AE=4(cm),
在 Rt△EBD 中,EB=4cm,DE=xcm,BD=(8-x)cm ,那么(8-x)2=x2+42,
解得 x=3
所以 CD= cm3
10.如下图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边 AD,点 D 落在 BC 边的点 F 处,
已知 AB=8cm,AD=10cm,求 EC 的长( ).
(A)3cm (B)4cm
(C)5cm (D)6cm
答案:A
详细解答:
由折叠的过程可知.△AFE≌△ADE、AD=AF,DE=EF,在 Rt△ABF 中,AB=8cm,AF=10cm,
A
B
E
DC
BF2=AF2-AB2=102-82=62,BF=6,FC=BC-BF=10-6=4cm,如果设 CE=xcm,DE=(8-
x)cm,所以 EF=(8-x)cm.
在 Rt△CEF 中,EF2=CF2+CE2,用这个关系建立方程:(8-x)2=42+x2
解得 x=3,即 CE 的长为 3cm.
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