北师大版数学初中八年级上册课件-第2章-2 二次根式 25页

第二章 实数 2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 学习目标 1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点） （1）如左图所示，礼盒的上面是 正方形，其面积为5，则它的边长 是 .如果其面积为S，则它 的边长是 . 5 S （2）如左图所示，一个长方形的 围 栏，长是宽的2倍，面积为 130m2,则它的宽为 m.65 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位： m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为 .5 h 【问题】如图，正方形ABCD的边长为2，它的对 角线AC的长是多少？ 2 2 2 22 2 8;    AC AB BC 2 2 2 2 2 , 2 4 , 2 2, 2 2 2. ，即 ，                 OA OB OC OD AC BD OA OB AB OA OA OA AC OA 乙同学： 甲同学： 由此可见: 228  24  24 = O 【问题1 】上面问题的结果分别是 ，它们表示 一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 3, , 65 5 hs ， 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0. 【问题2】上面问题的结果分别是 ，分别从形 式上和被开方数上看有什么共同特点？ 3, , 65 5 hs ， ①含有“ ” ②被开方数a ≥0 二次根式的概念及有意义的条件1 ★二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次 根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数. ( 0)a a  两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 ▼ 【例1】 下列各式是二次根式吗? (1) 32, (2) 6, (3) 12, 1a 2 3(6) , (7) 5 是 不是 不是 m xy(4) - (5) ，（x,y异号） 不是 不是 是 不是 不含二次根号 被开方数是负数 当m>0时被开 方数是负数 xy＜0 非负数+正数 恒大于零 根指数是3 解：由x-2≥0，得 x≥2. 【例2】(1)当x取何值时, 在实数范围内有意义?2x  当x≥2时， 在实数范围内有意义.2x  当x=9时， 2 9 2 7.x     （2）当x=0，9时，求二次根式 的值.2x  解：当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义； 【想一想】 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 2x 3x 前者x为全体实数；后者x为正数和0. A. x>1 B. x>-1 C. x ≥1 D. x ≥-1 （3）要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ） 1 1 x A 总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方 数≥0，列不等式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同 时考虑分母不为零. 二次根式的双重非负性 【思考】 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算 术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. a a 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的 双重非负性 2 （2）设 ，试求2x+y的值. 【例3】（1）若 ，求a -b+c的 值. 22 3 ( 4 ) 0a b c      解：（1）由题意可知,a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2017, 所以2x+y=2×1+2017=2019. 1 1+ +2017  y x x 总结: 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初 中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 二次根式的性质及化简 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 94 94  2516 2516  9 4 9 4 25 16 25 16 有何发现？ 2 ＝ ，6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 76 76  7 6 7 6 有何发现？ （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． baab  b a b a  ★商的算术平方根等于算术平方根的商 ★积的算术平方根等于算术平方根的积 【例4】化简： 解：(1) (2) (3) （1） ；（2） ；（3） . 6481  625  9 5 25 6 25 6 5 6.    81 64 81 64 9 8 72.      5 5 5 . 9 39   最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开 得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式. 【例5】化简： (1) 50 25 2 25 2 5 2.    解: 2 2 2 7 1(2) 14. 7 77 7 7      1 1 3 1(3) 3. 33 3 3     2 1(1) 50 (2) (3) . 7 3 ； ； 【例6】 化简: 22 17-25② )00(4 2  baba ，③ 2028① 4 3 169 26 3.   原式解：① 25 17 (25-17 42 8 4 21.    原式 （ ） ）② 24 a b 2a b.   原式 ③ 最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2.式子 有意义的条件是 （ ） 2 3 6x  A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 95 n D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C Da         C A 4.当x________， 在实数范围内有意义． 解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被 开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1. 总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围 通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次 方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为 零． 1 13   x x3 x 1.－ 且 －  6. 设 ，化简下列二次根式.00  ba ， 解：  1 72;   2 32 8 .a b 72或 236 bba  22222 223 22  6 2.   2 32 8a b 2 2 .ab b  1 72 89 262  223  6 2 解:原式= +1-3=3+1-3=1. 5.计算： -19+1 -3 .－ 12 1  解： 1 2 1       1 2-1 = 2+1 2-1   2 2 2 -1= 2 -1 = 2 -1 二次根式 二次根式的定义：形如 （a≥0）的式子 二次根式的性质 最简二次根式 a