北师大版数学初中八年级上册课件-第1章-1勾股定理的应用 27页

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 情境引入 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最 短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点) 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠， 它选择A B 路线，而不选择A C B路线， 难道小狗也懂数学？ C BA AC+CB>AB（两点之间线段最短） 思考：在立体图 形中，怎么寻找 最短线路呢？ 立体图形中两点之间的最短距离 B A 【问题】在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下 了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这 一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂 蚁怎么走最近？ 1 B A d A BA' A BB A O 【想一想】 蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm， π取3，则: B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 15 )33(12 222   AB AB 方法总结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间 线段最短确定最短路线. A' A' 【例1】 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子， 正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少 米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 【变式1】当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同 学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁 滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短 路程是多少？（π取3） E F E F E F E F 解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm). B 牛奶盒 A 【变式2】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿， 小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放 在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒， 你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm B B1 8 A B2 610 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296 AB22= 82 +（10+6）2 =320 AB32= 62 +（10+8）2 =360 勾股定理的实际应用 【问题】李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解:连接对角线AC，只要分别量 出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 2 （2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD 长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？ 解： AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90，AD边垂直 于AB边. （3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有 办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上 取点N使AN=12,测量MN是否是15， 是，就是垂直；不是，就是不垂 直. 【例2】 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放 置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m， CD=1m，试求滑道AC的长. 故滑道AC的长度为5 m. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 【例3 】如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿 北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37° 方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离． 解：如图，过点B作BE∥AD. ∴∠DAB＝∠ABE＝53°. ∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°， ∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002， ∴AC＝500m， 即A、C两点间的距离为500m. E 此类问题解题的关键是将实际问题转化 为数学问题；在数学模型(直角三角形)中， 应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题． 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合， 折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm A B C D E B 2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠 近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在 油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时, x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在2～3 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m). 2 2 21.5 2x   解得：x=2.5 梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m. 解：在Rt△AOB中， 2 2 2 2 225 24 ,OB AB AO    7.OB  在Rt△COD中， 3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO 的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗? 2 2 2 2 225 20 ,OD CD CO    15.OD  8.BD OD OB    4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣 的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一 个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的 芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸 边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2 即52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯 罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知 圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表 面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 解：如图②，在Rt△ABC中， 因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， 所以AB＝45cm， 所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)． 勾股定理 的应用 立体图形中两点之间 的最短距离 勾股定理的实际应用