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  • 2021-10-27 发布

北师大版数学初中八年级上册课件-第1章-1勾股定理的应用

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第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 情境引入 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最 短距离.(重点) 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点) 在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠, 它选择A B 路线,而不选择A C B路线, 难道小狗也懂数学? C BA AC+CB>AB(两点之间线段最短) 思考:在立体图 形中,怎么寻找 最短线路呢? 立体图形中两点之间的最短距离 B A 【问题】在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下 了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这 一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂 蚁怎么走最近? 1 B A d A BA' A BB A O 【想一想】 蚂蚁走哪一条路线最近? A' 蚂蚁A→B的路线 若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为3 cm, π取3,则: B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 15 )33(12 222   AB AB 方法总结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把 立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间 线段最短确定最短路线. A' A' 【例1】 有一个圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建梯子, 正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少 米?(已知油罐的底面半径是2 m,高AB是5 m,π取3) A B A B A' B' 解:油罐的展开图如图,则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 数学思想: 立体图形 平面图形 转化 展开 【变式1】当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时,小明同 学拿饮料瓶的手一抖,那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁 滑到了距离下底3cm的点F处,小蚂蚁到达点F处的最短 路程是多少?(π取3) E F E F E F E F 解:如图,可知△ECF为直角三角形, 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100, ∴EF=10(cm). B 牛奶盒 A 【变式2】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿, 小明又灵光乍现,拿出了牛奶盒,把小蚂蚁放 在了点A处,并在点B处放上了点儿火腿肠粒, 你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么? 6cm 8cm 10cm B B1 8 A B2 610 B3 AB12 =102 +(6+8)2 =296 AB22= 82 +(10+6)2 =320 AB32= 62 +(10+8)2 =360 勾股定理的实际应用 【问题】李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗? 解:连接对角线AC,只要分别量 出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 2 (2)量得AD长是30 cm,AB长是40 cm,BD 长是50 cm. AD边垂直于AB边吗? 解: AD2+AB2=302+402=502=BD2, 得∠DAB=90,AD边垂直 于AB边. (3)若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,能有 办法检验AD边是否垂直于AB边吗? 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上 取点N使AN=12,测量MN是否是15, 是,就是垂直;不是,就是不垂 直. 【例2】 如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放 置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长. 故滑道AC的长度为5 m. 解:设滑道AC的长度为x m,则AB的 长也为x m,AE的长度为(x-1)m. 在Rt△ACE中,∠AEC=90°, 由勾股定理得AE2+CE2=AC2, 即(x-1)2+32=x2, 解得x=5. 数学思想: 实际问题 数学问题 转化 建模 【例3 】如图,在一次夏令营中,小明从营地A出发,沿 北偏东53°方向走了400m到达点B,然后再沿北偏西37° 方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离. 解:如图,过点B作BE∥AD. ∴∠DAB=∠ABE=53°. ∵37°+∠CBA+∠ABE=180°, ∴∠CBA=90°, ∴AC2=BC2+AB2=3002+4002=5002, ∴AC=500m, 即A、C两点间的距离为500m. E 此类问题解题的关键是将实际问题转化 为数学问题;在数学模型(直角三角形)中, 应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合, 折痕为DE,则BE的长为( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm A B C D E B 2.有一个高为1.5 m,半径是1 m的圆柱形油桶,在靠 近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在 油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长? 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时, x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在2~3 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m). 2 2 21.5 2x   解得:x=2.5 梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m. 解:在Rt△AOB中, 2 2 2 2 225 24 ,OB AB AO    7.OB  在Rt△COD中, 3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO 的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗? 2 2 2 2 225 20 ,OD CD CO    15.OD  8.BD OD OB    4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣 的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一 个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的 芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸 边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少? D A B C 解:设水池的水深AC为x尺, 则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺, 在直角三角形ABC中,BC=5尺 由勾股定理得,BC2+AC2=AB2 即52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1, 2 x=24, ∴ x=12, x+1=13. 答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺. 5. 为筹备迎接新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯 罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图①.已知 圆筒的高为108cm,其横截面周长为36cm,如果在表 面均匀缠绕油纸4圈,应裁剪多长的油纸? 解:如图②,在Rt△ABC中, 因为AC=36cm,BC=108÷4=27(cm). 由勾股定理,得 AB2=AC2+BC2=362+272=2025=452, 所以AB=45cm, 所以整个油纸的长为45×4=180(cm). 勾股定理 的应用 立体图形中两点之间 的最短距离 勾股定理的实际应用