2020-2021学年初二数学上册单元真题训练：勾股定理 6页

2020-2021 学年初二数学上册单元真题训练：勾股定理 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1、下列条件中，使 ABC 不是直角三角形的是（ D ） A、 3=AB ， 4=BC ， 5=AC B、 222 ACBCAB =− C、 3:2:1:: = CBA D、 3:2:1:: =ACBCAB 2、如图，“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形所围成，在 ABCRt  中， bAC = ， aBC = ， = 90ACB ，若图中大正方形的面积为 48，小正方形的面积为 6，则 ( )2ba + 的值为（ D ） A、60 B、79 C、84 D、90 3、如图，在数轴上点 A，B 所表示得数分别是﹣1，1， ABCB ⊥ ， 1=BC ，以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交数轴于点 D（点 D 在点 B 的右侧），则点 D 所表示的数是（ B ） A、 5 B、 15 − C、 2 D、 52 − 4、如图，在 中， ， 4=AC ， 3=BC ， ABCD ⊥ 于 D，则 CD 的长是（ C ） A、5 B、7 C、 5 12 D、 5 24 5、直角三角形中，有两边的长分别为 3 和 4，那么第三边的长的平方为（ D ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 6、2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是 由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面 积是 34，小正方形的面积是 4，直角三角形较短的直角边是 a，较长的直角边是 b，那么 ( )2ba + 的 值为（ D ） A、38 B、49 C、52 D、64 7、已知 a，b，c 是三角形的三边长，如果满足 ( ) 0|15|912 2 =−+−+− cba ，则三角形的形 状是（ A ） A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形 b 第 6 题图 a 第 12 题图 B C 4km E 第 6 题图 A D 6km 第 2 题图 a B C b A 第 4 题图 D B C A 第 2 题图 D B C A 1 1 2 0 -1 8、用反证法证明命题：“已知 ABC ， ACAB = ，求证： = 90B ”第一步应先假设（ A ） A、  90B B、  90B C、  90B D、 ACAB  9、等腰三角形一腰长为 5，这一腰上的高为 3，则这个等腰三角形底边长为（ C ） A、 10 B、 103 C、 10 或 103 D、4 或 103 10、用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 60°”时，应先假设（ D ） A、在三角形中，至少有一个内角大于 60° B、在三角形中，三个内角都大于 60° C、在三角形中，至少有一个内角小于 60° D、在三角形中，三个内角都小于 60° 11、如图，高速公路上有 A、B 两点相距 10km，C、D 为两村庄，已知 kmDA 4= ， kmCB 6= ， ABDA ⊥ 于 A， ABCB ⊥ 于 B，现要在 AB 上建一个服务站 E，使得 C、D 两村庄到 E 站的距离 相等，则 EA 的长是（ C ）km A、4 B、5 C、6 D、 20 12、如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 16cm，在容器内壁离容器底 部 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿 4cm 的点 A 处， 若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 20cm，则该圆柱底面周长为（ D ） A、12cm B、14cm C、20cm D、24cm 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13、如图，在校园内有两棵树相距 12 米，一棵树高 14 米，另一棵树高 9 米，一只小鸟从一 棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米； 【答案】13 14、a，b，c 是 ABC 的三边长，满足关系式 0|| 222 =−−+− bacba ，则 ABC 的形状 为 ； 【答案】等腰直角三角形 15、如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长的直角边 长为 b，那么 ba + 的值为 ； 【答案】5 16、如图，两个正方形的面积分别是 181 =S ， 122 =S ，则第三个正方形的面积 ____3 =S . 【答案】6 三、解答题（本大题 6 个小题，共 56 分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分 10 分）已知 a，b，c 满足 ( ) 01858 2 =−+−+− cba . 第 13 题图 第 15 题图 第 16 题图 （1）求 a，b，c 的值；并求出以 a，b，c 为三边的三角形周长； （2）试问以 a，b，c 为边能否构成直角三角形？请说明理由。 【分析】（1）由非数的性质可分别求得 a、b、c 的值，进而解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可、 【解答】解：（1）∵ ( ) 01858 2 =−+−+− cba ∴ 08 =−a ， 05 =−b ， 018 =−c ∴ 22=a ， 5=b ， 23=c ∴以 a，b，c 为三边的三角形周长 25552322 +=++= （2）不能构成直角三角形， ∵ 2618822 =+=+ ca ， 252 =b ∴ 222 bca + ∴不能构成直角三角形 【点评】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得 a、b、c 的值是解题的关键。 18、（本小题满分 8 分）如图，在 ABCRt  中， = 90BCA ， 12=AC ， 13=AB ，点 D 是 ABCRt  外一点，连接 DC，DB，且 4=CD ， 3=BD （1）求 BC 的长； （2）求证： BCD 是直角三角形。 【分析】（1）在 中，根据勾股定理即可求得 BC 的长；（2）利用勾股定理逆定理即可 证明 是直角三角形。 【解答】（1）解：∵ 中， ， ， ∴ 51213 2222 =−=−= ACABBC （2）证明：∵在 中， ， ， 5=BC ∴ 222 BCBDCD =+ ∴ 是直角三角形。 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理、勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角 边长的平方之和一定等于斜边长的平方、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 222 cba =+ ，那么这个三角形就是直角三角形、掌握定理是解题的关键。 19、（本小题满分 8 分）如图，6×6 网格中每个小正方形的边长都为 1， ABC 的顶点均为网 格上的格点。 （1） _________=AB ； _________=BC ； _________=AC ； （2） = _________ABC ； （3）在格点生存在点 P，使 = 90APC ，请在图中标出所有满足条件的格点 P（用 P1、P2… 表示） 【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；（3）根据题意 找到满足 的格点 P 即可求解。 B C A D B C A P3 P1 P2 【解答】解：（1） 521 22 =+=AB ； 5242 22 =+=BC ； 543 22 =+=AC （2）∵ ( ) ( ) 222 5525 =+ ∴ = 90AB C （3）如图所示： 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定 理的逆定理是解题的关键。 20、（本小题满分 8 分）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为 1 的正方形， ABC 的顶 点都在格点上、 （1）分别求出 AB，BC，AC 的长； （2）试判断 是什么三角形，并说明理由。 【分析】（1）根据勾股定理求出边的长度即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可。 【解答】解：（1） ； ； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵ ( ) ( ) 25525 2222 =+=+ BCAB ， 25522 ==AC ∴ 222 ACBCAB =+ ∴ 是直角三角形 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的 内容是解此题的关键。 21、（本小题满分 10 分）如图所示，已知 中， = 90B ， cmAB 16= ， cmAC 20= ，P、 Q 是 的边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 ts. （1）则 cmBC _________= ； （2）当 t 为何值时，点 P 在边 AC 的垂直平分线上？此时 cmCQ _________= ； （3）当点 Q 在边 CA 上运动时，直接写出使 BCQ 成为等腰三角形的运动时间。 【 分 析 】（ 1 ） 由 勾 股 定 理 即 可 得 出 结 论 ；（ 2 ） 可 得 tPAPC == ， tPB −=16 ，则 ( ) 222 1612 tt =−+ ，解出 2 25=t 可求出 CQ； （3）用 t 分别表示出 BQ 和 CQ，利用等腰三角形的性质可分 BCBQ = 、 BCCQ = 和 CQBQ = 三种情况，分别得到关于 t 的方程，可求得 t 的值。 【解答】解：（1）∵ ， ， ∴ 121620 2222 =−=−= ABACBC （cm） B C A Q C 故答案为：12； （2）∵点 P 在边 AC 的垂直平分线上 ∴ tPAPC == ， tPB −= 16 在 BPCRt  中， 222 CPBPBC =+ ，即 ( ) 222 1612 tt =−+ 解得： 2 25=t 此时，点 Q 在边 AC 上， 13122 252 =−=CQ （cm）； 故答案为：13cm （3）①当 CQBQ = 时，如图 1 所示， 则 CB QC = ∵ = 90AB C ∴ =+ 90ABQCBQ ， =+ 90CA ∴ A B QA = ∴ AQBQ = ∴ 10== AQCQ ∴ 22=+ CQBC ∴ 11222 ==t 秒 ②当 BCCQ = 时，如图 2 所示， 则 24=+ CQBC ∴ 12224 ==t 秒 ③当 BQBC = 时，如图 3 所示， 过 B 点作 ACBE ⊥ 于点 E ∴ 5 48 20 1612 ==•= AC BCABBE ∴ 5 3622 =−= BEBCCE ∴ 4.142 == CECQ ∴ 4.26=+ CQBC ∴ 2.1324.26 ==t 秒 综上所述：当 t 为 11 秒或 12 秒或 13.2 秒时， B CQ 为等腰三角形。 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识、用时 间 t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用、 22、（本小题满分 12 分）利用勾股定理可以在数轴上画出表示 20 的点，请依据以下思路完 成画图，并保留画图痕迹： 第一步：（计算）尝试满足 2220 ba += ，使其中 a，b 都为正整数，你取的正整数 ______=a ， ______=b ； 第二步：（画长为 的线段）以第一步中你所取的正整数 a，b 为两条直角边长画 OEFRt ， 使 O 为原点，点 E 落在数轴的正半轴上， = 90OEF ，则斜边 OF 的长即为 ； -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法） 第三步：（画表示 20 的点）在下面的数轴上画出表示 的点 M，并描述第三步的画图步 骤： . 【分析】第一步：利用实数的运算可确定 a 和 b 的值；第二步：4 对应的点为 E 点，过点 E 作数轴的垂线，再截取 EF＝2，然后连接 OF，则 20=OF ；第三步：如图，在数轴的正半轴上 截取 OFOM = 即可； 【解答】解：第一步： 4=a ， 2=b ； 第二步：如图，OF 为所作； 第三步：如图，以原点为圆心，OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 为所作； 故答案为 4，2；以原点为圆心，OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 为所作。 【点评】本题考查了勾股定理，作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行 作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法、解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形 的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。