八年级上数学期末综合复习之一：勾股定理 4页

S1 S2 S3 A B C 图 1 第 14 题图 A 时 B 时 第一章：勾股定理 一、基础测试 1．在直角三角形中，两直角边的等于.若用 a、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则。 2．在三角形中，若等于第三边的平方，则这个三角形为，这是判定一个三角形是的方法． 3．能构成直角三角形边长的三个称为勾股数。 二、专题讲解： 专题 1 勾股定理与面积 例 1 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 外作三 个正方形，S1，S2，S3 分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3 =225，则 S2= 。 思考：将△ABC 外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？ 专题 2 勾股定理与方程 例 2 如图 2，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，且 BD=6，AD=6，SΔABC=42，求 AC 的长。 思考：如图 3，在△ABC 中，AC＝3○，BC=4，求 AB 的长。 专题 3 勾股定理的实际应用 例 3 如图 4，一个机器人从 O 点出发，向正东方向走 3 米到达 A1 点，再向 正 北 方向走 6 米到达 A2 点，再向正西方向走 9 米到达 A3 点．再向正南方向走 12 米 到达 A4 点，再向正东方向走 15 米到达 A5 点，按如此规律走下去，当机器 人 走 到 A6 点时，离队点的距离是_______米． 解：15 点拨：解此题时要注意算对 A1A2，A2A3，A3A4，A5A6，等各 线 段 的长，再利用勾股定理求解． 例 4 如图 5，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC，粮 堆的 母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥 侧面 到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值） 专题 4 勾股逆定理的实际应用 例 5 如图 6，一棵大树在一次强台风中在离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地 面 成 30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A．10 米 B．15 米 C．25 米 D．30 米 解：B 点拨：主要考查直角三角形中 30○的角所对的直角边等于斜边的一半． 例 6 在△ABC 中，AC= 2 ,BC＝ 3 ，AB=3，则 cosA=_______． 解: 2 3 点拨：先运用勾股定理逆定理判断：AC2＋BC2 =2＋7=9，AB2 = 9， 所以 AC2＋BC2=AB2，所以 △ABC 为直角三角形．再由三角函数定义求 cosA． 三、针对性训练： 1．（2010 山东德州第 14 题）如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两 次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m. 答案 ： 4 2.（2010·浙江温州第 16 题）勾股定理有着悠久的历史，它曾引 起很多人的兴趣．l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮 票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠ BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点 H 在边 QR 上，点 D， E 在边 PR 上，点 G，F 在边_PQ 上，那么 APQR 的周长等于． 答案: 27 13 3 3．（2010，浙江义乌）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是▲．(写出一组即 可) 答案；3、4、5（答案不唯一，满足题意的均可） 4.（2010·绵阳第 17 题）如图，一副三角板拼在一起，O 为 AD 的中点，AB = a．将 △ABO 沿 BO 对折于△A′BO，M 为 BC 上一动点，则 A′M 的最小值为． 答案： a4 26  5．（2010 哈尔滨第 19 题）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′处，折痕为 EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度． 答案：125 6．（2010 湖北省咸宁市第 24 题）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥DC， 90DAB   ， 2 4AD DC  ， 6AB  ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l∥AD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）． （1）当 0.5t  时，求线段QM 的长； （2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； （3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究 CQ RQ 是否为定值，若是，试求这个定 值；若不是，请说明理由． 45 60 A′ B M A O D C A B CD （备用图 1） A B CD （备用图 2） Q A B CD l M P （第 24 题） E A B C D E （第 18 题） A CB D E F G 14 2 3 题图24 答案：见后面详细解答。 7．（2010 年眉山第 7 题）如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正 方形的顶点，则 ∠ABC 的度数为 A．90° B．60° C．45° D．30° 答案：C 8．全等、四边形、勾股定理（2010 山西第 18 题）．如图，在△ABC 中，AB＝AC ＝ 13 ， BC＝10，D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，则 DE 的长是______________。 答案：60 13 9． (10 重庆潼南县第 24 题)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF， ∠1=∠2，∠3=∠4． （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求 EF 的长． 答案：见后面详细解答。 第 6 题详解 ．解：（1）过点 C 作 CF AB 于 F，则四边形 AFCD 为矩形． ∴ 4CF  ， 2AF  ． 此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2 分 ∴ QM CF AM AF  ． 即 4 0.5 2 QM  ，∴ 1QM  ．……3 分 （2）∵ DCA 为锐角，故有两种情况： ①当 90CPQ   时，点 P 与点 E 重合． 此时 DE CP CD  ，即 2t t  ，∴ 1t  ．……5 分 ②当 90PQC   时，如备用图 1， 此时 Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴ EQ MA PE QM  ． 由（1）知， 4 2EQ EM QM t    ， 而 ( ) (2 ) 2 2PE PC CE PC DC DE t t t          ， ∴ 4 2 1 2 2 2 t t   ． ∴ 5 3t  ． 综上所述， 1t  或 5 3 ．……8 分（说明：未综述，不扣分） （3） CQ RQ 为定值．……9 分 当 t ＞2 时，如备用图 2， 4 ( 2) 6PA DA DP t t       ． 由（1）得， 4BF AB AF   ． ∴ CF BF ． ∴ 45CBF   ． ∴ 6QM MB t   ． ∴QM PA ． A B CD （备用图 1） Q P E l M A B CD （备用图 2） M QR F P Q A B CD l M P （第 6 题） E F A CB D E F G 14 2 3 题图24 ∴四边形 AMQP 为矩形． ∴ PQ ∥ AB ．……11 分 ∴△CRQ∽△CAB． ∴ 2 2 4 2 2 2 6 3 CQ BC CF BF RQ AB AB     ．……12 分 第 9 题详解 解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD。 在△ABE 和△DAF 中，       34 12 DAAB ∴△ABE≌△DAF。 （2）∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠1+∠4=900。 ∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=900。∴∠AFD=900。 在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠1=∠AGB=300。 在 Rt△ADF 中，∠AFD=900，AD=2，∴AF= 3 ，DF =1。 由(1)得△ABE≌△ADF。∴AE=DF=1。∴EF=AF-AE= 13  。