北师大版数学初中八年级上册课件-第1章-1探索勾股定理 23页

第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理 1.学会用几种方法验证勾股定理．（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点） 学习目标 【活动】请你利用自己准备的四个全等的 直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的 拼法吗？ 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？ 【问题】上节课我们认识了勾股定理，你还 记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 勾股定理的验证1 a a a a b b b b c cc c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4• ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4• ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 1 2 1 2 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b- a)2 1 2 1 2 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角 三角形组合而成，利用 面积公式，列出代数关 系式,得 化简,得 21 1 1( )( ) 2 . 2 2 2 a b b a ab c     2 2 2 .a b c  验证方法三：美国总统证法 a b c青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 a b c A B C D E F O 达·芬奇对勾股定理的证明 Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明 △BCF≌△BDA，利用三角形 面积与长方形面积的关系， 得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积， 于是推得 2 2 2AB AC BC  欧几里得证明勾股定理 c c bb a a 【练习】观察下图,用数格子的方法判断图 中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 【例1】我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦 查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红 外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与 他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 BC A 400m 500m 勾股定理的简单应用2 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的 距离为300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h. 1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC 方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ ) A BC A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A A B C 2.如图,太阳能热水器的支架AB 长为90 cm,与AB垂直的BC长为 120 cm.太阳能真空管AC有多长? 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm). 答:太阳能真空管AC长150 cm. 【例2】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄， 它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝ 2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之 和最短，求这个最短距离和． 解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 【变式】如图，在一条公路上有A、B两站相距25km， C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油 站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站 多远处? D A E B C 15 10 25-x , 25 ) AE x EB x 设 长为 千米 则 长为( 千米 解： ， 由题意得 2 2 2 215 10 25 )x x   （ 10x 解得 10E A站应答： 建在距 站 千米处. 1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以 是 ．(写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可. 答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.如图，王大爷准备建一个蔬菜 大棚，棚宽8m，高6m，长20m， 棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计 墙的厚度，阳光透过的最大面积 是_________.200m2 3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落 在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m， 根据勾股定理得 2 2 29 12 x  ， 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中 的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m， BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境， 欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满 这块空地共需花费多少元？ 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，∴AC=5m， 在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，∴CD=12m， S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD= AB•BC+ AC•DC = (3×4+5×12)=36 m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 1 2 1 2 1 2 探索勾股 定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用