北师大版数学初中八年级上册课件-第1章-1一定是直角三角形吗 25页

第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 情境引入学习目标 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题． （难点） 【问题】同学们你们知道古埃及人用什么方法得到 直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段, 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个 助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到 一个直角三角形, 其直角在第1个结处. 【探究】下面有三组数分别是一个三角形的三 边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角 器量一量，它们都是直角三角形吗？ 勾股定理的逆定理1 0180 150 120 90 60 30 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 7 24 25 5 1312 17 8 15 【思考】从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗? △ABC≌△ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　a b c 如图，已知△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分 别为a,b的 Rt△A′B′C′ 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA, 连接A1B1. 在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B1 2=a2+b2=AB2 . ∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS） ∴ ∠C=∠C1=90°， ∴ △ABC是直角三角形. a c b A C B C1 M N B1 A1 u勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A CB a bc 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三 角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平 方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角. u特别说明： 【例1】一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件 各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形， ∠A是直角. 【例2】 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠C是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以 132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个 三角形不是直角三角形. (3) a:b: c=3:4:5; 解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角. 总结：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长 的平方. 【变式1】 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n 为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若 是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 先确定AB、BC、AC、 的大小 【变式2】 若三角形ABC的三边 a,b,c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ∴△ABC直角三角形. 【例3】 在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC 上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的 位置关系，并说明理由． 1 4 解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数2 ▼常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. ▼勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组 新数，这组数同样是勾股数. 【例4】下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整 数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其 他两边的平方和即可. 1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可 以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流. 4 1 2 2 4 3 解:△ABE，△DEF，△FCB ， 均为直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2, ∴ △BEF是直角三角形. 6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面 积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中,由勾股定理, 得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m， 又∵ CD=12cm，BC=13cm ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD = BD•CD－ AB•AD = (5×12－3×4)=24 m2． 1 2 1 2 1 2 C B A D 【变式】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC 的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm， 求△ABC的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC=5 cm, 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ D C B A 一定是 直角三 角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角 形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足a2+b2=c2的 三个正整数