数学人教版八年级上册课件13-3等腰三角形（第1课时） 31页

第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第1课时 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 学习目标 导入新课 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 讲授新课 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并 剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直 角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 等腰三角形的性质 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等 如何证明两个 角相等呢？ 可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的 证法吗？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你 还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下， 看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的 性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC， ∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶 角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B CD 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A CB 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）. A CB D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在△ABC中, 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD. A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关 系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x°,请把△ ABC的内 角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程 思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°， 求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°. 针对训练： 例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角 形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A. A 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角， 要分两种情况讨论． 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证： AF⊥BC. 典例精析 图②图① 证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中， 有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上 的高、底边上的中线是常见的辅助线． 当堂练习 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若 ∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另 外两个角为____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外 两个角为____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外 两个角为_ ___ __. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 ___________．A B C A B C 70°或20° 注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐 角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B CD 解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°， ∠BAD = ∠ DAC， ∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. 1 2BAD BAC  ∴ = 60°. 6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底 角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ 1 1 2 2DBC ABC ECB ACB     ， ， 7.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边 长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰 三角形的所有格点C的位置． A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类 就不会漏 啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓展提升： 课堂小结 等 腰 三 角 形 的 性 质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不具 有这一性质.