数学华东师大版八年级上册课件12-5 因式分解 第2课时 18页

第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时 学习目标 复习引入 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的 因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？ 它们有什么关系？ 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形 u正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c )pa+ pb +pc p= 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： 2 2 2= 2a b a ab b  （ ） 2 2=a b a b a b （ ）（ - ） 运用平方差公式因式分解一 想一想： 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ))(( b a ba -+=22 ba - ))(( 22baba ba-+ = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的 多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能 写成: ( )2-( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2（4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2(1) 4 9;x  例1 分解因式： 2 2(2 ) 3x  (2 3)(2 3);x x   2 2(2) ( ) ( ) .x p x q   a ab b( + )( - )a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3    ( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q      (2)原式 (2 )( ).x p q p q    2 2( ) ( )x p x q   典例精析 例2 分解因式： 4 4 3(1) ; (2) .x y a b ab  22 22(1) ( ) ( )yx 解： 原式 2 22 2( )( )y yx x   2 2( )( )( );x y x y x y    2(2) ( 1)ab a 原式 ( 1)( 1).ab a a   …………一提（公因式） ……二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 运用完全平方公式因式分解二 完全平方公式: 22 2 baba  完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全 平方形式，便实现了因式分解. 2 2 22 ( )     首 首 尾 尾 首 尾 a2 2 a b b2± . +. = (a ± b)² 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2 a a 2b a + 2b2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 3 222 )(2 尾首尾尾首首  a2 2 a b b2± . +. （ a ± b )² = 3 x 2 m 3 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 22 2 尾尾首首  a2 2 a b b2± . +. 例3 分解因式： （1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 例4 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步 分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 例5 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确. 当堂练习 (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 2.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4a2-4a+1. 解：(1)原式 =x2－2·x·6+（6）2 =（x－6）2; (2)原式=（2a）² － 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2. ( 1 )( 1 ).    y x y x 2(2014 2013)  1 . 3.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12 D 2 2(2014) 2 2014 2013 (2013)    解：原式 2 22 0 1 4 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 .  4.计算： 5.分解因式： 2 22 1 .  y y x 2 2( 1)y x  解：原式 课堂小结 公 式 法 因 式 分 解 公 式 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 步 骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止. 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2