数学人教版八年级上册课件13-1轴对称（第2课时） 31页

第十三章 轴对称 13.1轴对称 第2课时 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． (重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际 问题．（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、 B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于 何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 讲授新课 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请 你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发 现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的 数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 线段垂直平分线的性质 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂 直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周 长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 典例精析 C 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋ CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝ 35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段 之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长 是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点K和 点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧， 交AB于点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F. 1 2 F （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 2 DE（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ 想一想： 例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线 交于P.求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的 垂直平分线上 解析： 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物 中心的位置，使得它到三个 小区的距离相等吗？ 例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的 延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝ ∠ECF，再根据E是CD的中点可得出 △ADE≌△FCE，根据全等三角形的性 质即可解答． (2)先根据线段垂直平分线的性质得出 出AB＝BF，再结合（1）即可解答． 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点，∴DE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE， ∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF. ∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB＝BF＝BC＋CF. ∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD. 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢？ P A B 合作探究 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直 平分线上． 线段垂直平分线的判定 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A BC 知识要点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上． u应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等 的点都在直线l上，所以 直线l 可以看成与A、B 两点 的距离相等的所有 点的集合. P A BC l u应用格式： ∵　AB =AC，MB =MC， ∴　直线AM 是线段BC 的垂直 平分线． A B C D M 这是判断一条直 线是线段的垂直 平分线的方法. 例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. 例6 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交 于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确 定购物中心的位置， 使得它到三个小区的 距离相等吗？ 当堂练习 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的 是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC, 则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 4.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA ＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）.① ② ③ 3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB， EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共 有　　　　种.无数 5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长 是 cm. A B C D E 16 6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O，∴ AO=BO. 7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 解：AD垂直平分EF. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°. 又∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE＝AF，DE＝DF. ∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直 平分线段EF. A B CD E F 8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂 足为点O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明 它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得 出相等的线段； (2)由条件可证明△AOC≌△AOD， 可得AO平分∠DAC，根据角平分线 的性质可得OE＝OF. 拓展提升： 解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中， ∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF. 课堂小结 线段的 垂直平 分的性 质和判 定 性 质 到线段的两个端点距离相等 的点在线段的垂直平分线上 内 容 判 定 内 容 作 用 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等 作 用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上