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- 2021-11-01 发布
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2020 年秋人教版八年级数学上册期末试卷(2)
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,请选出各题中一个符合
题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4 分)将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成三角形的是( )
A.2,5,8 B.3,4,5 C.2,2,4 D.1,2,3
2.(4 分)下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图,则它们是轴对称图形
的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(4 分)下列运算中,正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.a2•a4=a6 C.3a2÷2a=a D.(2a)2=2a2
4.(4 分)若分式 的值是零,则 x 的值是( )
A.x=﹣2 B.x=±3 C.2 D.x=3
5.(4 分)长方形的面积为 x2﹣2xy+x,其中一边长是 x,则另一边长是( )
A.x﹣2y B.x+2yC.x﹣2y﹣1 D.x﹣2y+1
6.(4 分)如图,E,B,F,C 四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个
条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是( )
A.AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE
7.(4 分)如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若 PC=4,则 PD
等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.(4 分)如图(1),是一个长为 2a 宽为 2b(a>b)的矩形,用剪刀沿矩形的
两条对角轴剪开,把它分成四个全等的小矩形,然后按图(2)拼成一个新的正
方形,则中间空白部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
9.(4 分)“五水共治”工程中,要挖掘一段 a 千米的排污管沟,如果由 10 个工人
挖掘,要用 m 天完成;如果由一台挖掘机工作,要比 10 个工人挖掘提前 3 天完
成,一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的( )
A. B. C. D.
10.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把点 P1(﹣y+1,
x+1)叫做点 P 的伴随点,已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3
的伴随点为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…,An,若点 A1 的坐标为(3,
1),则点 A2015 的坐标为( )
A.(0,4) B.(﹣3,1) C.(0,﹣2) D.(3,1)
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分
11.(5 分)点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 .
12.(5 分)因式分解:x2﹣4y2= .
13.(5 分)等腰三角形一边等于 4,另一边等于 2,则周长是 .
14.(5 分)若 a﹣b=5,ab=3,则 a2+b2= .
15.(5 分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特
征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形”,那么它
的“特征角”等于 度.
16.(5 分)如图,把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍,得到△
A1B1C1,那么△A1B1C1 的面积是 (用含 m 的式子表示)
三、解答题(本题有 8 小题,第 17-20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23
题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分
17.(4 分)分解因式:4xy2+4x2y+y3.
18.(4 分)解方程: .
19.(8 分)先化简再求值:( ﹣ )÷ ,其中 x=3.
20.(8 分)在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,F、E 分别是 AD 及其延长线上的
点,CF∥BE.求证:CF=BE.
21.(8 分)一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间,且点 D,C,E 在同一直
线上,已知稍高的柜高 AD 为 80cm,两柜距离 DE 为 140cm.求稍矮的柜高 BE.
22.(10 分)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮
球的单价比足球的单价多 40 元,用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球
个数相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)该校打算用 800 元购买篮球和足球,恰好用完 800 元,问有哪几种购买方
案?
23.(12 分)探究题:
(1) 都相等, 都相等的多边形叫做正多边形;
(2)如图,格点长方形 MNPQ 的各点分布在边长均为 1 的等边三角形组成的网
格上,请在格点长方形 MNPQ 内画出一个面积最大的格点正六边形 ABCDEF,并
简要说明它是正六边形的理由;
(3)正六边形有 条对角线,它的外角和为 度.
24.(12 分)阅读理解:(请仔细阅读,认真思考,灵活应用)
【例】已知实数 x 满足 x+ =4,求分式 的值.
解:观察所求式子的特征,因为 x≠0,我们可以先求出 的倒数的值,
因为 =x+3+ =x+ +3=4+3=7
所以 =
【活学活用】
(1)已知实数 a 满足 a+ =﹣5,求分式 的值;
(2)已知实数 x 满足 x+ =9,求分式 的值.
25.(14 分)有公共顶点 A 的△ABD,△ACE 都是的等边三角形.
(1)如图 1,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当 E,C,B 共线时,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当∠ACD=90°时,延长 EC 角 BD 于 F,
①求证:∠DCF=∠BEF;
②写出线段 BF 与 DF 的数量关系,并说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,请选出各题中一个符合
题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4 分)将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成三角形的是( )
A.2,5,8 B.3,4,5 C.2,2,4 D.1,2,3
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边进行分析即可.
【解答】解:A、2+5<8,不能组成三角形,故此选项错误;
B、3+4>5,能组成三角形,故此选项正确;
C、2+2=4,不能组成三角形,故此选项错误;
D、1+2=3,不能组成三角形,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理,在运用三角形三边关系判定三
条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度
之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
2.(4 分)下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图,则它们是轴对称图形
的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
【解答】解:第一个图形是轴对称图形;
第二个图形是轴对称图形;
第三个图形不是轴对称图形;
第四个图形是轴对称图形;
所以一共有三个轴对称图形.
故选 C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分折叠后可重合.
3.(4 分)下列运算中,正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.a2•a4=a6 C.3a2÷2a=a D.(2a)2=2a2
【考点】整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【专题】计算题;整式.
【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断;
D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式=a6,错误;
B、原式=a6,正确;
C、原式= a,错误;
D、原式=4a2,错误,
故选 B
【点评】此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,以及幂的乘方与积的乘方,
熟练掌握运算法则是解本题的关键.
4.(4 分)若分式 的值是零,则 x 的值是( )
A.x=﹣2 B.x=±3 C.2 D.x=3
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】直接利用分式的值为 0,则分子为 0,进而得出答案.
【解答】解:∵分式 的值是零,
∴x+2=0,
解得:x=﹣2.
故选:A.
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,正确把握定义是解题关键.
5.(4 分)长方形的面积为 x2﹣2xy+x,其中一边长是 x,则另一边长是( )
A.x﹣2y B.x+2yC.x﹣2y﹣1 D.x﹣2y+1
【考点】整式的除法.
【专题】计算题;整式.
【分析】根据面积除以一边长得到另一边长即可.
【解答】解:根据题意得:(x2﹣2xy+x)÷x=x﹣2y+1,
故选 D
【点评】此题考查了整式的除法,熟练掌握除法法则是解本题的关键.
6.(4 分)如图,E,B,F,C 四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个
条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是( )
A.AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE
【考点】全等三角形的判定.
【分析】由 EB=CF,可得出 EF=BC,又有∠A=∠D,本题具备了一组边、一组角
对应相等,为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF,那么添加的条件与原
来的条件可形成 SSA,就不能证明△ABC≌△DEF 了.
【解答】解:A、添加 DE=AB 与原条件满足 SSA,不能证明△ABC≌△DEF,故 A
选项正确.
B、添加 DF∥AC,可得∠DFE=∠ACB,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 B 选项
错误.
C、添加∠E=∠ABC,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 C 选项错误.
D、添加 AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 D 选项
错误.
故选:A.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边
的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
7.(4 分)如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若 PC=4,则 PD
等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】菱形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形.
【专题】几何图形问题.
【分析】过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M,可得∠CPO=∠POD,再结合题目推出四
边形 COMP 为菱形,即可得 PM=4,又由 CO∥PM 可得∠PMD=30°,由直角三角
形性质即可得 PD.
【解答】解:如图:过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M,PM∥CO
∴∠CPO=∠POD,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA
∴四边形 COMP 为菱形,PM=4
PM∥CO
⇒
∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°,
又∵PD⊥OA
∴PD= PC=2.
令解:作 CN⊥OA.
∴CN= OC=2,
又∵∠CNO=∠PDO,
∴CN∥PD,
∵PC∥OD,
∴四边形 CNDP 是长方形,
∴PD=CN=2
故选:C.
【点评】本题运用了平行线和直角三角形的性质,并且需通过辅助线求解,难度
中等偏上.
8.(4 分)如图(1),是一个长为 2a 宽为 2b(a>b)的矩形,用剪刀沿矩形的
两条对角轴剪开,把它分成四个全等的小矩形,然后按图(2)拼成一个新的正
方形,则中间空白部分的面积是( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2
【考点】完全平方公式的几何背景.
【分析】先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方
形的面积﹣矩形的面积即可得出答案.
【解答】解:由题意可得,正方形的边长为(a+b),
故正方形的面积为(a+b)2,
又∵原矩形的面积为 4ab,
∴中间空的部分的面积=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2.
故选 C.
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景,求出正方形的边长是解答本题的
关键,难度一般.
9.(4 分) “五水共治”工程中,要挖掘一段 a 千米的排污管沟,如果由 10 个工
人挖掘,要用 m 天完成;如果由一台挖掘机工作,要比 10 个工人挖掘提前 3 天
完成,一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的( )
A. B. C. D.
【考点】列代数式(分式).
【分析】此题可利用工作总量作为相等关系,借助方程解题.
【解答】解:设一台插秧机的工作效率为 x,一个人工作效率为 y.
则 10my=(m﹣3)x.
所以 = ,
故选:D.
【点评】本题主要考查了列代数式的知识,列代数式的关键是正确理解文字语言
中的关键词,找到其中的数量关系,工程问题要有“工作效率”,“工作时间”,“工
作总量”三个要素,数量关系为:工作效率×工作时间=工作总量.
10.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把点 P1(﹣y+1,
x+1)叫做点 P 的伴随点,已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3
的伴随点为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…,An,若点 A1 的坐标为(3,
1),则点 A2015 的坐标为( )
A.(0,4) B.(﹣3,1) C.(0,﹣2) D.(3,1)
【考点】规律型:点的坐标.
【分析】根据伴随点的定义,罗列出部分点 A 的坐标,根据点 A 的变化找出规
律“A4n+1(3,1),A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数)”,
根据此规律即可解决问题.
【解答】解:观察,发现规律:A1(3,1),A2(0,4),A3(﹣3,1),A4(0,
﹣2),A5(3,1),…,
∴A4n+1(3,1),A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数).
∵2015=4×503+3,
∴点 A2015 的坐标为(﹣3,1).
故选 B.
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是发现规律“A4n+1(3,1),
A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数)”.本题属于基础
题,难度不大,解决该题型题目时,罗列出部分点的坐标,根据点的坐标的变化
发现规律是关键.
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分
11.(5 分)点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 (﹣3,﹣2) .
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标.
【分析】根据“关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答.
【解答】解:点 A(﹣3,2)关于 x 轴对称的点的坐标为(﹣3,﹣2).
故答案为:(﹣3,﹣2).
【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好
对称点的坐标规律:
(1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
12.(5 分)因式分解:x2﹣4y2= (x+2y)(x﹣2y) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解.
【解答】解:x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y).
【点评】本题考查了平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.平方差
公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
13.(5 分)等腰三角形一边等于 4,另一边等于 2,则周长是 10 .
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】因为等腰三角形的两边分别为 4 和 2,但没有明确哪是底边,哪是腰,
所以有两种情况,需要分类讨论.
【解答】解:当 4 为底时,其它两边都为 2,2、2、4 不可以构成三角形;
当 4 为腰时,其它两边为 4 和 2,4、4、2 可以构成三角形,周长为 10,
故答案为:10.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系;对于底和腰不等的等
腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的
前提下分类讨论.
14.(5 分)若 a﹣b=5,ab=3,则 a2+b2= 31 .
【考点】完全平方公式.
【专题】计算题;整式.
【分析】把 a﹣b=5 两边平方,利用完全平方公式化简,将 ab=3 代入即可求出所
求式子的值.
【解答】解:把 a﹣b=5 两边平方得:(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=25,
将 ab=3 代入得:a2+b2=31,
故答案为:31
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
15.(5 分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特
征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形”,那么它
的“特征角”等于 90 或 60 度.
【考点】三角形内角和定理.
【分析】根据“特征角”的定义,结合直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:①“特征角”α为 90°;
②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时,设“特征角是 2x”,
由题意得,x+2x=90°,
解得:x=30°,
所以,“特征角”是 60°,
综上所述,这个“特征角”的度数为 90°或 60°.
故答案为:90 或 60.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是 180°是解答此题
的关键.
16.(5 分)如图,把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍,得到△
A1B1C1,那么△A1B1C1 的面积是 3m2+3m+1 (用含 m 的式子表示)
【考点】等边三角形的性质.
【分析】连接 AB1,BC1,CA1,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1,
△A1AB1 的面积,从而求出△A1BB1 的面积,同理可求△B1CC1 的面积,△A1AC1
的面积,然后相加即可得解.
【解答】解:如图,连接 AA1,B1C2,BC1,如图所示:
∵把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍,
∴△A1 AB 的面积=△BC2C1 的面积=△AB1C2 的面积=m×1=m,
同理:△A1B1 A 的面积=△B1 C1 C2 的面积=△A1 BC1 的面积=m×m=m2,
∴△A1B1C1 的面积=3m2+3m+1;
故答案为:3m2+3m+1.
【点评】本题考查了三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等,
作辅助线把三角形进行分割是解题的关键.
三、解答题(本题有 8 小题,第 17-20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23
题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分
17.(4 分)分解因式:4xy2+4x2y+y3.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式 y,进而利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解:4xy2+4x2y+y3
=y(4xy+4x2+y2)
=y(y+2x)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解
题关键.
18.(4 分)解方程: .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】观察可得 2﹣x=﹣(x﹣2),所以可确定方程最简公分母为:(x﹣2),然
后去分母将分式方程化成整式方程求解.注意检验.
【解答】解:方程两边同乘以(x﹣2),
得:x﹣3+(x﹣2)=﹣3,
解得 x=1,
检验:x=1 时,x﹣2≠0,
∴x=1 是原分式方程的解.
【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程
求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
(3)去分母时有常数项的不要漏乘常数项.
19.(8 分)先化简再求值:( ﹣ )÷ ,其中 x=3.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先约分化简,再计算括号,最后代入化简即可.
【解答】解:原式=[ ﹣ }×
=( )×
= ×
=﹣ ,
当 x=3 时,原式=﹣1
【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是灵活掌握分
式的混合运算法则,注意简便运算,属于中考常考题型.
20.(8 分)在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,F、E 分别是 AD 及其延长线上的
点,CF∥BE.求证:CF=BE.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】利用 CF∥BE 和 D 是 BC 边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF,
从而得出结论.
【解答】证明:∵D 是 BC 边上的中点,
∴BD=CD,
又∵CF∥BE,
∴∠E=∠CFD,∠DBE=∠FCD
∴△BDE≌△CFD,
∴CF=BE.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,难度适中.
21.(8 分)一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间,且点 D,C,E 在同一直
线上,已知稍高的柜高 AD 为 80cm,两柜距离 DE 为 140cm.求稍矮的柜高 BE.
【考点】全等三角形的应用.
【分析】首先证明△ADC≌△CEB,根据全等三角形的性质可得 AD=CE,DC=BE,
进而可得 CE 的长,然后可得 DC 的长度,从而求出 BE 长.
【解答】解:由题意得:∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,AC=BC,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∵∠BEC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
在△ADC 和△CEB 中, ,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∵AD=80cm,
∴CE=80cm,
∵DE=140cm,
∴DC=60cm,
∴BE=60cm.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是掌握全等三角形的判定定理:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
22.(10 分)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮
球的单价比足球的单价多 40 元,用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球
个数相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)该校打算用 800 元购买篮球和足球,恰好用完 800 元,问有哪几种购买方
案?
【考点】分式方程的应用;二元一次方程的应用.
【分析】(1)设足球单价为 x 元,则篮球单价为(x+40)元,根据题意可得等量
关系:1500 元购进的篮球个数=900 元购进的足球个数,由等量关系可得方程,
再求解即可;
(2)设恰好用完 800 元,可购买篮球 m 个和购买足球 n 个,根据题意可得篮球
的单价×篮球的个数 m+足球的单价×足球的个数 n=800,再求出整数解即可得
出答案.
【解答】解:设足球单价为 x 元,则篮球单价为(x+40)元,由题意得:
= ,
解得:x=60,
经检验:x=60 是原分式方程的解,
则 x+40=100,
答:篮球和足球的单价各是 100 元,60 元;
(2)设恰好用完 800 元,可购买篮球 m 个和购买足球 n 个,
由题意得:100m+60n=800,
整理得:m=8﹣ n,
∵m、n 都是正整数,
∴①n=5 时,m=5,②n=10 时,m=2;
∴有两种方案:
①购买篮球 5 个,购买足球 5 个;
②购买篮球 2 个,购买足球 10 个.
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用,关键是正确理解题意,
找出题目中的等量关系,列出方程.
23.(12 分)探究题:
(1) 各个角 都相等, 各条边 都相等的多边形叫做正多边形;
(2)如图,格点长方形 MNPQ 的各点分布在边长均为 1 的等边三角形组成的网
格上,请在格点长方形 MNPQ 内画出一个面积最大的格点正六边形 ABCDEF,并
简要说明它是正六边形的理由;
(3)正六边形有 9 条对角线,它的外角和为 360 度.
【考点】正多边形和圆.
【分析】(1)直接用正多边形的定义得出结论即可;
(2)用网格线的特征和正六边形的性质,画出图形即可;
(3)根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可.
【解答】解:(1)由正多边形的定义:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫
做正多边形;
故答案为:各个角;各条边;
(2)如图,
∵AB=2,BC=2,CD=2,DE=2,EF=2,FA=2,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,
∵网格是等边三角形的网格,
∴∠FAB=2×60°=120°,
同理:∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°,
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°,
∴六边形 ABCDEFA 是正六边形.
最大面积为 24;
(3)正六边形的对角线条数为 =9,
∵多边形的外角和是 360°,
∴正六边形的外角和为 360°,
故答案为:9;360°.
【点评】此题是正多边形和圆,主要考查了正多边形的定义,正六边形的性质,
网格线的特点,多边形的对角线的确定和多边形的外角和定理,解本题的关键掌
握正六边形的性质.
24.(12 分)阅读理解:(请仔细阅读,认真思考,灵活应用)
【例】已知实数 x 满足 x+ =4,求分式 的值.
解:观察所求式子的特征,因为 x≠0,我们可以先求出 的倒数的值,
因为 =x+3+ =x+ +3=4+3=7
所以 =
【活学活用】
(1)已知实数 a 满足 a+ =﹣5,求分式 的值;
(2)已知实数 x 满足 x+ =9,求分式 的值.
【考点】分式的值.
【专题】阅读型;分式.
【分析】(1)原式变形后,将已知等式代入计算即可求出值;
(2)原式变形后,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)∵a+ =﹣5,
∴ =3a+5+ =3(a+ )+5=﹣15+5=﹣10;
(2)∵x+ =9,
∴x+1≠0,即 x≠﹣1,
∴x+1+ =10,
∵ = =x+1+ +3=10+3=13,
∴ = .
【点评】此题考查了分式的值,将所求式子就行适当的变形是解本题的关键.
25.(14 分)有公共顶点 A 的△ABD,△ACE 都是的等边三角形.
(1)如图 1,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当 E,C,B 共线时,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当∠ACD=90°时,延长 EC 角 BD 于 F,
①求证:∠DCF=∠BEF;
②写出线段 BF 与 DF 的数量关系,并说明理由.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)先由等边三角形得出 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°,
从而判断出∠DAC=∠BAE,得到△DAC≌△BAE,最后用平角的定义即可;
(2)①同(1)的方法判断出△DAC≌△BAE,再用直角三角形的性质即可;
②作出辅助线,利用①的结论即可得出 DF=BF.
【解答】解:∵△ABD,ACE 都是等边三角形,
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°,AD=AB,AC=AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC 和△BAE 中 ,
∴△DAC≌△BAE,
∴∠ACD=∠E=60°,
∵E,C,B 共线,
∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°;
(2)①∵△ABD,ACE 都是等边三角形,
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°,AD=AB,AC=AE
∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC,∠BAE=∠CAE﹣∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC 和△BAE 中 ,
∴△DAC≌△BAE,
∴∠AEB=∠ACD=90°,
∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°,
∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°,
∴∠DCF=∠BEF;
②DF=BF,
理由:如图,
在 EF 上取一点 G,使 BG=BF,
∴∠GFB=∠FGB,
∴∠DFC=∠BGE,
由(1)知,△DAC≌△BAE,CD=EB,
∠DCF=∠BEC,
∴△DCF≌△BGE,
∴DF=BG,
∴DF=BF.
【点评】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判
定和性质,直角三角形的性质,解本题的关键是∠DAC=∠BAE.
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