2020年八年级数学下册21微专题过程探究性问题（河北热点）习题（新版）冀教版 4页

微专题：过程探究性问题【河北热点】‎ ‎【河北中考分布：河北2017T9考查菱形的性质证明过程，河北2015T22考查证明平行四边形的探究过程】‎ ‎　1．(2017·河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直．‎ 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.‎ 以下是排乱的证明过程：‎ ‎①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；‎ ‎③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.‎ 证明步骤正确的顺序是(　　)‎ A．③→②→①→④ B．③→④→①→②‎ C．①→②→④→③ D．①→④→③→②‎ ‎2．阅读下面材料：‎ 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E.已知CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．‎ 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．‎ 请回答：(1)BC＋DE的值为________．‎ 参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ ‎(2)如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．‎ ‎3．(2017·达州中考改编)探究：小明发现对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，‎ 4‎ 微专题：过程探究性问题【河北热点】‎ ‎【河北中考分布：河北2017T9考查菱形的性质证明过程，河北2015T22考查证明平行四边形的探究过程】‎ ‎　1．(2017·河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直．‎ 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.‎ 以下是排乱的证明过程：‎ ‎①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；‎ ‎③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.‎ 证明步骤正确的顺序是(　　)‎ A．③→②→①→④ B．③→④→①→②‎ C．①→②→④→③ D．①→④→③→②‎ ‎2．阅读下面材料：‎ 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E.已知CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，求BC＋DE的值．‎ 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．‎ 请回答：(1)BC＋DE的值为________．‎ 参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ ‎(2)如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．‎ ‎3．(2017·达州中考改编)探究：小明发现对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，‎ 4‎ P2(x2，y2)，可通过构造直角三角形利用图①得到结论：P1P2＝.他还利用图②证明了线段P1P2的中点P(x，y)的坐标公式：x＝，y＝.‎ ‎ ‎ 运用：‎ ‎(1)①已知点M(2，－1)，N(－3，5)，则线段MN长度为________；‎ ‎②直接写出以点A(2，2)，B(－2，0)，C(3，－1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：________________；‎ 拓展：‎ (2) ‎【选做】如图③，点P(2，n)在函数y＝x(x≥0)的图像OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E，F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．‎ 参考答案与解析 ‎1．B 4‎ ‎2．解：(1) (2) 如图，连接AE，CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC且AB=DC.∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE且AB=FE，BF＝AE，∴DC∥FE且DC=FE, ∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF且CE=DF.∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACE＝60°.∵CE∥DF，∴∠AGF＝∠ACE＝60°.‎ ‎3．解：(1)① 　②(－3，3)或(7，1)或(－1，－3)　解析：∵A(2，2)，B(－2，0)，C(3，－1)，∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为(0，1)．设D(x，y)，则x＋3＝0，y＋(－1)＝2，解得x＝－3，y＝3，∴此时D点坐标为(－3，3)；当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为(7，1)；当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为(－1，－3)；综上可知D点坐标为(－3，3)或(7，1)或(－1，－3)．‎ ‎ ‎ ‎(2)如图，作P关于直线OL的对称点M，关于x轴的对称点N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F.由对称性可知EP＝EM，FP＝FN，∴PE＋PF＋EF＝ME＋EF＋NF＝MN，∴此时△PEF的周长最小，即为MN的长．设R，由题意可知OR＝OS＝2，PR＝PS＝n，∴OR2＝x2＋＝22，解得x＝－(舍去)或x＝，∴R，∴RP＝＝n，解得n＝1，∴P(2，1)，∴N(2，－1)．设M(x′，y)，则＝，＝，解得x′＝，y＝，∴M，∴MN＝＝ ，即△PEF的周长的最小值为.‎ ‎‎ 4‎