初中数学8年级教案：第13讲 梯形 11页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目：‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 梯形 教学内容 ‎1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；‎ ‎2．会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题．‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结梯形的性质与判定．‎ ‎1．在箭头上填上适当的条件 一组对边平行，‎ 另一组对边不平行 有一个角是直角 两腰相等 四边形 梯形 直角梯形 等腰梯形 ‎2．回顾等腰梯形的性质与判定，完成下表：‎ 边 角 对角线 对称性 等腰梯形 两底平行 两腰相等 同底上的两底角相等 对角线相等 轴对称 等腰梯形的判定方法 边 两腰相等的梯形 角 同底上两底角相等的梯形 对角线 对角线相等的梯形 ‎1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①AC＝BD； ②AC⊥BD； ③等腰梯形ABCD是中心对称图形； ④△AOB≌△DOC．则正确的结论是（　　 ） ‎ A、①④ B、②③ C、①②③ D、①②③④‎ ‎2．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝65°，∠C＝75°，则∠D＝________，∠A＝_______．‎ ‎3．如图，在梯形ABCD中，如果AD∥BC，AB＝CD，∠B＝60°，AC⊥AB，那么∠ACD＝ ___ ___．‎ ‎ ‎ 参考答案：1．A； 2．105°，115°； 3．30°．‎ ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ 例题1：已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．‎ 求证：四边形EBCA是等腰梯形．‎ 证明：∵AE∥BC，∴∠AED＝∠MCD，∠EAD＝∠CMD． ‎ ‎∵AD＝MD，∴△AED≌△MCD． ‎ ‎∴AE＝CM．‎ ‎∵BM＝CM，∴AE＝BM．‎ ‎∴四边形AEBM是平行四边形． ‎ ‎∴EB＝AM．‎ 而AM＝AC，∴EB＝AC．‎ ‎∵AE∥BC，EB与AC不平行，∴四边形EBCA是梯形．‎ ‎∴梯形EBCA是等腰梯形．‎ 例题2：‎ ‎（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，其中AB＝4，CB＝8，AD＝2，则腰CD的取值范围是__________．‎ 参考答案：（平移一条腰，构造平行四边形和三角形）‎ ‎（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，E、F分别是两底的中点，联结EF，若AB＝8，CD＝6，则EF的长为 ． ‎ ‎ ‎ 参考答案：EF＝5（平移两条腰，构造直角三角形）．‎ ‎（3）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD交于点O，其中梯形高为cm，则梯形面积是__________cm2．‎ 参考答案：12（提示：如果题中出现对角线互相垂直，那么一般都是通过平移对角线构造直角三角形）‎ ‎（4）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AB⊥AE．若AB＝5，AE＝6，则梯形上下底之和为 ．‎ 参考答案：13（构造X型全等）‎ ‎（5）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长是 ．‎ 参考答案：‎ 归纳总结：通过上述问题总结一下梯形常见辅助线的添法，完成下表．‎ 作法 图形 平移腰，转化为三角形、平行四边形 作高，转化为直角三角形、矩形 延长两腰，转化为三角形 平移对角线，转化为三角形、平行四边形 联结顶点与腰上的中点，构造全等三角形 例题3：如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．‎ ‎（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；‎ ‎（2）动点P在从A到B的移动过程中，设⊿APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；‎ ‎（3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标．‎ 参考答案：‎ ‎（1）点B坐标为（4，8）， ‎ 由，得t＝11 ；此时点P在CB上 ‎ ‎（2）证法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，则 BE＝OC＝8．‎ ‎ ∵ ,∴ ，DH＝4．‎ ‎∴ （0≤t≤10） ‎ ‎（3）点P只能在AB或OC上，‎ ‎（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y）‎ 由； 得 ，得y＝‎ 由 ，得t＝7； 由 ，得.‎ 即在7秒时有点； ‎ ‎（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）‎ 由； 得 ，得y＝‎ 此时t＝； 即在16秒时，有点. ‎ 故在7秒时有点、在16秒时，有点使PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分．‎ 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。‎ ‎1．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且BF＝3CF；求证：四边形DEBF是等腰梯形．‎ ‎2．如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC，且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，求梯形ABCD的面积。‎ ‎3．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点．求证：CE⊥BE． ‎ ‎ ‎ ‎4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．‎ A D B ‎5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，过点C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．‎ ‎ （1）求证：四边形AECD是等腰梯形； （2）若AD＝4，求梯形AECD的面积．‎ ‎ ‎ 参考答案：1．证明四边形ECFD为平行四边形，可得DF＝EC＝BE即可； ‎ ‎2．如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，‎ 则AC＝BE，DE＝DC+CE＝DC+AB＝6。‎ 又∵BD＝AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形。 ∴BF＝DE＝3。‎ ‎∴梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF＝9。‎ ‎3．延长CE交BA的延长线于点G．∵E是AD中点，∴AE＝ED，‎ ‎∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠GAE，∠DCE＝∠AGE，∴△CED≌△GEA，‎ ‎∴CE＝GE，AG＝DC，∴GB＝BC＝3， ∴EB⊥EC．‎ ‎4．过点D作DG⊥BC于点G． ∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°．‎ ‎∴四边形ABGD为矩形． ∴BG＝AD＝1，AB＝DG． ‎ ‎∵BC＝4，∴GC＝3． ∵∠DGC＝90°，∠C＝45°，∴∠CDG＝45°．‎ ‎∴DG＝GC＝3．∴AB＝3． 又∵E为AB中点，∴．‎ ‎∵EF∥DC，∴∠EFB＝45°． 在△BEF中，∠B＝90°．∴EF＝‎ ‎5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴DC∥AB，即：DC∥AE，‎ 又AE＞AB＝DC， ∴四边形AECD是梯形．‎ ‎∴∠DAE＝180°-∠ADC＝180°-120°＝60°，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形， ∴∠CAE＝∠DAE＝30°，‎ 又AC⊥CE， ∴∠E＝60°， ∴∠DAE＝∠E， ∴四边形AECD是等腰梯形．‎ ‎（2）解：过点D作DH⊥AE于H，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°‎ ‎∴, ∴‎ 补充类试题：‎ 在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠D＝90°，AD＝CD＝4，∠B＝45°，点E为直线DC上一点，联结AE，作 EFAE交直线CB于点F。‎ ‎（1）如图，点E为线段DC上一点（与端点不重合），‎ ‎　　①求证：∠DAE＝∠CEF； 　　②求证：AE＝EF；‎ ‎（2）联结AF，若△AEF的面积为，求线段CE的长（直接写出结果，不需要过程）。‎ ‎ ‎ 参考答案：（1）①∵EF⊥AE ∴∠DEA＋∠CEF＝90° ‎ ‎∵∠D＝90° ∴∠DEA＋∠DAE＝90°； ∴∠DAE＝∠CEF ‎ ‎②在DA上截取DG＝DE，联结EG ， ∵AD＝CD ∴AG＝CE ‎∵∠D＝90° ∴∠DGE＝45°； ∴∠AGE＝135°‎ ‎∵AB∥DC，∠B＝45° ∴∠ECF＝135°； ∴∠AGE＝∠ECF ‎∵∠DAE＝∠CEF ∴△AGE≌△ECF ∴AE＝EF ‎ ‎（2）求出CE＝3或5 ‎ ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，且∠C＝2∠E，‎ 求证：梯形ABCD是等腰梯形。‎ ‎2．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B＝60°．‎ 求证：四边形ABCD是等腰梯形； ‎ ‎3．如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB＝DC，且AC⊥ BD．求等腰梯形ABCD的高．‎ ‎4．如图，在等腰梯形中，已知，，于，，‎ ‎，，求梯形的周长．‎ ‎5．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD//BC，AB＝BC＝1cm，其中AC⊥DC，则梯形的周长是______cm．‎ ‎6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝100°，AD＝7，BC＝12，则CD＝_______．‎ 参考答案： ‎ ‎1．∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD ‎∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD ‎∴∠ABD＝∠CBD，即∠ABC＝2∠CBD ‎∵AE∥DB， ∴∠E＝∠CBD ‎∵∠C＝2∠E， ∴∠ABC＝∠C ‎∴在梯形ABCD中，AB＝DC ‎∴梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎2．∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA ‎ ‎∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB ‎∴∠DAC＝∠CAB， ∴DC∥AB ‎ 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°‎ ‎∴∠CBA＝30°， ∴∠DAC＝30°， ‎ ‎∴∠DAB＝60°＝∠B， ∴AD＝BC ‎ ‎∵∠B+∠DAB＝120°≠180°‎ ‎∴AD与BC不平行， ∴四边形ABCD是梯形 ‎∴四边形ABCD是等腰梯形． ‎ ‎3．12； 4．； 5．； 6．5‎ ‎【预习思考】‎ ‎1．三角形中位线定理： ；‎ ‎2．梯形中位线定理： 。‎ 练习：‎ ‎1．已知梯形的中位线长为9cm，上底长5cm，那么下底的长是 cm；‎ ‎2．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则其面积为 cm²；‎ ‎3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(a