2020八年级数学下册 专题突破讲练 借“数形结合思想”解题试题 （新版）青岛版 11页

借“数形结合思想”解题 数形结合的经典分类 ‎1. 利用函数图象，寻找特殊图形的构成。‎ ‎（1）利用函数图象，寻找等腰三角形的第三点坐标。如：在平面直角坐标系中，A（2，2），点P在x轴上，若△APO是等腰在三角形，求Ｐ坐标？‎ 答案：（，0），（，0），（4，0），（2，0）。‎ ‎（2）利用函数图象，构造平行四边行（或特殊平行四边形）。如：函数y=２x+２与x轴y轴交于Ａ、Ｂ两点，在坐标平面内找一点Ｃ，使Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ构成平行四边形，求Ｃ坐标。‎ 答案：（-1,2），（-1,-2），（1,2）。‎ ‎2. 利用全等三角形及函数图象解决问题。‎ 如图所示，直线L：y=x+１与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。‎ 答案：7。‎ ‎3. 利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。‎ 如图，一次函数y=ax－b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，－4），△OAB的面积为6，在y轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 11‎ 答案：（0，），（0，）。‎ 总结：‎ ‎①综合性问题涉及的内容较多，解题根本是熟练掌握各知识点；‎ ‎②以上所举例子只是综合性习题中的一小部分，往往要多个问题综合到一起，难度较大。‎ 例题 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）。若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线l上的是（　　）‎ A. （4，3） B. （5，2） C. （6，2） D. （0，）‎ 解析：先延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，由所给点的坐标得出四边形OABC，四边形CDEF都为矩形，并且点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，点N是矩形CDEF的中心，得出直线l必过M和N点，再设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案。‎ 答案：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，∴点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分，同理可证：点N是矩形CDEF的中心，∴点N（5，2），∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分，∴直线MN就是所求的直线l，设直线l的解析式为y=kx+b，把M（2，3）N（5，2）代入上式得：‎ 11‎ ‎，‎ 解得：，∴所求直线l的函数表达式是：y=－x+，当x=4时，y=，则A不正确；当x=5时，y=2，则B正确；当x=6时，y=，则C不正确；当x=0时，y=，则D不正确；故选B。‎ 点拨：本题考查了一次函数的综合，用到的知识点是矩形的性质即过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积和待定系数法求解析式，解题的关键是根据图形作出辅助线，求证四边形OABC和四边形CDEF都是矩形。‎ ‎ ‎ 利用特殊图形求解析式 例题 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（－4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）‎ A. y=－2x+1 B. y=－x+‎2 C. y=－3x－2 D. y=－x+2‎ 解析：抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式。‎ 答案：解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（－4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，‎ OF=DG=BG=CG=‎ 11‎ BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（－1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：，解得：。则这条直线解析式为y=－x+2。故选D。‎ 点坐标问题 例题 (江东区)如图，矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，7），动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA－AB运动，到点B时停止，同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度在线段CO上运动，当一个点停止时，另一个点也随之而停止。在运动过程中，当线段PQ恰好经过点M（3，2）时，运动时间t的值是__________。‎ ‎ 。‎ 解析：设直线PQ的方程为y=kx+b（k≠0）。分类讨论：当点P在线段OA上和点P在线段AB上运动时两种情况。把点P、Q、M的坐标分别代入函数解析式，通过方程组来求t的值。‎ 答案：解：设直线PQ的方程为y=kx+b（k≠0）。∵矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，7），∴OA=7，OC=8．①当点P在线段OA上，即0≤t＜3.5时，如图，P（0，2t）、Q（8－t，0）。∵直线PQ经过点M（3，2），∴。解得t=2；‎ ‎②当点P在线段AB上，即3.5≤t＜7时，如图，P′（2t-7，7）、Q（8－t，0）。∵直线PQ经过点M（3，2），∴。解得，t=5；综上所述，t的值是2或5。故答案是：2或5。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x－‎ 11‎ 与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3，OC=4，则△CEF的面积是（　　）‎ A. 6 B. ‎3 C. 12 D. ‎ ‎2. 如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（　　）‎ A. 4 B. ‎8 ‎‎ C. 16 D. 8 ‎ ‎*3. 在平面直角坐标系中，已知直线y=－x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴正半轴上一点。把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）‎ A. （0，） B. （0，） C. （0，3） D. （0，4）‎ ‎**4. 如图，一次函数y=－x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°。则过B、C两点直线的解析式为（　　）‎ A. y= x+3 B. y= x+‎3 ‎‎ C. y=x+3 D. y=x+3‎ ‎**5. 正方形A1B‎1C1O，A2B‎2‎C‎2C1，A3B‎3C3C2，…按如图所示的方式放置。点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（　　）‎ A. （2n－1，2n－1） B. （2n－1+1，2n－1） C. （2n－1，2n－1） D. （2n－1，n）‎ 11‎ 二、填空题 ‎*6. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是 。‎ ‎．‎ ‎*7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是 。‎ ‎**8. （铁岭）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作▱ABA‎1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B‎1A1为邻边作▱A1B‎1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是 。‎ ‎**9. （攀枝花）如图，已知直线l1：y＝x+与直线l2：y=－2x+16相交于点C，直线l1、l2分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与B点重合，那么S矩形DEFG：S△ABC= 。‎ 三、解答题 ‎*10. 在平面直角坐标系xOy中，A（2，m），B（3，1），C（6，0），且点A在函数y=x的图象上，点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP的周长和最小时，点P的坐标为？‎ ‎**11. 图①所示，直线L：y=mx+‎5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。‎ ‎（1）当OA=OB时，试确定直线L解析式；‎ 11‎ ‎（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；‎ ‎（3）当M取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围。‎ ‎ ‎ ‎**12. 直线AB：y=－x－b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）直线EF：y=2x－k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标，如果变化，请说明理由。‎ 11‎ ‎1. B 解析：当y=0时，x－=0，解得x=1，∴点E的坐标是（1，0），即OE=1，∵OC=4，∴EC=OC－OE=4－1=3，∴点F的横坐标是4，∴y=×4－=2，即CF=2，∴△CEF的面积=×CE×CF=×3×2=3。故选B。‎ ‎2. C 解析：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5，∵∠CAB=90°，∴AC=4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y=2x－6上时，∴令y=4，得到4=2x－6，解得x=5，∴平移的距离为5－1=4，∴线段BC扫过的面积为4×4=16，故选C。‎ ‎3. B 解析：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=－x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3－n，∴DA=OA=4，∴DB=5－4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3－n）2，解得n=，∴点C的坐标为（0，）。故选B。‎ ‎4. A 解析：∵一次函数y=－x+3中，令x=0得：y=3；令y=0，解得x=4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）。如图，作CD⊥x轴于点D。∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO。在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB=DA=3，OA=DC=4，OD=OA+AD=7。则C的坐标是（7，4）。设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y=x+3。故选A。‎ 11‎ ‎5. C 解析：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B‎1C1O1边长为1，正方形A2B‎2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），设直线A‎1A2的解析式为：y=kx+b，，解得：，∴直线A‎1A2的解析式是：y=x+1。∵点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴点B3的坐标为（7，4），∴Bn的横坐标是：2n－1，纵坐标是：2n－1。∴Bn的坐标是（2n－1，2n－1）。故选A。‎ ‎6. （0，1.5） 解析：由题意得：A（－3，0），B（0，4）；∴OA=3，OB=4。那么可得AB=5。易得△ABC≌△ADC，∴AD=AB=5，∴OD=AD－OA=2。设OC为x。那么BC=CD=4－x。那么x2+22=（4－x）2，解得x=1.5，∴C（0，1.5）。‎ ‎7. （－1，0） 解析：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上。设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，1），B（1，2），∴b＝1 k+b＝2， 解得。∴y=x+1，令y=0，得0=x+1，解得x=－1。∴点P的坐标是（－1，0）。故答案为（－1，0）。‎ ‎8. （－×4n－1，4n） 解析：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴易得直线l的解析式为y=x。∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（x，1），将B（x，1）代入y=x，得1=x，解得x=，∴B点坐标为（，1），AB=。在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°－60°=30°，∠A1AB=90°，∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，∵▱ABA‎1C1中，A‎1C1=AB=，∴C1点的坐标为（－，4），即（－×40，41）；由x=4，解得x=4，∴B1点坐标为（4，4），A1B1=4。在Rt△A‎2A1B1中，∠A‎1A2B1=30°，∠A‎2A1B1=90°，∴A‎1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A‎1A2=4+12=16，∵▱A1B‎1A2C2中，A‎2C2=A1B1=4，‎ ‎∴C2点的坐标为（－4，16），即（－×41，42）；同理，可得C3点的坐标为（－16，64），即（－×42，43）；以此类推，则Cn的坐标是（－×4n－1，4n 11‎ ‎）。故答案为（－×4n－1，4n）。‎ ‎9. 8：9 解析：由x+=0，得x=－4。∴A点坐标为（－4，0），由－2x+16=0，得x=8．∴B点坐标为（8，0），∴AB=8－（－4）=12。由，解得，∴C点的坐标为（5，6），∴S△ABC= AB•yC=×12×6=36。∵点D在l1上且xD=xB=8，∴yD=×8+=8，∴D点坐标为（8，8），又∵点E在l2上且yE=yD=8，∴－2xE+16=8，∴xE=4，∴E点坐标为（4，8），∴DE=8－4=4，EF=8。∴矩形面积为：4×8=32，∴S矩形DEFG：S△ABC=32：36=8：9。故答案为：8：9。‎ ‎10. （2.5，0）‎ ‎ 解：∵点A在函数y=x的图象上，且A（2，m），∴m=1，∴A（2，1），在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，∴△OAP与△CBP的周长和中OA，BC及OP+PC的和都是定值，∴AP+BP最小就是△OAP与△CBP的周长和最小。作B点关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，连接AB，‎ ‎∵AB∥x轴，且x轴平分BD∴x轴平分AD，DE=BE，∴AP=PD，∴PE是△ABD的中位线，‎ ‎∴PE=AB，且AB=1，∴PE=0.5，∴OP=2.5，∴P（2.5，0）。故答案为：P（2.5，0）。‎ ‎11. 解答：（1）∵直线L：y=mx+‎5m，∴A（－5，0），B（0，‎5m），由OA=OB得‎5m=5，m=1，∴直线解析式为：y=x+5。（2）在△AMO和ONB中，∴△AMO≌△ONB(AAS)。∴AM=ON=4，∴OM=BN=3。‎ ‎（3）如图，作EK⊥y轴于K点。先证△ABO≌△BEK，∴OA=KB，OB 11‎ ‎ =EK。再证△PBF≌△PKE，∴PB=PK。∴PB=KB=OA=。‎ ‎12. 解答：（1）由已知：0=－6－b，∴b=－6，∴直线AB的解析式为：y=－x+6。∴B（0，6），∴OB=6，∵OB∶OC=3∶1，OC＝2，∴C（－2，0），设BC的解析式是y=ax+c，代入得；，解得：，∴直线BC的解析式是：y=3x+6；‎ ‎（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°。∵S△EBD=S△FBD，∴DE=DF。又∵∠NDF=∠EDM，∴△NFD≌△EDM，∴FN=ME。联立得，解得y=－k+4，联立，解得yF=－3k－12，∵FN=－yF，ME=yE，∴3k+12=－k+4，∴k=－6；此时点F、E、B三点重合，△EBD与△FBD不存在，∴此时k值不成立，即不存在这样的EF使得S△EBD=S△FBD；‎ ‎（3）K点的位置不发生变化，K（0，－6）。过Q作QH⊥x轴于H，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，PB=PQ，∵∠BOA=∠QHA=90°，∴∠BPO=∠PQH，∴△BOP≌△HPQ， ∴PH=BO，OP=QH，∴PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，∴AH=QH，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴∠QAH=45°，∴∠OAK=45°，∴△AOK为等腰直角三角形，∴OK=OA=6，∴K（0，－6）。‎ ‎ ‎ 11‎