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  • 2021-11-01 发布

【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程(培优版)5平行四边形1

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1 一、平行四边形的性质 平行四边形的边:平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角:平行四边形的对角相等,邻角互补. 平行四边形的对角线:平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性:平行四边形是中心对称图形. 平行四边形的周长:一组邻边之和的 2 倍. 平行四边形的面积:底乘以高. 二、平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 例题精讲 一、平行四边形的性质 【例 1】 如图所示,已知四边形 ABCD ,从⑴ AB DC∥ ;⑵ AB DC ;⑶ AD BC∥ ;⑷ AD BC ;⑸ A C   ;⑹ B D   中取两个条件加以组合,能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有哪几种 情形?请写出具体组合。 A D B C 【解析】 本题 6 个条件中任取 2 个,共有 15 种组合情形,其中能证明是平行四边形的有 9 种情况: ① ⑴,⑶;② ⑵,⑷;③ ⑸,⑹;④ ⑴,⑵; ⑤ ⑶,⑷;⑥ ⑴,⑸;⑦ ⑴,⑹;⑧ ⑶,⑸;⑨ ⑶,⑹. 【答案】① ⑴,⑶;② ⑵,⑷;③ ⑸,⑹;④ ⑴,⑵; ⑤ ⑶,⑷;⑥ ⑴,⑸;⑦ ⑴,⑹;⑧ ⑶,⑸;⑨ ⑶,⑹. 【例 2】 如图,在平行四边形 ABCD 中, EF BC GH AB EF∥ , ∥ , 与 GH 相交于点O ,图中共有 个 平行四边形 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平行四边形 会识别平行四边形 掌握平行四边形的概念、判定和性质, 会用平行四边形的性质及判定解决简 单问题 会运用平行四边形 的性质及判定解决 有关问题 平行四边形 2 【解析】省略 【答案】 9 个 【例 3】 以三角形的三个顶点作平行四边形,最多可以作( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【解析】省略 【答案】B 【例 4】 如图,在平行四边 ABCD 中, AC 、 BD 为对角线, 6BC  , BC 边上的高为 4 ,则阴影部分的 面积为( ). A.3 B.6 C.12 D.24 【解析】利用平行线的性质及割补法可得 C. 【答案】C 【例 5】 如图,在平行四边 ABCD 中,已知 8cmAD  , 6cmAB  , DE 平分 ADC 交 BC 边于点 E ,则 BE 等于 cm . 【解析】过E 作EF AB∥ 交 AD 于点F,由于DE 平分 ADC ,有 ADE EDC CED FED       即, 6EF FD EC AB    ,即 2BE AF AD AF    【答案】见解析 【例 6】 如图,在平形四边形 ABCD 中, CE AB , E 为垂足.如果 125A   ,则 BCE  . 3 【解析】过A 作 AF CE∥ 交CD 于点F,可得四边形AECF 为矩形,从而有 (BCE AFD HL ≌ ) 则 125 90 35o o oBCE FAD      【答案】见解析 【例 7】 如图,平行四边形 ABCD 的周长是 28cm , ABC△ 的周长是 22cm ,则 AC 的长为 . 【解析】略 【答案】8cm 【例 8】 如图,平行四边形 ABCD 中, 3 5AB BC AC , , 的垂直平分线交 AD 于 E ,则 CDE△ 的 周长是 【解析】由中垂线定理可知 AE=EC,则 CDE△ 的周长为 8AD CD  【答案】8 【例9】 M 为平行四边形 ABCD 两个角平分线 AM 和BM 的交点,AM 3 , 4BM  ,平行四边形 ABCD 的周 长为18,则BC  . 【解析】由于 AM、BM 均为角平分线,故 90oAMB  ,则由勾股定理可得 AB=5 即可得 BC=4 【答案】4 【例 10】 平行四边形的两个邻边得长分别为 16 和 20,两条长边间的距离为 8,则短边间的距离 为 . 【解析】由平行四边形面积公式即可得 【答案】10 4 【例 11】 如图,在平行四边形 ABCD 中, AE BC 于 E , AF CD 于 F ,若 4, 6AE AF  ,平行四 边形的周长为 40,则平行四边形 ABCD 的面积为 。 【解析】连接 AC,将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和 可设 BC x ,则 20CD x  ,有 4 6(20 )x x  ,可得 12BC  , 8CD  则平行四边形的面积为:(12 4) / 2 (8 6) / 2 48    【答案】48 【例 12】 如图,平行四边形 ABCD 中,BE CD 于 E ,BF AD 于点 F , 2, 1, 60 ,CE DF EBF     则平行四边形 ABCD 的面积为 。 【解析】由于 60EBF   且 BE CD ,则 30ABF   , 60A   , 30EBC   又有 2CE  ,可得 4CB  。又由 1DF  ,可得 3 3BF  则平行四边形的面积为: 4 3 3 12 3  【答案】12 3 【例 13】 如图,点 E F, 是平行四边形 ABCD 对角线上的两点,且 BE DF ,那么 AF 和CE 相等吗? 请说明理由 【解析】因为 ABCD 是平行四边形 所以 AD BC AD BC , ∥ 所以 1 2   ,又因为 1 180ADF     , 2 180EBC     所以 ADF EBC   又因为 BE DF , 所以 ADF CBE ≌ ,所以 AF CE 【答案】 AF CE 【例 14】 已知如图:平行四边形 ABCD 中, CN AM , AE CF ,求证:四边形 MENF 是平行四边 5 形. 【解析】 AME△ CFN≌△ ,得到 ,NF EM EF EM ∥ ,即四边形 MENF 是平行四边形 【答案】略 【例 15】 已知如图: BAD DAC   , BE MN∥ , BN EM∥ ,求证: AM BN . 【解析】 BE MN∥ ,BN EM∥ ,四边形 BNME 为平行四边形,平行加角平分线得出 AME△ 为等腰三角 形,然后根据 NB ME ,故 AM BN 【答案】略 【例 16】 如图, ,E F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点, AE CF . 求证:(1) ADF ≌ CBE ; (2) EB DF∥ . A F E D C B 【解析】(1)∵ AE CF , ∴ AE EF CF FE   ,即 AF CE . 又∵ ABCD 是平行四边形, ∴ ,AD CB AD BC ∥ . ∴ DAF BCE   . ∴ ADF ≌ CBE (2)∵ ADF ≌ CBE ∴ DFA BEC   . ∴DF EB∥ . 【答案】(1)∵ AE CF , ∴ AE EF CF FE   ,即 AF CE . 又∵ ABCD 是平行四边形, ∴ ,AD CB AD BC ∥ . ∴ DAF BCE   . ∴ ADF ≌ CBE (2)∵ ADF ≌ CBE ∴ DFA BEC   . 6 ∴DF EB∥ . 【例 17】 如图,已知:在平行四边形 ABCD 中, BCD 的平分线CE 交边 AD 于 E , ABC 的平分线 BG 交 CE 于 F ,交 AD 于G .求证: AE DG . F G E D C B A 【解析】⑴ ①(答案不惟一) ⑵ ∵四边形 ABCD 是平行四边形(已知) ∴ AD BC∥ , AB CD (平行四边形的对边平行且相等) ∴ GBC BGA   , BCE CED   (两直线平行,内错角相等) 又∵ BG 平分 ABC ,CE 平分 BCD (已知) ∴ ABG GBC   , BCE ECD   (角平分线定义) ∴ ABG AGB   , ECD CED   . ∴ AB AG , CE DE (在同一个三角形中,等角对等边) ∴ AG DE ∴ AG EG DE EG   ,即 AE DG 【答案】⑴ ①(答案不惟一) ⑵ ∵四边形 ABCD 是平行四边形(已知) ∴ AD BC∥ , AB CD (平行四边形的对边平行且相等) ∴ GBC BGA   , BCE CED   (两直线平行,内错角相等) 又∵ BG 平分 ABC ,CE 平分 BCD (已知) ∴ ABG GBC   , BCE ECD   (角平分线定义) ∴ ABG AGB   , ECD CED   . ∴ AB AG , CE DE (在同一个三角形中,等角对等边) ∴ AG DE ∴ AG EG DE EG   ,即 AE DG 课后作业 【习题 1】如图,四边形 ABCD 为平行四边形,即 AB CD∥ , AD BC∥ .通过证明三角形全等来说明: ⑴ AB CD , AD BC .(对边相等) ⑵ AO CO , BO DO .(对角线互相平分) O D C B A 【解析】省略 【答案】⑴ ∵ AB CD∥ , AD BC∥ ∴ ABD CDB   , ADB CBD   在 ABD 和 CDB 中, ABD CDB BD DB ADB CBD         7 ∴ ABD CDB ≌ ∴ AB CD , AD BC . ⑵ 在 ABO 和 CDO 中, ABO CDO AOB COD AB CD         ∴ AO CO , BO DO . 【习题 2】在平行四边形 ABCD 中,点 1A 、 2A 、 3A 、 4A 和 1C 、 2C 、 3C 、 4C 分别为 AB 和 CD 的五等分点, 点 1B 、 2B 和 1D 、 2D 分别是 BC 和 DA 的三等分点,已知四边形 4 2 4 2A B C D 的面积为1,则平行四 边形 ABCD 面积为( ) A.2 B. 3 5 C. 5 3 D.15 【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得 C. 【答案】C 【习题 3】如图,已知: AD 是 ABC 的角平分线, DE AB∥ ,在 AB 上截取 BF AE ,连接 DE EF, ,求 证:四边形 BDEF 是平行四边形 【解析】省略 【答案】因为 AD 平分 BAC 所以 BAD CAD   因为 DE AB∥ ,所以 BAD ADE   所以 EAD ADE DE AE   , 因为 BF AE ,所以 DE BF 因为 DE BF∥ ,所以 BDEF 是平行四边形 【习题 4】如图, ABC 中, D 是 AB 的中点, E 是 AC 上任意一点, EF ∥ AB , DF ∥ BE .求证: DF 与 AE 互相平分. 8 【解析】省略 【答案】连结 AF 、 DE . ∵ EF ∥ AB , DF ∥ BE ,∴四边形 BDFE 是平行四边形 ∴ EF BD ∵ AD BD ,∴ AD EF ∵ AD ∥ EF ,∴四边形 ADEF 是平行四边形 ∴ DF 与 AE 互相平分