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  • 2021-11-01 发布

浙江省2019学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测(期末)数学试题 (解析版)

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‎2019-2020学年浙江省杭州市高一第二学期期末数学试卷 一、选择题(共10小题).‎ ‎1.设集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则A∪B=(  )‎ A.{1,3} B.{1,4} C.{1,3,5} D.{1,2,3,4,5}‎ ‎2.函数f(x)=log3(2﹣x)的定义域是(  )‎ A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,2)‎ ‎3.已知幂函数y=xn在第一象限内的图象如图所示.若n∈{2,﹣2,,﹣},则与曲线C1,C2,C3,C4对应的n的值依次为(  )‎ A.﹣,﹣2,2, B.2,,﹣2,﹣ ‎ C.2,,﹣,﹣2 D.﹣,﹣2,,2‎ ‎4.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sinx的图象(  )‎ A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎5.已知向量=(,),||=2.若<,>=60°,则|3+|=(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎6.已知cos(+α)=,且|α|<,则=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎7.若{an}是公差不为0的等差数列,满足a32+a42=a52+a62,则该数列的前8项和S8=(  )‎ A.﹣10 B.﹣5 C.0 D.5‎ ‎8.如图,点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x正半轴的交点是C,点B的坐标为(,﹣),∠AOC=α.若|AB|=1,则sinα=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若不等式(|x﹣a|﹣b)(2x﹣x2)≤0对任意实数x恒成立,则a+b=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎10.已知平面向量,,,对任意实数x,y都有|﹣x|≥|﹣|,|﹣y|≥|﹣|成立.若||=2,则•(﹣)的最大值是(  )‎ A. B.﹣ C. D.‎ 二、填空题:(本大题有7小题,11--14每小题6分,15--17每小题6分,共36分).‎ ‎11.向量=(1,3),=(n,﹣6),且,则n=   ,•=   .‎ ‎12.有一扇形其弧长为6,半径为3,则该弧所对弦长为   ,扇形面积为   .‎ ‎13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若A(2,3)(点A为图象的一个最高点),B(﹣,0),则ω=   ,φ=   ‎ ‎14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则m=   ,f(﹣log35)的值为   .‎ ‎15.在数列{an}中,a1=a2=1,a3=2,且数列{}为等比数列,则an=   .‎ ‎16.如图,在边长为1的正方形ABCD中,P,Q分别在边BC,CD上,且PB+QD=PQ,则∠PAQ的大小为   .‎ ‎17.已知函数f(x)=,函数g(x)=f(x)﹣2x恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围是   .‎ 三、解答题:(本大题有5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).‎ ‎18.设集合M={x|(x+a)(x﹣1)≤0}(a>0),N={x|4x2﹣4x﹣3<0}.‎ ‎(Ⅰ)若M∪N={x|﹣2≤x<},求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)若(∁RM)∪N=R.求实数a的取值范围.‎ ‎19.已知函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x,x∈[,].‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)若不等式|f(x)﹣m|<2在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=2an+Sn,且a3+2是a2,a4的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)若bn=﹣anlog2an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎21.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=,sinB=,AB边上中线CD长为4.‎ ‎(Ⅰ)求cosC;‎ ‎(Ⅱ)求△ACD的面积.‎ ‎22.定义函数fa(x)=4x﹣(a+1)•2x+a,其中x为自变量,a为常数.‎ ‎(Ⅰ)若函数fa(x)在区间[0,2]上的最小值为﹣1,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f(0)},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)},且(∁RA)∩B≠∅,求a的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分).‎ ‎1.设集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则A∪B=(  )‎ A.{1,3} B.{1,4} C.{1,3,5} D.{1,2,3,4,5}‎ ‎【分析】进行并集的运算即可.‎ 解:因为集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},‎ 故A∪B={1,2,3,4,5}.‎ 故选:D.‎ ‎2.函数f(x)=log3(2﹣x)的定义域是(  )‎ A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,2)‎ ‎【分析】令对数函数的真数2﹣x>0,求出x的范围,写出区间或集合形式即为函数的定义域.‎ 解:要使函数有意义,需满足:‎ ‎2﹣x>0,‎ 解得x<2.‎ 所以函数的定义域为:(﹣∞,2).‎ 故选:D.‎ ‎3.已知幂函数y=xn在第一象限内的图象如图所示.若n∈{2,﹣2,,﹣},则与曲线C1,C2,C3,C4对应的n的值依次为(  )‎ A.﹣,﹣2,2, B.2,,﹣2,﹣ ‎ C.2,,﹣,﹣2 D.﹣,﹣2,,2‎ ‎【分析】由图象可知:C1的指数n>1,C2的指数0<n<1,C3,C4的指数小于0,且C3的指数大于C4的指数.‎ 解:由图象可知:C1的指数n>1,C2的指数0<n<1,‎ C3,C4的指数小于0,且C3的指数大于C4的指数.‎ 据此可得:答案为C.‎ 故选:C.‎ ‎4.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sinx的图象(  )‎ A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎【分析】由条件利用诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.‎ 解:由于函数y=cosx=sin(x+),故将函数y=sinx的图象沿x轴向左平移个长度单位可得函数y=cosx的图象,‎ 故选:C.‎ ‎5.已知向量=(,),||=2.若<,>=60°,则|3+|=(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【分析】由已知求得,进一步求得,再由,展开后代入数量积求解.‎ 解:∵=(,),∴,‎ 又||=2,<,>=60°,∴.‎ 则=9+6+4=19.‎ ‎∴|3+|=.‎ 故选:A.‎ ‎6.已知cos(+α)=,且|α|<,则=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα,再利用二倍角公式,求得要求式子的值.‎ 解:∵已知cos(+α)=﹣sinα=,即 sinα=﹣,且|α|<,‎ ‎∴cosα==,∴tanα===﹣.‎ 则==tanα=﹣,‎ 故选:A.‎ ‎7.若{an}是公差不为0的等差数列,满足a32+a42=a52+a62,则该数列的前8项和S8=(  )‎ A.﹣10 B.﹣5 C.0 D.5‎ ‎【分析】由已知结合等差数列的性质可求a5+a3+a6+a4=0,然后结合等差数列的性质及求和公式即可求解.‎ 解:由{an}是公差不为0的等差数列,满足a32+a42=a52+a62,‎ 所以a52﹣a32+a62﹣a42=(a5﹣a3)(a5+a3)+(a6﹣a4)(a6+a4)=0‎ 所以2d(a5+a3)+2d(a6+a4)=0‎ 因为d≠0,‎ 所以a5+a3+a6+a4=0,‎ 由等差数列的性质可得,a5+a4=a6+a3=0‎ 则该数列的前8项和S8=4(a1+a8)=4(a5+a4)=0‎ 故选:C.‎ ‎8.如图,点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x正半轴的交点是C,点B的坐标为(,﹣),∠AOC=α.若|AB|=1,则sinα=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求出cos(60°﹣α) 和sin(60°﹣α) 的值,再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[60°﹣(60°﹣α)]的值.‎ 解:∵A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x正半轴的交点是C,点B的坐标为(,﹣),‎ 故圆的半径为1,‎ ‎∵∠AOC=α,|AB|=1,故△AOB为等边三角形,∠BOC=60°﹣α,‎ cos∠BOC=cos(60°﹣α)=,sin∠BOC=sin(60°﹣α)=.‎ 则sinα=sin[60°﹣(60°﹣α)]=sin60°cos(60°﹣α)﹣cos60°sin(60°﹣α)=‎ ‎•﹣•=,‎ 故选:B.‎ ‎9.若不等式(|x﹣a|﹣b)(2x﹣x2)≤0对任意实数x恒成立,则a+b=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】考虑二次不等式2x﹣x2≥0和2x﹣x2≤0的解集,可得|x﹣a|﹣b≤0,以及|x﹣a|﹣b≥0恒成立,结合绝对值函数的图象,解不等式可得所求值.‎ 解:不等式(|x﹣a|﹣b)(2x﹣x2)≤0对任意实数x恒成立,‎ 由于2x﹣x2≥0的解集为[0,2],可得|x﹣a|﹣b≤0在x∈[0,2]恒成立,‎ 可得|0﹣a|﹣b≤0,且|2﹣a|﹣b≤0,‎ 即a+b≥0且a+b≥2,‎ 解得a+b≥2,‎ 又2x﹣x2≤0的解集为(﹣∞,0]∪[2,+∞),可得|x﹣a|﹣b≥0在x∈(﹣∞,0]∪[2,+∞)恒成立,‎ 可得|0﹣a|﹣b≥0,或|2﹣a|﹣b≥0,‎ 即a+b≤0或a+b≤2,‎ 解得a+b≤2,‎ 综上可得a+b=2,‎ 故选:D.‎ ‎10.已知平面向量,,,对任意实数x,y都有|﹣x|≥|﹣|,|﹣y|≥|﹣|成立.若||=2,则•(﹣)的最大值是(  )‎ A. B.﹣ C. D.‎ ‎【分析】由题意画出图形,知B,C在以MA为直径的圆上,过O作OD∥AC,交MC 于E,交圆于D,在OD上的射影最长为|ED|,•(﹣)==|DE|•|AC|,设∠AMC=θ,则|AC|=2sinθ,|OE|=sinθ,可得|DE|=1﹣|OE|=1﹣sinθ,代入•(﹣)=|DE|•|AC|.整理后利用二次函数求最值.‎ 解:如图,‎ 设,,,‎ 若对任意实数x,y都有|﹣x|≥|﹣|,|﹣y|≥|﹣|成立,‎ 则B,C在以MA为直径的圆上,过O作OD∥AC,交MC于E,交圆于D,‎ 在OD上的射影最长为|ED|,‎ ‎•(﹣)==|DE|•|AC|.‎ 设∠AMC=θ,则|AC|=2sinθ,|OE|=sinθ,‎ ‎|DE|=1﹣|OE|=1﹣sinθ,‎ ‎∴•(﹣)=2sinθ(1﹣sinθ)=﹣2sin2θ+2sinθ,‎ 则当sinθ=时,•(﹣)有最大值为.‎ 故选:A.‎ 二、填空题:(本大题有7小题,11--14每小题6分,15--17每小题6分,共36分).‎ ‎11.向量=(1,3),=(n,﹣6),且,则n= ﹣2 ,•= ﹣20 .‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出n,再利用平面向量数量积的运算得到 解:因为,所以3n=﹣6,解得n=﹣2,‎ 则=(1,3)•(﹣2,﹣6)=﹣2﹣18=﹣20,‎ 故答案为:﹣2,﹣20.‎ ‎12.有一扇形其弧长为6,半径为3,则该弧所对弦长为 6sin1 ,扇形面积为 9 .‎ ‎【分析】利用弧长公式可求扇形所对的圆心角α,由余弦定理即可求得该弧所对弦长,利用扇形的面积公式即可得解.‎ 解:∵扇形其弧长为6,半径为3,‎ ‎∴扇形所对的圆心角α==2,‎ ‎∴由余弦定理可得该弧所对弦长为:====6sin1.‎ ‎∴扇形面积S=r2α==9.‎ 故答案为:6sin1,9.‎ ‎13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若A(2,3)(点A为图象的一个最高点),B(﹣,0),则ω=  ,φ= ﹣ ‎ ‎【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.‎ 解:∵函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,o>0,|φ|<的部分图象如图所示,‎ 若A(2,3)(点A为图象的一个最高点),B(﹣,0),‎ 则A=3,•=2+,∴ω=.‎ 结合五点法作图,可得×2+φ=,∴φ=﹣,f(x)=3sin(x﹣),‎ 故答案为:;﹣.‎ ‎14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则m= ﹣1 ,f(﹣log35)的值为 ﹣4 .‎ ‎【分析】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值,求函数函数的解板式,将x=﹣log35代入解析式即可求得所求的函数值.‎ 解:由题意,f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),‎ ‎∴f(0)=30+m=0,解得m=﹣1,‎ 故有x≥0时f(x)=3x﹣1,‎ ‎∴f(﹣log35)=﹣f(log35)=﹣(﹣1)=﹣(5﹣1)=﹣4,‎ 故答案为:﹣1,﹣4.‎ ‎15.在数列{an}中,a1=a2=1,a3=2,且数列{}为等比数列,则an= 2 .‎ ‎【分析】由已知结合等比数列的通项公式及累乘法即可直接求解.‎ 解:由题意可得,=1,=2,‎ 故数列{}是以1为首项,以2为公比的等比数列,‎ 所以=2n﹣1即×,‎ ‎=1,‎ ‎=2,‎ ‎…‎ ‎=2n﹣2,‎ 以上n﹣1个式子相乘可得,=1×2×22×…×2n﹣2=2(1+2+…+n﹣2)=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎16.如图,在边长为1的正方形ABCD中,P,Q分别在边BC,CD上,且PB+QD=PQ,则∠PAQ的大小为 45° .‎ ‎【分析】根据题意,设PB=x,QD=y,△PAQ中,由余弦定理可得,cos∠PAQ=,化简即可得cos∠PAQ=.因为0°<∠PAQ<90°,所以∠PAQ=45°.‎ 解:由题设PB=x,QD=y,‎ 则PA=,AQ=,PQ=x+y,‎ 在△PAQ中,由余弦定理可得,‎ cos∠PAQ===‎ ‎∵△PCQ中,PC2+CQ2=PQ2,∴(1﹣x)2+(1﹣y)2=(x+y)2,得xy+x+y=1.‎ ‎∴====.‎ 即cos∠PAQ=.‎ ‎∵0°<∠PAQ<90°,∴∠PAQ=45°.‎ 故答案为:45°.‎ ‎17.已知函数f(x)=,函数g(x)=f(x)﹣2x恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 [﹣3,﹣1)∪[3,+∞) .‎ ‎【分析】本题利用g(x)=f(x)﹣2x得到g(x)的图象,通过分析图象和x轴交点,结合分段函数的性质,求出a的范围.‎ 解:∵g(x)=f(x)﹣2x=.‎ ‎∴g(x)的图象如图 ‎∵g(x)恰有2个不同的零点,∴g(x)图象与x轴有两个不同的交点.‎ ‎∵若x≤a时,g(x)有两个零点,‎ 则令x2+4x+3=0,得x=﹣3或x=﹣1;‎ 则x>a时,没有零点,‎ ‎∴a≥3.‎ ‎∵若x≤a时,g(x)有一个零点;‎ 则x>a时,g(x)=3﹣x有一个零点,‎ ‎∴﹣3≤a<﹣1.‎ 故答案为[﹣3,﹣1)∪[3,+∞).‎ 三、解答题:(本大题有5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).‎ ‎18.设集合M={x|(x+a)(x﹣1)≤0}(a>0),N={x|4x2﹣4x﹣3<0}.‎ ‎(Ⅰ)若M∪N={x|﹣2≤x<},求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)若(∁RM)∪N=R.求实数a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)化简集合M、N,根据并集的定义求出a的值;‎ ‎(Ⅱ)根据补集与并集的定义,结合实数集的概念,即可求出a的取值范围.‎ 解:全集为R,集合M={x|(x+a)(x﹣1)≤0}={x|﹣a<x<1}(a>0),‎ 集合N={x|4x2﹣4x﹣3<0}={x|﹣<x<}.‎ ‎(Ⅰ)若M∪N={x|﹣2≤x<},则﹣a=﹣2,‎ 解得a=2;‎ ‎(Ⅱ)∁RM={x|x≤﹣a或x≥1},‎ 若N∪(∁RM)=R,则﹣a≥﹣,‎ 解得a≤,‎ 则实数a的取值范围是0<a≤.‎ ‎19.已知函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x,x∈[,].‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)若不等式|f(x)﹣m|<2在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用降幂公式将f(x)化简为f(x)=1+2sin(2x﹣),即可求得f(x)的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)|f(x)﹣m|<2⇔f(x)﹣2<m<f(x)+2,而x∈[,],可求得2x﹣∈[,],从而可求得f(x)max=3,f(x)min=2,于是可求实数m的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)∵f(x)=[1﹣cos(+2x)]﹣cos2x ‎=1+sin2x﹣cos2x ‎=1+2sin(2x﹣),‎ 又∵x∈[,],‎ ‎∴≤2x﹣≤,即2≤1+2sin(2x﹣)≤3,‎ ‎∴f(x)max=3,f(x)min=2.‎ ‎(Ⅱ)∵|f(x)﹣m|<2⇔f(x)﹣2<m<f(x)+2,‎ ‎∵x∈[,],‎ 由(1)可知,f(x)max=3,f(x)min=2,‎ ‎∴m>f(x)max﹣2=1且m<f(x)min+2=4,‎ ‎∴1<m<4,即m的取值范围是(1,4).‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=2an+Sn,且a3+2是a2,a4的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)若bn=﹣anlog2an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.‎ 解:(Ⅰ)数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=2an+Sn,‎ 所以:Sn+1﹣Sn=2an,整理得an+1=2an,‎ 所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列.‎ 由于a3+2是a2,a4的等差中项,‎ 所以2a3+4=a2+a4,‎ 整理得:a1=2.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得:bn=﹣anlog2an=﹣n•2n,‎ 设①,‎ ‎2②,‎ ‎①﹣②得:==(1﹣n)•2n+1﹣2.‎ ‎21.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=,sinB=,AB边上中线CD长为4.‎ ‎(Ⅰ)求cosC;‎ ‎(Ⅱ)求△ACD的面积.‎ ‎【分析】(I)由已知结合同角平方关系及和角余弦公式,结合诱导公式即可求解;‎ ‎(II)结合正弦定理及余弦定理及平行四边形性质求出b,c,然后结合三角形的面积公式可求.‎ 解:(I)因为sinA=,sinB=,‎ 所以cosA=,cosB=,‎ 所以cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB,‎ ‎==,‎ ‎(II)由正弦定理可得,=,设a=2x,b=3x,‎ 由余弦定理可得,c2=a2+b2﹣2abcosC=10x2,①‎ 由平行四边形两对角线平方和等于四边平方和,‎ 故c2+64=2(4+9)x2,‎ 所以c2=26x2﹣64,②‎ ‎①②联立可得,x2,b=6,c=2.‎ ‎∴==×=.‎ ‎22.定义函数fa(x)=4x﹣(a+1)•2x+a,其中x为自变量,a为常数.‎ ‎(Ⅰ)若函数fa(x)在区间[0,2]上的最小值为﹣1,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f(0)},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)},且(∁RA)∩B≠∅,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)若当x∈[0,2]时,换元,得到φ(t)=t2﹣(a+1)t+a,t∈[1,4],分类讨论,利用函数fa(x)的最小值为﹣1,求a之值;‎ ‎(II)令t=,则t∈[4,5),方程(t2﹣8)﹣(a+1)t+2a﹣6在[4,5)上有解,也等价于方程在t∈[4,5)上有解,利用基本不等式,即可求a的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)令t=2x,∵x∈[0,2],∴t∈[1,4],‎ 设φ(t)=t2﹣(a+1)t+a,t∈[1,4],‎ ‎1°当,即a≤1时,fmin(x)=φ(1)=0,与已知矛盾;‎ ‎2°当,即,‎ 解得a=3或a=﹣1,∵1<a<7,∴a=3;‎ ‎3°当,即a≥7,fmin(x)=φ(4)=16﹣4a﹣4+a=1,‎ 解得,但与a≥7矛盾,故舍去,‎ 综上所述,a的值为3.‎ ‎(Ⅱ)∁UA={x|4x﹣4•2x+3<0}={x|0<x<log23},‎ B={x|4x﹣(a+1)•2x+a+42﹣x﹣(a+1)•22﹣x+a=6}=.‎ 由已知(∁UA)∩B≠∅即﹣(a+1)()+2a﹣6=0在(0,log23)内有解,‎ 令t=,则t∈[4,5),方程(t2﹣8)﹣(a+1)t+2a﹣6在[4,5)上有解,‎ 也等价于方程在t∈[4,5)上有解,‎ ‎∵在t∈[4,5)上单调递增,‎ ‎∴h(t)∈[﹣1,2),‎ 故所求a的取值范围是[﹣1,2).‎