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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第13章全等三角形本章总结提升练习(新版)华东师大版

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全等三角形 本章总结提升 问题1 命题与逆命题、定理与逆定理 什么叫做命题?什么叫做逆命题?怎样写出一个命题的逆命题?什么叫逆定理?每个定理都有逆定理吗?‎ 9‎ 例1 下列命题的逆命题不是定理的是(  )‎ A.相等的角是对顶角 B.两直线平行,同位角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 问题2 运用全等三角形解决问题 从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?判定两个直角三角形全等的条件是什么?‎ 例2 已知:如图13-T-1所示,CD∥AB,∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E,过点E的直线BC分别交DC,AB于C,B两点.‎ 求证:AD=AB+CD.‎ 图13-T-1‎ 9‎ 问题3 尺规作图 什么叫尺规作图,基本的尺规作图有哪些?运用尺规作图需要注意哪些问题?‎ 例3 如图13-T-2,已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求回答问题:‎ ‎(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D;‎ ‎(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.‎ 由(1)(2)观察:线段EF与线段BD有怎样的关系?‎ 图13-T-2‎ 问题4 等腰三角形、角平分线和线段垂直 平分线的综合应用 利用等腰三角形的轴对称性,我们发现了它的哪些性质?你能通过全等三角形加以证明吗?等边三角形作为特殊的等腰三角形,有哪些特殊性质?线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的?你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗?‎ 例4 如图13-T-3所示,AC⊥CD,BD⊥CD,线段AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD 于点F,且AC=FD,连结AF,BF.‎ 求证:△ABF是等腰直角三角形.‎ 图13-T-3‎ 9‎ ‎           ‎ 等角对等边的几个应用 等腰三角形是一类特殊的三角形,它比一般的三角形应用更为广泛.我们在七年级已经知道,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,这是等腰三角形的定义,也可以作为等腰三角形的判定条件.不过,它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的.那么,能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢?回答是肯定的,课本的第82页就证明了“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等”,这个结论简称为“等角对等边”.至此,我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了.下面,我们来看看这个定理的常见应用:‎ 一、用等角对等边判定等腰三角形 例1 如图13-T-4,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.‎ ‎(1)求证:BC=AD;‎ ‎(2)试判断△OAB的形状,并说明理由.‎ 解:(1)证明: ∵AC⊥BC,BD⊥AD,‎ ‎∴∠C=∠D=90°.‎ 在Rt△ACB和Rt△BDA中,‎ ‎∵AB=BA,AC=BD,‎ ‎∴Rt△ACB≌Rt△BDA(H.L.),‎ ‎∴BC=AD.‎ ‎(2)△OAB是等腰三角形.‎ 理由:由△ACB≌△BDA,得∠CAB=∠DBA,‎ ‎∴OA=OB,‎ ‎∴△OAB是等腰三角形.‎ ‎[点评] 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径:两边相等或两角相等.‎ 图13-T-4‎ 9‎ 二、用等角对等边证明等腰三角形 例2 如图13-T-5,点O是AD,BC的交点,AC=BD,∠BAC=∠ABD.求证:△ABO是等腰三角形.‎ 图13-T-5‎ ‎[解析] 要证明△ABO是等腰三角形,由图可知,就是要证明OA=OB,也就是要证明∠CBA=∠DAB,则只要证明△ABC≌△BAD即可.‎ 证明:∵AC=BD(已知),‎ ‎∠BAC=∠ABD(已知),‎ ‎ AB=BA(公共边),‎ ‎∴△ABC≌△BAD(S.A.S.),‎ ‎∴∠CBA=∠DAB(全等三角形的对应角相等),‎ ‎∴OA=OB (等角对等边),‎ 即△ABO是等腰三角形.‎ ‎[点评] 由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤:分析是执果索因,即根据结论去寻找原因;证明是由因到果,即由题设推理出要证明的结果.‎ 三、用等角对等边计算等腰三角形 例3 已知三角形的内角分别是x度,y度,且x2-y2=0.三角形的一边长为7,另一边长为10,求它的周长.‎ ‎[解析] 先由内角关系x2-y2=0,判断出该三角形为等腰三角形,再分情况求出三角形的周长.‎ 解:由x2-y2=0,得(x+y)(x-y)=0.‎ 9‎ 因为x+y≠0,‎ 所以x-y=0, ‎ 即x=y.‎ 由等角对等边,可知此三角形是等腰三角形.‎ 当腰长是7时,则底边长是10,其周长是7+7+10=24;‎ 当腰长是10时,则底边长是7,其周长是10+10+7=27.‎ 所以这个三角形的周长是24或27.‎ ‎[点评] 涉及等腰三角形的计算等问题,一般要分情况讨论,才能避免漏解.‎ 9‎ 详解详析 ‎【整合提升】‎ 例1 C 例2 [解析] 要证AD=AB+CD,在AD上截取线段AF,使AF=AB,只需证DF=DC即可.‎ 证明:在线段AD上截取线段AF,使AF=AB,连结EF.‎ 在△ABE和△AFE中,‎ ‎∵AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,‎ ‎∴△ABE≌△AFE(S.A.S.),‎ ‎∴∠B=∠AFE(全等三角形的对应角相等).‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠C+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).‎ 又∵∠DFE+∠AFE=180°,‎ ‎∴∠C=∠DFE.‎ 在△CDE和△FDE中,‎ ‎∵∠CDE=∠FDE,∠C=∠DFE,DE=DE,‎ ‎∴△CDE≌△FDE(A.A.S.),‎ ‎∴DC=DF,‎ ‎∴AD=AF+DF=AB+CD.‎ 例3 [解析] (1)以点B为圆心,任意长为半径画弧与AB,BC交于E,F两点,再以这两点为圆心,以大于两点间距离的一半为半径画弧,连结点B与两弧在∠ABC内部的交点并延长,与AC交于点D,BD就是所求作的角平分线.‎ 9‎ ‎(2)分别以B,D为圆心,以大于BD一半的长为半径在BD的两侧画弧交于两点,连结两弧的交点,交AB于点E,交BC于点F,EF就是所求作的线段BD的垂直平分线.‎ 解:(1),(2)如图所示.‎ 从图中可以看出EF与BD互相垂直平分.‎ 例4 [解析] ∵EF垂直平分AB,‎ ‎∴AF=BF.‎ 只需再证∠AFB=90°,‎ 即证∠AFC+∠BFD =90°.‎ 根据“H.L.”可判定Rt△ACF和Rt△FDB全等,从而∠CAF=∠DFB,‎ 再由∠AFC+∠CAF=90°可证∠AFC+∠DFB =90°.‎ 证明:∵EF是AB的垂直平分线,‎ ‎∴FA=FB.‎ ‎∵AC⊥CD,BD⊥CD,‎ ‎∴△ACF 与△FDB都是直角三角形.‎ 在Rt△ACF与Rt△FDB中,‎ ‎∵AC=FD,FA=FB, ‎ ‎∴Rt△ACF≌Rt△FDB(H.L.),‎ ‎∴∠CAF=∠DFB.‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴∠CAF+∠CFA=90°,‎ ‎∴∠CFA+∠DFB=90°,‎ ‎∴∠AFB=90°,‎ 9‎ 故△ABF是等腰直角三角形.‎ 9‎