- 429.50 KB
- 2021-11-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
全等三角形
本章总结提升
问题1 命题与逆命题、定理与逆定理
什么叫做命题?什么叫做逆命题?怎样写出一个命题的逆命题?什么叫逆定理?每个定理都有逆定理吗?
9
例1 下列命题的逆命题不是定理的是( )
A.相等的角是对顶角
B.两直线平行,同位角相等
C.全等三角形的对应角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
问题2 运用全等三角形解决问题
从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时,哪些是能够判定的?判定两个直角三角形全等的条件是什么?
例2 已知:如图13-T-1所示,CD∥AB,∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E,过点E的直线BC分别交DC,AB于C,B两点.
求证:AD=AB+CD.
图13-T-1
9
问题3 尺规作图
什么叫尺规作图,基本的尺规作图有哪些?运用尺规作图需要注意哪些问题?
例3 如图13-T-2,已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求回答问题:
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D;
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.
由(1)(2)观察:线段EF与线段BD有怎样的关系?
图13-T-2
问题4 等腰三角形、角平分线和线段垂直
平分线的综合应用
利用等腰三角形的轴对称性,我们发现了它的哪些性质?你能通过全等三角形加以证明吗?等边三角形作为特殊的等腰三角形,有哪些特殊性质?线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的?你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗?
例4 如图13-T-3所示,AC⊥CD,BD⊥CD,线段AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD 于点F,且AC=FD,连结AF,BF.
求证:△ABF是等腰直角三角形.
图13-T-3
9
等角对等边的几个应用
等腰三角形是一类特殊的三角形,它比一般的三角形应用更为广泛.我们在七年级已经知道,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,这是等腰三角形的定义,也可以作为等腰三角形的判定条件.不过,它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的.那么,能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢?回答是肯定的,课本的第82页就证明了“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等”,这个结论简称为“等角对等边”.至此,我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了.下面,我们来看看这个定理的常见应用:
一、用等角对等边判定等腰三角形
例1 如图13-T-4,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.
(1)求证:BC=AD;
(2)试判断△OAB的形状,并说明理由.
解:(1)证明: ∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∵AB=BA,AC=BD,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(H.L.),
∴BC=AD.
(2)△OAB是等腰三角形.
理由:由△ACB≌△BDA,得∠CAB=∠DBA,
∴OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
[点评] 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径:两边相等或两角相等.
图13-T-4
9
二、用等角对等边证明等腰三角形
例2 如图13-T-5,点O是AD,BC的交点,AC=BD,∠BAC=∠ABD.求证:△ABO是等腰三角形.
图13-T-5
[解析] 要证明△ABO是等腰三角形,由图可知,就是要证明OA=OB,也就是要证明∠CBA=∠DAB,则只要证明△ABC≌△BAD即可.
证明:∵AC=BD(已知),
∠BAC=∠ABD(已知),
AB=BA(公共边),
∴△ABC≌△BAD(S.A.S.),
∴∠CBA=∠DAB(全等三角形的对应角相等),
∴OA=OB (等角对等边),
即△ABO是等腰三角形.
[点评] 由例2进一步弄清了证明题的两个主要步骤:分析是执果索因,即根据结论去寻找原因;证明是由因到果,即由题设推理出要证明的结果.
三、用等角对等边计算等腰三角形
例3 已知三角形的内角分别是x度,y度,且x2-y2=0.三角形的一边长为7,另一边长为10,求它的周长.
[解析] 先由内角关系x2-y2=0,判断出该三角形为等腰三角形,再分情况求出三角形的周长.
解:由x2-y2=0,得(x+y)(x-y)=0.
9
因为x+y≠0,
所以x-y=0,
即x=y.
由等角对等边,可知此三角形是等腰三角形.
当腰长是7时,则底边长是10,其周长是7+7+10=24;
当腰长是10时,则底边长是7,其周长是10+10+7=27.
所以这个三角形的周长是24或27.
[点评] 涉及等腰三角形的计算等问题,一般要分情况讨论,才能避免漏解.
9
详解详析
【整合提升】
例1 C
例2 [解析] 要证AD=AB+CD,在AD上截取线段AF,使AF=AB,只需证DF=DC即可.
证明:在线段AD上截取线段AF,使AF=AB,连结EF.
在△ABE和△AFE中,
∵AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE(S.A.S.),
∴∠B=∠AFE(全等三角形的对应角相等).
∵CD∥AB,
∴∠C+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠DFE+∠AFE=180°,
∴∠C=∠DFE.
在△CDE和△FDE中,
∵∠CDE=∠FDE,∠C=∠DFE,DE=DE,
∴△CDE≌△FDE(A.A.S.),
∴DC=DF,
∴AD=AF+DF=AB+CD.
例3 [解析] (1)以点B为圆心,任意长为半径画弧与AB,BC交于E,F两点,再以这两点为圆心,以大于两点间距离的一半为半径画弧,连结点B与两弧在∠ABC内部的交点并延长,与AC交于点D,BD就是所求作的角平分线.
9
(2)分别以B,D为圆心,以大于BD一半的长为半径在BD的两侧画弧交于两点,连结两弧的交点,交AB于点E,交BC于点F,EF就是所求作的线段BD的垂直平分线.
解:(1),(2)如图所示.
从图中可以看出EF与BD互相垂直平分.
例4 [解析] ∵EF垂直平分AB,
∴AF=BF.
只需再证∠AFB=90°,
即证∠AFC+∠BFD =90°.
根据“H.L.”可判定Rt△ACF和Rt△FDB全等,从而∠CAF=∠DFB,
再由∠AFC+∠CAF=90°可证∠AFC+∠DFB =90°.
证明:∵EF是AB的垂直平分线,
∴FA=FB.
∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴△ACF 与△FDB都是直角三角形.
在Rt△ACF与Rt△FDB中,
∵AC=FD,FA=FB,
∴Rt△ACF≌Rt△FDB(H.L.),
∴∠CAF=∠DFB.
∵∠C=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,
∴∠CFA+∠DFB=90°,
∴∠AFB=90°,
9
故△ABF是等腰直角三角形.
9
相关文档
- 人教版初中语文8年级上册:第2单元 2021-11-0118页
- 初中8年级语文教案:第8讲 期中考试2021-11-0111页
- 沪科版初中物理知识点汇总2021-11-0172页
- 北师大版数学初中八年级上册课件-2021-11-0120页
- 初中8年级物理教案:第09讲 功率2021-11-0111页
- 初中语文部编版八年级下册期末总复2021-11-0112页
- 2020年惠安初中地理质检(一)参考答案2021-11-011页
- 初中8年级物理教案:第15讲 比热容2021-11-0119页
- 初中8年级语文教案:第6讲 记叙文写2021-11-0111页
- 初中8年级物理教案:第20讲 期末考试2021-11-0140页