2020八年级数学上册第14章1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用作业 10页

‎ [14.1　1.　第2课时　勾股定理的验证及简单应用]‎ ‎　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．如图K－38－1，△ABD的面积是(　　)‎ A．18 B．‎30 C．36 D．60‎ 图K－38－1‎ ‎2．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－38－2‎ A．1 B．‎2 C. D. ‎3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(　　)‎ 图K－38－3‎ ‎4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多‎1 m，当他把绳子的下端拉开‎5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为(　　)‎ A．‎8 m B．‎10 m C．‎12 m D．‎‎14 m 10‎ 图K－38－4‎ ‎5．如图K－38－4，在水塔O的东北方向‎32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向‎24 m处有一建筑物工地B，在A，B之间建一条直水管，则水管的长为(　　)‎ A．‎45 m 　　B．‎40 m ‎ C．‎50 m 　　D．‎‎56 m ‎6．如图K－38－5，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于(　　)‎ 图K－38－5‎ A．6　　　　　　B. ‎ C.　　　　　 D．4‎ 二、填空题 ‎7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC＝90°，并测得AC的长为‎18 m，BC的长为‎30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．‎ 图K－38－6‎ ‎　‎ ‎8．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为‎7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．‎ 10‎ ‎　　‎ 图K－38－7‎ ‎9．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为‎1米)，却踩伤了花草．‎ 图K－38－8‎ ‎　‎ ‎10．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．‎ ‎　　‎ 图K－38－9‎ ‎11．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.‎ 10‎ 图K－38－10‎ 三、解答题 ‎12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：‎ ‎(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；‎ ‎(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．‎ 图K－38－11‎ ‎13．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).‎ 图K－38－12‎ ‎14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.‎ 10‎ 图K－38－13‎ ‎15．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝‎8千米，BC＝‎2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E应建在距离A地多远的位置？‎ 图K－38－14‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ 问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．‎ 定理表述请根据图K－38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．‎ 图K－38－15‎ 尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b 10‎ 为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．‎ 知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明<，其证明如下：‎ ‎∵BC＝a＋b，AD＝________．‎ 又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填“>”“<”或“＝”)，即______________，‎ 10‎ ‎∴＜.‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．B ‎2．D ‎3．D ‎4．[解析] C　设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，‎ 解得x＝12.‎ ‎5．[解析] B　由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝＝＝40(m)．‎ ‎6．‎ ‎[解析] B　∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴由勾股定理，得AD＝＝＝.‎ 又∵DC＝1，‎ ‎∴AC＝＝.‎ ‎7．‎‎24 m ‎8．[答案] ‎49 cm2‎ ‎[解析] 如图，∵a2＋b2＝x2，c2＋d2＝y2，‎ ‎∴a2＋b2＋c2＋d2＝x2＋y2＝72＝49(cm2). ‎ 10‎ ‎9．4‎ ‎10．　12.5π ‎11．10　[解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a，股(较长的直角边)为b.‎ 根据题意，得 解得 由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为＝＝10，‎ 即正方形EFGH的边长为10.‎ ‎12．[解析] (1)根据AD＝BC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，CD，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC，CD，AD的长．‎ 解：(1)如图．‎ ‎(2)　　5‎ ‎13．解：根据图中的数据得AC＝90－40＝50(mm)，BC＝160－40＝120(mm)，根据勾股定理，得AB＝＝130(mm)．‎ 即两孔中心A和B的距离为‎130 mm.‎ 10‎ ‎14．证明：如图，∵S五边形＝S左边梯形＋S右边梯形＝S大正方形＋2S直角三角形，‎ ‎∴(b＋a＋b)·b＋(a＋a＋b)·a＝c2＋2×ab，‎ 即ab＋b2＋a2＋ab＝c2＋ab，‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ ‎15．解：∵C，D两农庄到基地E的距离相等，‎ ‎∴CE＝DE.‎ 在Rt△CBE和Rt△DAE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，DE2＝AD2＋AE2，‎ ‎∴BE2＋BC2＝AD2＋AE2.‎ 设AE＝x千米，‎ 则BE＝(10－x)千米，‎ 而BC＝‎2千米，AD＝‎8千米，‎ 所以(10－x)2＋22＝82＋x2，‎ 解得x＝2，‎ 即基地应建在距离A地‎2千米的位置．‎ ‎[素养提升]‎ 解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.‎ ‎[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，‎ ‎∴∠AEB＝∠EDC.‎ 又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，‎ ‎∴∠AEB＋∠DEC＝90°，‎ ‎∴∠AED＝90°.‎ ‎∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△ECD＋SRt△AED，‎ ‎∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2，‎ 10‎ 整理，得a2＋b2＝c2.‎ ‎[知识拓展]c　＜　a＋b＜c 10‎