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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学上册第14章1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用作业

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‎ [14.1 1. 第2课时 勾股定理的验证及简单应用]‎ ‎       ‎ 一、选择题 ‎1.如图K-38-1,△ABD的面积是(  )‎ A.18 B.‎30 C.36 D.60‎ 图K-38-1‎ ‎2.如图K-38-2,在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,BC=2,则AD的长为(  )‎ ‎   ‎ 图K-38-2‎ A.1 B.‎2 C. D. ‎3.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是(  )‎ 图K-38-3‎ ‎4.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多‎1 m,当他把绳子的下端拉开‎5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为(  )‎ A.‎8 m B.‎10 m C.‎12 m D.‎‎14 m 10‎ 图K-38-4‎ ‎5.如图K-38-4,在水塔O的东北方向‎32 m处有一抽水站A,在水塔的东南方向‎24 m处有一建筑物工地B,在A,B之间建一条直水管,则水管的长为(  )‎ A.‎45 m   B.‎40 m ‎ C.‎50 m   D.‎‎56 m ‎6.如图K-38-5,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=3,BD=2,DC=1,则AC等于(  )‎ 图K-38-5‎ A.6      B. ‎ C.      D.4‎ 二、填空题 ‎7.如图K-38-6,为测量某池塘最宽处A,B两点间的距离,在池塘边定一点C,使∠BAC=90°,并测得AC的长为‎18 m,BC的长为‎30 m,则最宽处A,B两点间的距离为________.‎ 图K-38-6‎ ‎ ‎ ‎8.在如图K-38-7所示的图形中,所有的三角形都是直角三角形,所有的四边形都是正方形,其中最大的正方形的边长为‎7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和是________.‎ 10‎ ‎  ‎ 图K-38-7‎ ‎9.如图K-38-8,学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了________步路(假设2步为‎1米),却踩伤了花草.‎ 图K-38-8‎ ‎ ‎ ‎10.如图K-38-9,已知在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2=________.‎ ‎  ‎ 图K-38-9‎ ‎11.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K-38-10①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为________.‎ 10‎ 图K-38-10‎ 三、解答题 ‎12.如图K-38-11,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题:‎ ‎(1)画线段AD∥BC,且使AD=BC,连结CD;‎ ‎(2)线段AC的长为______,CD的长为______,AD的长为________.‎ 图K-38-11‎ ‎13.在如图K-38-12所示的长方形零件示意图中,根据所给的部分尺寸,求两孔中心A和B的距离(单位:mm).‎ 图K-38-12‎ ‎14.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图K-38-13摆放时,可以用“面积法”来证明a2+b2=c2.请你写出证明过程.‎ 10‎ 图K-38-13‎ ‎15.某市决定在相距10千米的A,B两地之间的E处修建一个土特产加工基地,A,E,B三点在同一条直线上,如图K-38-14所示,有C,D两个农庄,且DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知AD=‎8千米,BC=‎2千米,要使C,D两农庄到基地的距离相等,那么基地E应建在距离A地多远的位置?‎ 图K-38-14‎ ‎           ‎ 问题情境勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法.我国三国时期的数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.‎ 定理表述请根据图K-38-15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).‎ 图K-38-15‎ 尝试证明以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b 10‎ 为高的直角梯形(如图②),请你利用图②验证勾股定理.‎ 知识拓展利用图②中的直角梯形,我们可以证明<,其证明如下:‎ ‎∵BC=a+b,AD=________.‎ 又∵在直角梯形ABCD中,有BC________AD(填“>”“<”或“=”),即______________,‎ 10‎ ‎∴<.‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1.B ‎2.D ‎3.D ‎4.[解析] C 设旗杆的高度为x m,则绳子的长为(x+1)m,由勾股定理,得(x+1)2=x2+52,‎ 解得x=12.‎ ‎5.[解析] B 由题意知∠AOB=90°,由勾股定理得AB===40(m).‎ ‎6.‎ ‎[解析] B ∵AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°,‎ ‎∴由勾股定理,得AD===.‎ 又∵DC=1,‎ ‎∴AC==.‎ ‎7.‎‎24 m ‎8.[答案] ‎49 cm2‎ ‎[解析] 如图,∵a2+b2=x2,c2+d2=y2,‎ ‎∴a2+b2+c2+d2=x2+y2=72=49(cm2). ‎ 10‎ ‎9.4‎ ‎10. 12.5π ‎11.10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b.‎ 根据题意,得 解得 由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为==10,‎ 即正方形EFGH的边长为10.‎ ‎12.[解析] (1)根据AD=BC和AD∥BC即可确定点D;(2)把AC,CD,AD放在网格中的直角三角形中,用勾股定理分别求出AC,CD,AD的长.‎ 解:(1)如图.‎ ‎(2)  5‎ ‎13.解:根据图中的数据得AC=90-40=50(mm),BC=160-40=120(mm),根据勾股定理,得AB==130(mm).‎ 即两孔中心A和B的距离为‎130 mm.‎ 10‎ ‎14.证明:如图,∵S五边形=S左边梯形+S右边梯形=S大正方形+2S直角三角形,‎ ‎∴(b+a+b)·b+(a+a+b)·a=c2+2×ab,‎ 即ab+b2+a2+ab=c2+ab,‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ ‎15.解:∵C,D两农庄到基地E的距离相等,‎ ‎∴CE=DE.‎ 在Rt△CBE和Rt△DAE中,由勾股定理,得CE2=BE2+BC2,DE2=AD2+AE2,‎ ‎∴BE2+BC2=AD2+AE2.‎ 设AE=x千米,‎ 则BE=(10-x)千米,‎ 而BC=‎2千米,AD=‎8千米,‎ 所以(10-x)2+22=82+x2,‎ 解得x=2,‎ 即基地应建在距离A地‎2千米的位置.‎ ‎[素养提升]‎ 解:[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.‎ ‎[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD,‎ ‎∴∠AEB=∠EDC.‎ 又∵∠EDC+∠DEC=90°,‎ ‎∴∠AEB+∠DEC=90°,‎ ‎∴∠AED=90°.‎ ‎∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△ECD+SRt△AED,‎ ‎∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,‎ 10‎ 整理,得a2+b2=c2.‎ ‎[知识拓展]c < a+b<c 10‎