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- 2021-11-01 发布
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第十三章 轴对称
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(北京中考)下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是(C)
2.下列图形对称轴条数最多的是(A)
A.正方形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.线段
3.若点P(a,1)关于y轴的对称点为Q(2,b),则a+b的值是(A)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.如图,AC=BC,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,则图中共有等腰三角形的个数为(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图,在△ABC中,D点在BC上,将D点分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF.根据图中标示的角度,则∠EAF的度数为(D)
A.113° B.124° C.129° D.134°
6.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.
若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为(D)
A.90° B.95° C.100° D.105°
7.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图,直线l1,l2相交于点A,点B是直线外一点,在直线l1,l2上找一点C,使△ABC为一个等腰三角形,则满足条件的点C有(D)
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
9.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,P是AD边上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EP+CP的值最小时,∠ECP的度数为(C)
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
10.已知点P(-2,3),作点P关于x轴的对称点P1,再作点P1关于y轴的对称点P2,接着作P2关于x轴的对称点P3,继续作点P3关于y轴的对称点P4,按此方法一直作下去,则P2 021的坐标为(B)
A.(2,-3) B.(-2,-3) C.(-2,3) D.(2,3)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为__40°__.
12.如图,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板的直角边的长为6cm.
13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为(-2,1).
14.如图是一个风筝的图案,它是轴对称图形,EF是对称轴.若∠A=90°,∠AED=130°,∠C=45°,则∠BFC的度数为__140°__.
15.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,则AE的长为__3__cm.
16.如图, 已知在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′,EB′分别交边AC于点F,G.若∠ADF=80°,则∠EGC的度数为80°.
17.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为__130°或90°__.
18.如图,C为线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°,恒成立的结论有__①②③⑤__.
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图所示.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)若△ABC各顶点的横坐标不变,纵坐标都乘-1,请你在同一坐标系中描出对应的点A′,B′,C′,并依次连接这三个点,所得的△A′B′C′与原来的△ABC有怎样的位置关系?
解:(1)A,B,C三点的坐标分别是(3,4),(1,2),(5,1)
(2)画图略,△A′B′C′与原来的△ABC的位置关系是关于x轴对称
20.(6分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD是底边BC上的高,DE∥AB交AC于点E.试说明△ADE是等腰三角形.
解:∵在△ABC中,∠B=∠C,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD,∴∠ADE=∠DAC,∴AE=ED,∴△ADE是等腰三角形
21.(8分)如图,一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上.请问当轮船到达灯塔C的正东方向D处时,又航行了多少海里?
解:∵CD⊥DB,∠CBD=60°,∴∠DCB=30°,∴DB=BC,
∴BC=2DB.又∵∠BCA=60°-30°=30°,∴BC=BA,∴BC=2×40=80(海里),∴DB=40海里.
答:当轮船到达灯塔C的正东方向D处时,又航行了40海里
22.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线AF交CD于点E,交BC于点F,CM⊥AF于点M,CM的延长线交AB于点N.
(1)求证:EM=FM;
(2)求证:AC=AN.
证明:(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠AED+∠DAE=90°,∠CFE+∠CAE=90°.又∵∠BAC的平分线AF交CD于点E,∴∠DAE=∠CAE,∴∠AED=∠CFE.又∵∠AED=∠CEF,∴∠CEF=∠CFE.∴△CEF为等腰三角形.又∵CM⊥AF,∴EM=FM
(2)∵CN⊥AF,∴∠AMC=∠AMN=90°,在△AMC和△AMN中,
∴△AMC≌△AMN(ASA),∴AC=AN
23.(10分)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm,求AB的长;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
解:(1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN.∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB.
∵△CMN的周长为15 cm,∴AB=15 cm (2)∵∠MFN=70°,∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°.∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,∴∠BNE+∠AMD=∠MNF+∠NMF=110°,∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°.∵AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°
24.(12分)(安顺中考)(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.
因此,AB,AD,DC之间的等量关系是AD=AB+DC;
(2)问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
解:(1)AD=AB+DC.理由如下:∵AB∥CD,∴∠F=∠BAE.∵∠DAE=∠BAE,∴∠DAF=∠F,∴AD=DF,∵CE=BE,且∠F=∠BAE,∠AEB=∠CEF,∴△CEF≌△BEA(AAS),
∴AB=CF,∴AD=DC+CF=AB+DC
(2)AB=AF+CF.理由如下:如图,延长AE交DF的延长线于点G,
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G,又∵BE=CE,∠AEB=∠GEC,
∴△AEB≌△GEC(AAS),∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分线,∴∠BAG=∠FAG,
∵∠BAG=∠G,∴∠FAG=∠G,∴FA=FG.
∵CG=CF+FG,∴AB=AF+CF
25.(15分)如图所示,已知△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边顺时针运动,已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动.
(1)M,N同时运动几秒后,M,N两点重合?
(2)M,N同时运动几秒后,可得等边三角形AMN?
(3)M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN,如果存在,请求出此时M,N运动的时间?
解:(1)设点M,N运动x秒后,M,N两点重合,x+10=2x,解得x=10,∴M,N同时运动10秒后,M,N两点重合
(2)设点M,N运动t秒后,可得到等边三角形AMN,如图①,
AM=t×1=t,AN=AB-BN=10-2t.
∵△AMN是等边三角形,∴t=10-2t,解得t=.
∴点M,N运动秒后,可得到等边三角形AMN
(3)当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知,10秒时M,N两点重合,恰好在C处.如图②,假设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=
∠B.在△ACM和△ABN中,∵∴△ACM≌△ABN(AAS).∴CM=BN,设当点M,N在BC边上运动时,M,N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=y-10,NB=30-2y,CM=NB,y-10=30-2y,解得y=.故假设成立.∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰△AMN,此时M,N运动的时间为秒
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