重庆市2019-2020学年高一下学期（期末）联合检测数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年重庆市高一第二学期期末数学试卷 ‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎2．已知向量，则＝（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（　　）‎ A．300 B．‎250 ‎C．200 D．100‎ ‎4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（　　）‎ A．52，65 B．52，‎66 ‎C．73，65 D．73，66‎ ‎5．设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2+a11＝4，则S12＝（　　）‎ A．12 B．‎24 ‎C．36 D．40‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC＝csinA，则C＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝‎2a4+‎3a3，则a6＝（　　）‎ A．2 B．‎54 ‎C．162 D．243‎ ‎9．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．1 D．2‎ ‎10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥‎2c2，则角C的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（　　）‎ A．﹣9 B．﹣‎12 ‎C．﹣3 D．﹣4‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b＝　 　．‎ ‎14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为　 　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为　 　．‎ ‎16．已知数列{an}的通项公式为，将数列{an}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{bn}，则数列{bn}的前n项和为　 　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．已知函数f（x）＝x2﹣（‎2a+1）x+a+1，a∈R．‎ ‎（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．‎ ‎19．已知向量．‎ ‎（1）若，其中λ＜0，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值．‎ ‎20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．‎ ‎（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；‎ ‎（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：‎ 工龄 x（单位：年）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎14‎ 生产速度y（单位：件/小时）‎ ‎40‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎65‎ 根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．‎ ‎21．在△ABC中，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD＝，∠BDC＝．‎ ‎（1）求AD；‎ ‎（2）求．‎ ‎22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8﹣‎2a3＝3，S3＝a7．‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎【分析】由已知结合直线垂直的条件即可求解．‎ 解：因为直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，‎ 所以‎3a﹣1＝0即a＝．‎ 故选：C．‎ ‎2．已知向量，则＝（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎【分析】求出向量的和，然后求解向量的模即可．‎ 解：向量，‎ 可得＝（3，4），‎ 则＝＝5．‎ 故选：B．‎ ‎3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（　　）‎ A．300 B．‎250 ‎C．200 D．100‎ ‎【分析】用样本容量乘以白色口罩占的比例，即为所求．‎ 解：白色口罩占的比例为 ＝，‎ 故应抽取500×＝100只，‎ 故选：D．‎ ‎4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（　　）‎ A．52，65 B．52，‎66 ‎C．73，65 D．73，66‎ ‎【分析】根据众数与中位数的定义结合茎叶图中数据即可得出答案．‎ 解：甲组数据为：52，52，68，73，73，73，73，84；‎ 故甲里面的众数是73，‎ 乙组数据从小到大排列为：51，56，64，66，72，82；‎ 正中间两个为64，66；‎ 故乙组数据的中位数为65．‎ 故选：C．‎ ‎5．设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2+a11＝4，则S12＝（　　）‎ A．12 B．‎24 ‎C．36 D．40‎ ‎【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a1+a12＝4，进而有等差数列的前n项和公式计算可得答案．‎ 解：根据题意，等差数列{an}中a2+a11＝4，则a1+a12＝4，‎ 则有S12＝＝＝24；‎ 故选：B．‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC＝csinA，则C＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可得：sinAcosC＝sinCsinA，结合sinA＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanC＝1，结合范围C∈（0，π），可求C的值．‎ 解：∵acosC＝csinA，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinAcosC＝sinCsinA，‎ ‎∵A为三角形内角，sinA＞0，‎ ‎∴可得：cosC＝sinC，即tanC＝1，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C＝．‎ 故选：A．‎ ‎7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．由此能求出取到的2个字母不相同的概率．‎ 解：从单词“book”的四个字母中任取2个，‎ 基本事件总数n＝，‎ 取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．‎ ‎∴取到的2个字母不相同的概率p＝．‎ 故选：D．‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝‎2a4+‎3a3，则a6＝（　　）‎ A．2 B．‎54 ‎C．162 D．243‎ ‎【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a2q3＝‎2a2q2+‎3a2q，变形可得q2＝2q+3，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案．‎ 解：根据题意，各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝‎2a4+‎3a3，‎ 则a2q3＝‎2a2q2+‎3a2q，变形可得q2＝2q+3，进而可得q＝3或﹣1，‎ 又由{an}各项均为正数，则q＝3，‎ 则a6＝a2q4＝162；‎ 故选：C．‎ ‎9．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．1 D．2‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z＝x﹣2y，得y＝x﹣z，‎ 平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点B时，直线y＝x﹣z的截距最小，‎ 此时z最大，‎ 由，解得B（，），‎ 此时zmax＝﹣2×＝﹣．‎ 故选：B．‎ ‎10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出两个正方形的边长之间的关系即可求解结论．‎ 解：设小正方形的边长为1；则直角三角形另一直角边为2；‎ 故大正方形的边长为：＝；‎ 故向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为：＝；‎ 故选：C．‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥‎2c2，则角C的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosC，利用基本不等式变形，将已知等式代入求出cosC的最小值，即可确定出C的最大值．‎ 解：∵a2+b2≥‎2c2，a2+b2≥2ab，‎ ‎∴cosC＝≥＝≥＝，‎ ‎∵C为三角形内角，C∈（0，π），且cosC在（0，π）上单调递减，‎ 故C，‎ ‎∴角C的最大值为，‎ 故选：B．‎ ‎12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（　　）‎ A．﹣9 B．﹣‎12 ‎C．﹣3 D．﹣4‎ ‎【分析】本题根据题意画出图形，结合图形表示出向量，，再根据已知条件可推导出得+2＝3，再代入进行转化计算，并将向量运算的最值问题转化二次函数的最值问题，进行计算即可得到正确选项．‎ 解：由题意，画图如下，‎ 根据题意及图，可知 ‎＝﹣，＝﹣，‎ ‎∵＝2，‎ ‎∴﹣＝2（﹣），‎ 整理，得+2＝3，‎ 则＝•3‎ ‎＝﹣3||•||‎ ‎＝﹣3||•（4﹣||）‎ ‎＝3（||2﹣4||），‎ 设||＝m，很明显m∈[0，4]，‎ 故 ‎＝3（||2﹣4||）‎ ‎＝3（m2﹣‎4m）‎ ‎＝3（m﹣2）2﹣12，‎ 根据二次函数的性质，可知：‎ 当m＝2时，取得最小值为﹣12．‎ 故选：B．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b＝　　．‎ ‎【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求sinB，sinA的值，进而由正弦定理可求得b的值．‎ 解：∵，‎ ‎∴sinB＝，sinA＝＝，‎ ‎∴由正弦定理，可得：b＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为　　．‎ ‎【分析】运用向量的模的平方的运算法则，结合向量，‎ 的数量积，求解向量的夹角公式即可．‎ 解：单位向量满足，‎ 可得|﹣2|2＝4，‎ 即，‎ ‎1﹣4×+4＝4，‎ 所以＝．‎ 故答案为：．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为　9　．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ 解：因为x＞0，y＞0，且，‎ 则2x+y＝（2x+y）（）＝（10+）＝9，‎ 当且仅当且即x＝，y＝6时取等号，此时2x+y取得最大值9．‎ 故答案为：9‎ ‎16．已知数列{an}的通项公式为，将数列{an}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{bn}，则数列{bn}的前n项和为　•4n﹣3n2　．‎ ‎【分析】本题先根据题意计算出数列{bn}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法可计算出数列{bn}的前n项和．‎ 解：由题意，可知 bn＝a2n﹣1＝22n﹣1﹣3（2n﹣1）+1＝•4n﹣6n+4，‎ 故b1+b2+…+bn ‎＝（•41﹣6×1+4）+（•42﹣6×2+4）+…+（•4n﹣6n+4）‎ ‎＝（41+42+…+4n）﹣6×（1+2+…+n）+4n ‎＝•﹣6•+4n ‎＝•4n﹣3n2+n﹣．‎ 故答案为：•4n﹣3n2+n﹣．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）先求AB的斜率，进而可求直线方程；‎ ‎（2）先求出点C到AB的距离，进而可求三角形的面积 解：（1）由题意可知，直线AB的斜率k＝＝﹣2，‎ 故直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即y＝﹣2x+5，‎ ‎（2）点C到直线AB的方程d＝＝，‎ ‎|AB|＝＝，‎ 故△ABC的面积S＝＝．‎ ‎18．已知函数f（x）＝x2﹣（‎2a+1）x+a+1，a∈R．‎ ‎（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由二次不等式的解法：因式分解法，可得所求解集；‎ ‎（2）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．‎ 解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤0即x2﹣3x+2≤0，即（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，可得解集为[1，2]；‎ ‎（2）关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，可得△＝（‎2a+1）2﹣4（a+1）＝‎4a2﹣3≤0，‎ 解得﹣≤a≤，‎ 则a的取值范围是[﹣，]．‎ ‎19．已知向量．‎ ‎（1）若，其中λ＜0，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值．‎ ‎【分析】本题第（1）题先根据已知条件代入可得向量关于λ 的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到λ的值，从而可得的坐标；‎ 第（2）题先计算出的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对进行化简计算并代入数值即可计算出结果．‎ 解：（1）由题意，可知＝（λ，﹣2λ），‎ 则＝＝•|λ|＝2，‎ 故|λ|＝2，‎ ‎∵λ＜0，‎ ‎∴λ＝﹣2，‎ ‎∴＝（﹣2，4）．‎ ‎（2）由题意，可知 ‎||＝＝，‎ 则＝22﹣•﹣2‎ ‎＝2•||2﹣||•||•cos＜，＞﹣||2‎ ‎＝2•（）2﹣•2•cos﹣（2）2‎ ‎＝10﹣10•（﹣）﹣20‎ ‎＝﹣5．‎ ‎20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．‎ ‎（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；‎ ‎（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：‎ 工龄 x（单位：年）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎14‎ 生产速度y（单位：件/小时）‎ ‎40‎ ‎55‎ ‎60‎ ‎60‎ ‎65‎ 根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．‎ ‎【分析】（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由已知列式求得首项与公差，再由中位数公式列式求解工人生产速度的中位数；‎ ‎（2）求出与的值，可得线性回归方程，取x＝18求得y值即可．‎ 解：（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，‎ 由题意a2＝a1+d＝0.016×10＝0.16．①‎ 故a1+a2+a3+a4＝‎4a1+6d＝1﹣0.016×10＝0.84．②‎ 联立①②，解得a1＝0.06，d＝0.1．‎ 又a1+a2+a3＝0.48，∴中位数为50+＝；‎ ‎（2），＝．‎ ‎＝＝＝，‎ ‎．‎ ‎∴回归直线方程为．‎ 当x＝18时，．‎ 故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时．‎ ‎21．在△ABC中，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD＝，∠BDC＝‎ ‎．‎ ‎（1）求AD；‎ ‎（2）求．‎ ‎【分析】（1）设AD＝m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；‎ ‎（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．‎ 解：（1）设AD＝m，∠ADC＝π﹣∠BDC＝π﹣＝，‎ 所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2﹣‎2m•CD•cos＝AC2，‎ 即m2+2﹣‎2‎m•（﹣）＝10，‎ 解得m＝2，即AD＝2．‎ ‎（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：＝＝＝＝＝．‎ ‎22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8﹣‎2a3＝3，S3＝a7．‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．‎ ‎【分析】本题第（1）题先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出an及Sn；‎ 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用裂项相消法计算出前n项和Tn的表达式，分别写出故T1，Tm，Tn的表达式，然后根据等比中项的性质列出关于m、n的关系式，再进一步转化成用m表示出n的表达式，根据m＜n且m∈N*，列出关于m的不等式并解出m的取值范围，再根据m的取值范围及m∈N*确定m的可能取值，并计算出对应的n的取值，最后根据n∈N*，即可确定满足条件的m，n的对应取值．‎ 解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则 ‎，‎ 化简整理，得，‎ 解得，‎ ‎∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，‎ Sn＝3n+×2＝n2+2n．‎ ‎（2）由（1）知，＝＝（﹣），‎ 则Tn＝b1+b2+…+bn ‎＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）‎ ‎＝（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（﹣）‎ ‎＝，‎ 故T1＝×＝，Tm＝，Tn＝，‎ ‎∵成等比数列，‎ ‎∴Tm2＝T1•Tn，即＝•，‎ 化简，得3（2n+3）m2＝n（‎2m+3）2，‎ 整理，得n＝，‎ ‎∵m＜n且m∈N*，‎ ‎∴m＜，m∈N*，‎ 解得3＜m＜3（1+），‎ ‎∵6＜3（1+）＜7，且m∈N*，‎ ‎∴3＜m＜7，‎ ‎∴m可能取的值为4，5，6，‎ 当m＝4时，n＝＝，‎ 当m＝5时，n＝＝，‎ 当m＝6时，n＝＝36，‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴满足条件的m，n只有一组，即为：．‎