重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15 26页

15.3 分式方程 第十五章 分 式 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 分式方程及其解法 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 掌握解分式方程的基本思路和解法 . （重点） 2. 理解分式方程时可能无解的原因 . （难点） 导入新课 问题引入 一艘轮船在 静水 中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速 顺流 航行 90 千米所用时间，与以最大航速 逆流 航行 60 千米所用时间相等 . 设江水的流速为 x 千米 / 时，根据题意可列方程 . 这个程是我们以前学过的方程吗？它与 一元一次 方程有什么区别？ 讲授新课 分式方程的概念 一 定义： 此方程的分母中含有未知数 x ，像这样 分母中含未知数的方程 叫做 分式方程 . 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结 : 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数 ( 注意： π不是未知数 ) ． 你能试着解这个分式方程吗？ （2） 怎样 去分母 ？ （3） 在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去 ？ （4） 这样做的 依据 是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1） 如何把它 转化 为整式方程呢？ “去分母” 分式方程的解法 二 方程各分母最简公分母是 ： （ 3 0+ x ）( 3 0- x ) 解： 方程①两边同乘 （ 30+ x )(30- x ) ， 得 检验： 将 x = 6 代入原分式方程中，左边= =右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解 . 90 （ 30- x )=60(30+ x ) ， 解得 x =6. x =6 是原分式方程的 解吗？ 解分式方程的基本思路：是将 分式方程 化为 整式方程 ，具体做法是“ 去分母 ” 即方程两边同乘 最简公分母 . 这也是解分式方程的一般方法 . 归纳 下面我们再讨论一个分式方程： 解： 方程两边同乘 ( x +5)( x -5) ，得 x +5=10 ， 解得 x =5. x =5 是原分式方程的 解吗？ 检验： 将 x = 5 代入原方程中，分母 x -5 和 x 2 -25 的值都为 0 ，相应的分式无意义 . 因此 x =5 虽是整式方程 x +5=10 的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解 . 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就 是 原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却 不是 原分式方程的解呢？ 真相揭秘： 分式两边同乘了不为 0 的式子 , 所得整式方程的解与分式方程的解相同 . 我们再来观察去分母的过程 : 90(30- x )=60(30+ x ) 两边同乘 (30+ x )(30- x ) 当 x =6 时 ,(30+ x )(30- x )≠0 真相揭秘： 分式两边同乘了等于 0 的式子 , 所得整式方程的解使分母为 0 , 这个整式方程的解就不是原分式方程的解 . x +5=10 两边同乘 ( x +5)( x -5) 当 x =5 时 , ( x +5)( x -5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0 ，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式的解呢？ 分式方程解的检验 ------ 必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 . 1. 在方程的两边都乘以 最简公分母 ，约去分母，化成整式方程 . 2. 解这个整式方程 . 3. 把整式方程的解代入 最简公分母 ，如果最简公分母的值 不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4. 写出原方程的根 . 简记为：“ 一化二解三检验 ” . 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 典例精析 例 1 解方程 解： 方程两边乘 x ( x -3) , 得 2 x =3 x -9. 解得 x =9. 检验：当 x =9 时， x ( x -3) ≠0. 所以，原分式方程的解为 x =9. 例 2 解方程 解： 方程两边乘 ( x -1)( x +2), 得 x ( x +2)-( x -1)( x +2)=3. 解得 x =1. 检验：当 x =1 时， ( x -1)( x +2) =0, 因此 x =1 不是原分式方程的解 . 所以，原分式方程无解 . 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 x = a 最简公分母是 否为零？ 否 是 例 3 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是 ____________ ． 解析：去分母得 2 x ＋ a ＝ x － 1 ，解得 x ＝－ a － 1 ， ∵ 关于 x 的方程 的解是正数， ∴ x ＞ 0 且 x ≠1 ， ∴ － a － 1 ＞ 0 且－ a － 1≠1 ，解得 a ＜－ 1 且 a ≠ － 2 ， ∴ a 的取值范围是 a ＜－ 1 且 a ≠ － 2. 方法总结： 求出方程的解 ( 用未知字母表示 ) ，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为 0. a ＜－ 1 且 a ≠ － 2 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 例 4 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 解：方程两边都乘以 ( x ＋ 2)( x － 2) 得 2( x ＋ 2) ＋ mx ＝ 3( x － 2) ，即 ( m － 1) x ＝－ 10. ① 当 m － 1 ＝ 0 时，此方程无解，此时 m ＝ 1 ； ② 方程有增根，则 x ＝ 2 或 x ＝－ 2 ， 当 x ＝ 2 时，代入 ( m － 1) x ＝－ 10 得 ( m － 1)×2 ＝－ 10 ， m ＝－ 4 ； 当 x ＝－ 2 时，代入 ( m － 1) x ＝－ 10 得 ( m － 1)×( － 2) ＝－ 10 ，解得 m ＝ 6 ， ∴ m 的值是 1 ，－ 4 或 6. 方法总结： 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的． 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 当堂练习 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A. 3 y -6 B. 3 y C. 3 (3 y -6) D. 3 y ( y -2) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 ( 　　 ) A. B. C. D. D 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2 （ x -8)+5 x =16( x -7) B.2( x -8)+5 x =8 C.2( x -8)-5 x =16( x -7) D.2( x -8)-5 x =8 A 4 ． 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A ．－ 1 ， 5 B ． 1 C ．－ 1.5 或 2 D ．－ 0.5 或－ 1.5 D 5. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验