八年级数学上册第四章一次函数4-2一次函数与正比例函数教学课件新版北师大版 20页

4.2 一次函数与正比例函数 第四章 一次函数 学习目标 1. 掌握一次函数、 正比例函数 的概念 . （重点） 2. 能根据条件求出一次函数的关系式． （难点） 导入新课 观察与思考 在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，如图所示．当时的人们通过容器泄水的流量来判断时间的多少．那么你知道为什么可以用水流量来判断时间吗？ 假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高，也就是说，浮子升高高度 h=kt ( k 为常数） 讲授新课 一次函数与正比例函数 一 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题 , 大家能不能举一些例子 ? (2) 你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y =3+0.5 x 情景一： 某弹簧的自然长度为 3 cm ，在弹性限度内，所 挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg ， 5 kg 时的长度，并填入下表： x /kg 0 1 2 3 4 5 y /cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 情景二： 某辆汽车油箱中原有油 60 L, 汽车每行驶 50 km 耗油 6 L. (1) 完成下表： 汽车行使路程 x /km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y /L 60 54 48 42 36 30 (2) 你能写出 y 与 x 的关系吗 ? y =60 － 0.12 x 上面的两个函数关系式 : (1) y =3+0.5 x (2) y =60 － 0.12 x 若两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成 y = kx + b ( k, b 为常数， k 不等于 0 ）的形式，则称 y 是 x 的 一次函数 . （ x 为自变量， y 为因变量 . ） 当 b =0 时，称 y 是 x 的 正比例函数 . 大家讨论一下 , 这两个函数关系式有什么关系 ? 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y ＝－ x －4; (2) y ＝5 x 2 －6； (3) y ＝2π x ; (6) y ＝8 x 2 ＋ x (1－8 x ) 解： (1) 是一次函数，不是正比例函数； (2) 不是一次函数，也不是正比例函数； (3) 是一次函数，也是正比例函数； (4) 是一次函数，也是正比例函数； (5) 不是一次函数，也不是正比例函数； (6) 是一次函数，也是正比例函数． 练一练 方法总结 1. 判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2. 判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 典例精析 例 1 ： 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （ 1 ）汽车以 60km/h 的速度匀速行驶 , 行驶路程为 y (km) 与行驶时间 x (h) 之间的关系 ; 解：由路程 = 速度 × 时间，得 y =60 x , y 是 x 的 一次函数 , 也是 x 的正比例函数 . 解：由圆的面积公式，得 y = πx 2 , y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数 . （ 2 ）圆的面积 y (cm 2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系 . 解：这个水池每时增加 5m 3 水， x h 增加 5 x m 3 水， 因而 y =15+5 x , y 是 x 的一次函数 ，但 不是 x 的正比例函数 . （ 3 ）某水池有水 15m 3 ，现打开进水管进水，进水速度为 5 m 3 /h ， x h 后这个水池有水 y m 3 . 例 2 ： 已知函数y＝( m －5) xm 2 －24＋ m ＋1. (1)若它是一次函数，求 m 的值； (2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(1) 因为y＝( m －5) xm 2 －24＋ m ＋1是一次函数， 所以 m 2 －24＝1且 m －5≠0， 所以 m ＝±5且 m ≠5， 所以 m ＝－5. 所以，当 m ＝－5时，函数y＝( m －5) xm 2 －24 ＋ m ＋1是一次函数． (2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)因为 y＝( m －5) xm 2 －24＋ m ＋1是一次函数， 所以 m 2 －24＝1且 m －5≠0且 m ＋1＝0. 所以 m ＝±5且 m ≠5且 m ＝－1， 则这样的 m 不存在， 所以函数y＝( m －5) xm 2 －24＋ m ＋1不可能为 正比例函数． 【 方法总结 】 函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数． 例 3 ： 我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3500 元的部分不收税；月收入超过 3500 元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税 …… 如某人月收入 3860 元 , 他应缴个人工资、薪金所得税为 : （ 3860-3500 ） ×3%=10.8 元 . (1) 当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时 , 写出应缴所得税 y ( 元 ) 与收入 x ( 元 ) 之间的关系式 . 解 : y =0.03 × ( x -3 500) (3500< x <5000) (2) 某人月收入为 4160 元，他应缴所得税多少元？ 解 : 当 x =4160 时， y =0.03×(4160-3500)=19.8 （元） . 解 : 设此人本月工资是 x 元，则 19.2=0.03×( x -3500), x =4140. 答 : 此人本月工资是 4140 元 . (3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？ 当堂练习 1. 判断 : (1) y =2.2 x ， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数 . （ ） (2) y =80 x +100 ， y 是 x 的一次函数 . （ ） √ √ 2. 在函数 y=( m -2) x +( m 2 -4) 中，当 m 时， y 是 x 的一次函数；当 m 时， y 时 x 的正比例函数 . ≠ 2 = -2 3. 已知函数 y=(m-1)x ｜ m ︱ + 1 是一次函数，求 m 值； 4. 若函数 y=(m-3)x+m 2 -9 是正比例函数，求 m 的值； 解：根据题意，得 ∣m∣=1, 解得 m=±1 ， 但 m-1≠0, 即 m≠1, 所以 m=-1. 解：根据题意，得 m 2 -9=0, 解得 m=±3 ， 但 m-3≠0, 即 m≠3, 所以 m=-3. 5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为 x 本 . (1) 写出零星租书方式应付金额 y 1 （元）与租书数量 x （本）之间的函数关系式 . (2) 写出会员卡租书方式应付金额 y 2 （元）与租书数量 x （本）之间的函数关系式 . (3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么 ? 解 :(1) y 1 = x . (2) y 2 =0.4 x +12. (3) 由 x =0.4 x +12 知 , 当 x <20 时，零星租书方式合算；当 x =20 时，两种租书方式一样；当 x >20 时 , 会员卡租书方式合算 . 6 ．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t 的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 t 的部分，按每吨 2.6 元收费 . 设某用户月用水量 x 吨，自来水公司应收的水费为 y 元 . （ 1 ）试写出 y （元）与 x （ t ）之间的函数关系式 . （ 2 ）该户今年 5 月份的用水量为 8 t ，自来水公司应收水费多少元？ 解 : （ 1 ）当 x ≤5 时， y ＝ 2 x ； 当 x >5 时， y ＝ 10 ＋（ x － 5 ） ×2.6 ＝ 2.6 x － 3; （ 2 ）因为 x ＝ 8>5 所以 y ＝ 2.6×8 － 3=17.8 （元） . 一次函数 一次函数的概念 课堂小结 正比例函数的概念 函数关系式的确定