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- 2021-11-06 发布
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第1章 一元二次方程
1 . 2 第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)
知识点 1 用配方法把方程转化为(x+m)2=n 的形式
1. 把方程2x2-4x-2=0的二次项系数化为1,得________=0.移项,得________.配方,得________,即(________)2=________.
2.把方程3x2-12x-18=0配方,化为(x+m)2=n的形式应为( )
A.(x-4)2=6 B.(x-2)2=4
C.(x-2)2=10 D.(x-2)2=0
3.将一元二次方程2x2+4 x+1=0的左边配方成(x+m)2的形式之后,右边的常数应该是( )
A.1 B. C. D.
4.用配方法解下列方程时,配方有误的是( )
A.x2-2x-98=0化为(x-1)2=99
B.x2-6x+4=0化为(x-3)2=5
C.4x2+6x+1=0化为=
D.3x2-4x-2=0化为=
5.代数式2x2+8x-7配方后得____________.
6.用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0,变形为(x+h)2=k,则h=________,k=________.
知识点 2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
7.用配方法解方程:2x2+4x-12=0.
解:二次项系数化为1,得________________.
移项,得______________.
配方,得______________,
即______________.
开方,得______________.
所以原方程的解为__________________.
8.一元二次方程3x2+10x-8=0的解为________.
9.用配方法解下列方程:
(1)2x2-7x+6=0; (2)6x2-x-12=0;
(3)4x2+12x+9=0;
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(4)[2016·仪征二模] 2x2-4x-1=0;
(5)2x(x-3)=1; (6)-x2-=x.
10.不论x取何值,二次三项式2x2-2x+1的值都( )
A.大于或等于 B.小于或等于-
C.有最大值 D.恒小于0
11.小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数3a2-4b+6.若将实数(x,-2x)放入其中,得到1,则x=________.
12.已知方程5x2+kx-10=0的一个根是-5,求它的另一个根及k的值.
13.当x为何值时,代数式2x2+7x-1的值与x2-19的值互为相反数?
14.大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为1,再进行配方.请你阅读如下方程的解答过程.
解方程:2x2-2 x-3=0.
解:2x2-2 x=3,
(x)2-2 x+1=3+1,(x-1)2=4,
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x-1=±2,解得x1=-,x2=.
按照上述解法解方程:5x2-2x=2.
15.配方法不仅可以用来解一元二次方程,还可以用来解决很多问题,如求式子的最值:因为3a2≥0,所以3a2+1就有最小值1,即3a2+1≥1,只有当a=0时,才能得到这个式子的最小值1.同样,因为-3a2≤0,所以-3a2+1有最大值1,即-3a2+1≤1,只有当a=0时,才能得到这个式子的最大值1.
(1)当x=________时,代数式-2(x-1)2+3有最________(填“大”或“小”)值为________.
(2)当x=________时,代数式-2x2+4x+3有最________(填“大”或“小”)值为________,
分析:-2x2+4x+3=-2(x2-2x+________)+________=-2(x-1)2+________.
(3)如图1-2-1,已知矩形花园的一面靠墙,另外三面栅栏的总长度是16 m,当花园与墙相邻的边长为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少?(假设墙足够长)
图1-2-1
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详解详析
1.x2-2x-1 x2-2x=1 x2-2x+1=2x-1 2
2.C [解析] 3x2-12x-18=0.
二次项系数化为1,得x2-4x-6=0.
移项,得x2-4x=6.
配方,得x2-4x+4=10,即(x-2)2=10.
3.B
4.D [解析] 用配方法解方程时,配方这一步是方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
5.2(x+2)2-15
6.
7.x2+2x-6=0 x2+2x=6 x2+2x+1=6+1 (x+1)2=7 x+1=± x1=-1,x2=--1
8.x1=,x2=-4
9.[解析] 先将二次项系数化为1,然后用配方法求解.
解:(1)方程两边同除以2,得x2-x+3=0.
移项、配方,得x2-x+=-3+,
即=,所以x-=±,
所以x1=2,x2=.
(2)方程两边都除以6,并移项,得x2-x=2.
配方,得x2-x+(-)2=2+(-)2,
即(x-)2==()2,
所以x-=或x-=-,
所以x1=,x2=-.
(3)移项,得4x2+12x=-9.
二次项系数化为1,得x2+3x=-.
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2+3x+=-+,即(x+)2=0,
解得x1=x2=-.
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(4)方程整理,得x2-2x=.
配方,得x2-2x+1=,即(x-1)2=.
开方,得x-1=±.
解得x1=1+,x2=1-.
(5)整理,得2x2-6x=1.
两边同除以2,得x2-3x=.
配方,得x2-3x+=+,
即=.
开方,得x-=±,
所以x1=+,x2=-.
(6)移项,得-x2-x=.
两边同除以-,得x2+3x=-2.
配方,得x2+3x+=-2+,
即=.
开方,得x+=±,
所以x1=-1,x2=-2.
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10. A
11.-或-1 [解析] 根据题意,得3x2-4(-2x)+6=1.
整理,得3x2+8x=-5.
化简、配方,得(x+)2=.
解得x1=-,x2=-1.
故答案为-或-1.
12.解:把x=-5代入方程,得
5×(-5)2-5k-10=0,解得k=23,
∴原方程为5x2+23x-10=0.
两边同除以5,得x2+x-2=0
配方,得x2+x+=2+
即=,∴x+=±,
∴x1=,x2=-5.
∴方程的另一个根是,k的值为23.
13.解:因为代数式2x2+7x-1的值与x2-19的值互为相反数,
所以2x2+7x-1+x2-19=0,
所以3x2+7x-20=0,
二次项系数化为1,得
x2+x-=0.
配方,得(x+)2=+,
即x+=±,
所以x=或x=-4.
即当x的值为或-4时,代数式2x2+7x-1的值与x2-19的值互为相反数.
14.解:(x)2-2 ×x=2,
(x)2-2 ×x+3=5,
(x)2-2 ×x+()2=()2,(x-)2=()2,x-=±,
x-=±1,
解得x1=1+,x2=-1+.
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15. [解析] 首先要理解题意,根据完全平方式,通过配方求最值.
解:(1)1 大 3
(2)1 大 5 1 5 5
(3)设花园与墙相邻的边长为x m,花园的面积为S m2,
则S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32.
当x=4时,S取得最大值32.
∴当花园与墙相邻的边长为4 m时,花园的面积最大,最大面积是32 m2.
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