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- 2021-11-06 发布
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2019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷(3 月份)
一、选择题(本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
1.抛物线 y=2(x﹣2)2﹣1 的顶点坐标是( )
A.(0,﹣1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,﹣1) D.(0,1)
2.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2:
甲 乙 丙 丁
平均数 (cm) 563 560 563 560
方差 S2(cm2) 6.5 6.5 17.5 14.5
根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么
两人同时选 择“参加社会调查”的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OC⊥AB,D 为圆周上一点,若 的度数为 50°,则∠ADC 的度数
为( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
5.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k<1 且 k≠0 C.k≥﹣1 且 k≠0 D.k>﹣1 且 k≠0
6.如图,△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段 AC 的长为( )
A.4 B.4 C.6 D.4
二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
7.已知一组数据:4,2,5,0,3.这组数据的中位数是 .
8.已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项,且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm,则 c 的长度为 cm
.
9.一元二次方程 2x2+3x+1=0 的两个根之和为 .
10.已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为 6cm,则它的侧面积等于 cm2.
11.若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根,则 6m2﹣9m+2016 的值为 .
12.已知二次函数 y=ax2+bx+c 中,自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表:
x … ﹣2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
当 x=﹣1 时,y= .
13.已知正六边形的边长为 4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,边长为半径画弧(如图),
则所得到的三条弧的长度之和为 cm.(结果保留 π)
14.如图,在△ABC 中,DE∥BC, = ,则 = .
15.如图,每个小正方形的边长都为 1,点 A、B、C 都在小正方形的顶点上,则∠ABC 的正切值为
.
16.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D 为线段 AC 上一动点,连接 BD,过点 C
作 CH⊥BD 于 H,连接 AH,则 AH 的最小值为 .
三、解答题(本大题共有 11 小题,共 102 分)
17.计算: sin45°+2cos30°﹣tan60°
18.雾霾天气严重影响市民的生活质量.在今年寒假期间,某校八年级一班的综合实践小组同学对“
雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民.并对调查结果进行了整理.绘制了如图不
完整的统计图表.观察分析并回答下列问题.
(1)本次被调查的市民共有多少人?
(2)分别补全条形统计图和扇形统计图,并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若该市有 100 万人口,请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人?[来源:Zxxk.Com]
组别 雾霾天气的主要成因 百分比
A 工业污染 45%
B 汽车尾气排放 m
C 炉烟气排放 15%
D 其他(滥砍滥伐等) n
19.把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组,每组 3 张,分别标上 1、2、3,将这两组卡片分
别放入两个盒子中搅匀,再从中随机抽取一张.
(1)请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;
试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
20.周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边
的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸边选择了点 B,使得 AB 与河岸垂直 ,并在 B
点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线上选择点 D,竖起标杆 DE,使得点 E 与点 C、A 共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根
据相关测量 信息,求河宽 AB.
21.如图,点 A、B、C 在⊙O 上,用无刻度的直尺画图.
(1)在图①中,画一个与∠B 互补的圆周角;
(2)在图②中,画一个与∠B 互余的圆周角.
22.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD,在课外活动时间测得下列数据:
如图,从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°,斜坡 AE 的长为 16 米,地面 B 点(与 E 点在
同一个水平线)距停车场顶部 C 点(A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直)2 米.试求该校
地下停车场的高度 AC 及限高 CD(结果精确到 0.1 米, ≈1.732).
23.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空
气阻力,小球的飞行高度 y(单位: m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有函数关系 y=﹣5x2+20x
,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为 15m 时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大 高度是多少?
24.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D.过点 D 作 EF⊥AC,垂足为 E
,且交 AB 的延长线于点 F.
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)已知 AB=4,AE=3.求 BF 的长.
25.如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点,
(1)求证:AC2=AB•AD;
(2)求证:CE∥AD;
(3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
26.(1)问题提出:苏科版《数学》九年级(上册)习题 2.1 有这样一道练习题:如图①,BD、CE
是△ABC 的高,M 是 BC 的中点,点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一个圆上?为什么?
在解决此题时,若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”,在连接MD、ME
的基础上,只需证明 .
(2)初步思考:如图②,B D、CE 是锐角△ABC 的高,连接 DE.求证:∠ADE=∠ABC,小敏
在解答此题时,利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明.(请你根据小敏的思路完成证
明过程.)
(3)推广运用:如图③,BD、CE、AF 是锐角△ABC 的高,三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂心
,连接 DE、EF、FD,求证:点 G 是△DEF 的内心.
27.如图 1,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A(0,4),交 x 轴于点 B(4,0),点 P 是抛
物线上一动点,试过点 P 作 x 轴的垂线 1,再过点 A 作 1 的垂线,垂足为 Q,连接 AP.
(1)求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标;
(2)若△AQP∽△AOC,求点 P 的横坐标;
(3)如图 2,当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ 沿 AP 对折,点 Q 的对应点为
点 Q′,请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标.
2019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷(3 月份)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
1.抛物线 y=2(x﹣2)2﹣1 的顶点坐标是( )
A.(0,﹣1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,﹣1) D.(0,1)
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标.[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
【解答】解:∵顶点式 y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),
∴y=2(x﹣2)2﹣1 的顶点坐标是(2,﹣1).
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h
)2+k 中,对称轴为 x=h,顶点坐标为(h,k).
2.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2:
甲 乙 丙 丁
平均数 (cm) 563 560 563 560
方差 S2(cm2) 6.5 6.5 17.5 14.5
根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小,再根据平均数的意义即可求出答案.
【解答】解:∵S 甲 2=6.5,S 乙 2=6.5,S 丙 2=17.5,S 丁 2=14.5,
∴S 甲 2=S 乙 2<S 丁 2<S 丙 2,
∵ =563, =560,
∴ > ,
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲;
故选:A.
【点评】此题考查了平均数和方差,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反
之也成立.
3.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么
两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数,
即可求出所求的概率.
【解答】解:可能出现的结果
甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查
乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生
由上表可知,可能的结果共有 4 种,且他们都是等可能的,其中两人同时选择“参加社会调查”
的结果有 1 种,
则两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ,
故选:B.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解
题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
4.如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OC⊥AB,D 为圆周上一点,若 的度数为 50°,则∠ADC 的度数
为( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°,利用垂径定理得到 =
,然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数.[来源:Z|xx|k.Com]
【解答】解:∵ 的度数为 50°,
∴∠BOC=50°,
∵半径 OC⊥AB,
∴ = ,
∴∠ADC= ∠BOC=25°.
故选:B.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条
弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和圆周角定理
.
5.若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k<1 且 k≠0 C.k≥﹣1 且 k≠0 D.k>﹣1 且 k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于 0 列出不等式,且二次项系
数不为 0,即可求出 k 的范围.
【解答】解:∵一元二次方程 kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=4+4k>0,且 k≠0,
解得:k>﹣1 且 k≠0.
故选:D.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于 0,方程有两个不相等的实
数根;根的判别式的值等于 0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于 0,方程没有实
数根.
6.如图,△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段 AC 的长为( )
A.4 B.4 C.6 D.4
【分析】根据AD 是中线,得出 CD=4,再根据 AA 证出△CBA∽△CAD,得出 = ,求出 AC
即可.
【解答】解:∵BC=8,
∴CD=4,
在△CBA 和△CAD 中,
∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,
∴△CBA∽△CAD,
∴ = ,
∴AC2=CD•BC=4×8=32,
∴AC=4 ;
故选:B.
【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质,关键是根据 AA 证出△CBA∽△CAD,是一道基
础题.
二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
7.已知一组数据:4,2,5,0,3.这组数据的中位数是 3 .
【分析】要求中位数,按从小到大的顺序排列后,找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平
均数)即可.
【解答】解:从小到大排列此数据为:0,2,3,4,5,第 3 位是 3,则这组数据的中位数是 3.
故答案为:3.
【点评】考查了中位数的知识,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数
个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位
数的平均数.
8.已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项,且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm,则 c 的长度为 4 cm
.
【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负.
【解答】解:根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘
积.
所以 c2=2×8,解得 c=±4(线段是正数,负值舍去),
故答案为:4.
【点评】此题考查了比例线段;理解比例中项的概念,这里注意线段不能是负数.
9.一元二次方程 2x2+3x+1=0 的两个根之和为 ﹣ .
【分析】设方程的两根分别为x1、x2,根据根与系数的关系可得出 x1+x2=﹣ =﹣ ,此题得解
.
【解答】解:设方程的两根分别为 x1、x2,
∵a=2,b=3,c=1,
∴x1+x2=﹣ =﹣ .
故答案为:﹣
【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 是解题的关键.
10.已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为 6cm,则它的侧面积等于 24π cm2.
【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算.
【解答】解:圆锥的侧面积= ×2π×4×6=24π,
故答案为:24π.
【点评】本题考查的是圆锥的计算,圆锥的侧面积:S 侧= •2πr•l=πrl.
11.若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根,则 6m2﹣9m+2016 的值为 2019 .
【分析】把 x=m 代入方程,求出 2m2﹣3m=1,再变形后代入,即可求出答案.
【解答】解:∵m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根,
∴代入得:2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1,
∴6m2﹣9m+2016=3(2m2﹣3m)+2016=3×1+2016=2019,
故答案为:2019.
【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解,能求出 2m2﹣3m=1 是解此题的关键.
12.已知二次函数 y=ax2+bx+c 中,自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表:
x … ﹣2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3[来源:Z*xx*k.Com] …
当 x=﹣1 时,y= 3 .
【分析】先确定出抛物线的对称轴,然后利用对称性求解即可.
【解答】解:依据表格可知抛物线的对称轴为 x=1,
∴当 x=﹣1 时与 x=3 时函数值相同,
∴当 x=﹣1 时,y=3.
故答案为:3.
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质,利用二次函数的对称性求解是解题的关键.
13.已知正六边形的边长为 4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,边长为半径画弧(如图),
则所得到的三条弧的长度之和为 8π cm.(结果保留 π)
【分析】先求得正多边形的每一个内角,然后由弧长计算公式.
【解答】解:方法一:
先求出正六边形的每一个内角= =120°,
所得到的三条弧的长度之和=3× =8π(cm);
方法二:先求出正六边形的每一个外角为 60°,
得正六边形的每一个内角 120°,
每条弧的度数为 120°,
三条弧可拼成一整圆,其三条弧的长度之和为 8πcm.
故答案为:8π.
【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆.与圆有关的计算,注意圆与多边形的结合.
14.如图,在△ABC 中,DE∥BC, = ,则 = .
【分析】由DE∥BC 可得出∠ADE=∠B,∠AED=∠C,进而可得出△ADE∽△ABC,利用相似
三角形的性质可得出 = ,进而可得出 = ,此题得解.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴ =( )2=( )= ,
∴ = = = .
故答案为: .
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解
题的关键.
15.如图,每个小正方形的边长都为 1,点 A、B、C 都在小正方形的顶点上,则∠ABC 的正切值为
1 .
【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,
再解直角三角形求出即可.
【解答】解:
如图:长方形 AEFM,连接 AC,
∵由勾股定理得:AB2=32+12=10,BC2=22+12=5,A C2=22+12=5,
∴AC2+BC2=AB2,AC=BC,
即∠ACB=90°,
∴tan∠ABC= =1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点,能求出∠ACB=90°是解此题
的关键.
16.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D 为线段 AC 上一动点,连接 BD,过点 C
作 CH⊥BD 于 H,连接 AH,则 AH 的最小值为 2 ﹣2 .
【分析】取 BC 中点 G,连接 HG,AG,由直角三角形的性质可得 HG=CG=BG= BC=2,由
勾股定理可求 AG=2 ,由三角形的三边关系可得 AH≥AG﹣HG,当点 H 在线段 AG 上时,可
求 AH 的最小值.
【解答】解:如图,取 BC 中点 G,连接 HG,AG,
[来源:Zxxk.Com]
∵CH⊥DB,点 G 是 BC 中点
∴HG=CG=BG= BC=2,
在 Rt△ACG 中,AG= =2
在△AHG 中,AH≥AG﹣HG,
即当点 H 在线段 AG 上时,AH 最小值为 2 ﹣2,
故答案为:2 ﹣2
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,三角形三边关系,勾股定理,确定使 AH 值最小时
点 H 的位置是本题的关键.
三、解答题(本大题共有 11 小题,共 102 分)
17.计算: sin45°+2cos30°﹣tan60°
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.
【解答】解:原式= × +2× ﹣ =1.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.雾霾天气严重影响市民的生活质量.在今年寒假期间,某校八年级一班的综合实践小组同学对“
雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民.并对调查结果进行了整理.绘制了如图不
完整的统计图表.观察分析并回答下列问题.
(1)本次被调查的市民共有多少人?
(2)分别补全条形统计图和扇形统计图,并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若该市有 100 万人口,请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人?
组别 雾霾天气的主要成因 百分比
A 工业污染 45%
B 汽车尾气排放 m
C 炉烟气排放 15%
D[来源:学科网] 其他(滥砍滥伐等) n
【分析】(1)根据条形图和扇形图信息,得到 A 组人数和所占百分比,求出调查的市民的人数;
(2)根据 B 组人数求出 B 组百分比,得到 D 组百分比,根据扇形圆心角的度数=百分比×360°
求出扇形圆心角的度数,根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图;
(3)根据持有 A、B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案.
【解答】解:(1)从条形图和扇形图可知,A 组人数为 90 人,占 45%,
∴本次被调查的市民共有:90÷45%=200 人;
(2)60÷200=30%,
30%×360°=108°,
区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为:108°,
1﹣45%﹣30%﹣15%=10%,
D 组人数为:200×10%=20 人,
(3)100 万×(45%+30%)=75 万,
∴若该市有 100 万人口,持有 A、B 两组主要成因的市民有 75 万人.
[来源:学科网]
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识,正确获取图中信息并准确进行计算是解
题的关键.
19.把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组,每组 3 张,分别标上 1、2、3,将这两组卡片分
别放入两个盒子中搅匀,再从中随机抽取一张.
(1)请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;
试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
【分析】(1)依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能,然后根据概率公式
求出该事件的概率;
(2)根据(1)中所求,进而求出两人获胜的概率,即可得出答案.
【解答】解:(1)画树状图得:
,
由上图可知,所有等可能结果共有 9 种,其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种.
∴P(取出的两张卡片数字之和为奇数)= .
(2)不公平,理由如下:
由(1)可得出:取出的两张卡片数字之和为偶数的概率 为: .
∵ < ,
∴这个游戏不公平.
【点评】此题主要考查了游戏公平性,用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用
方法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边
的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸边选择了点 B,使得 AB 与河岸垂直,并在 B
点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线上选择点 D,竖起标杆 DE,使得点 E 与点 C、A 共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根
据相关测量信息,求河宽 AB.
【分析】由 BC∥DE,可得 = ,构建方程即可解决问题.
【解答】解:∵BC∥DE,
∴△ABC∽△ADE,
∴ = ,
∴ = ,
∴AB=17(m),
经检验:AB=17 是分式方程的解,
答:河宽 AB 的长为 17 米.
【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题,属于中考常考题型.
21.如图,点 A、B、C 在⊙O 上,用无刻度的直尺画图.
(1)在图①中,画一个与∠B 互补的圆周角;
(2)在图②中,画一个与∠B 互余的圆周角.
[来源:Zxxk.Com]
【分析】(1)根据四点共圆进行画图即可;
(2)根据 90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可.
【解答】解:(1)如图 1,∠P 即为所求:
(2)如图 2,∠CBQ 即为所求.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结
合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几
何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.熟练掌握圆周角定理是解决此题的关
键.
22.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD,在课外活动时间测得下列数据:
如图,从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°,斜坡 AE 的长为 16 米,地面 B 点(与 E 点在
同一个水平线)距停车场顶部 C 点( A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直)2 米.试求该校
地下停车场的高度AC 及限高 CD(结果精确到 0.1 米, ≈1.732).
【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长,根据余弦的定义求出 CD 的长.
【解答】解:由题意得,AB⊥EB,CD⊥AE,
∴∠CDA=∠EBA=90°,
∵∠E=30°,
∴AB= AE=8 米,
∵BC=2 米,
∴AC=AB﹣BC=6 米,
∵∠DCA=90°﹣∠DAC=30°,
∴CD=AC×cos∠DCA=6× ≈6.9 米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,理解仰角的概念、灵活运用锐角三
角函数的定义是解题的关键.
23.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空
气阻力,小球的飞行高度 y(单位:m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有函数关系 y=﹣5x2+20x
,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为 15m 时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
【分析】(1)根据题目中的函数解析式,令 y=15 即可解答本题;
(2)令 y=0,代入题目中的函数解析式即可解答本题;
(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题.
【解答】解:(1)当 y=15 时,
15=﹣5x2+20x,
解得,x1=1,x2=3,
答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为 15m 时,飞行时间是 1s 或 3s;
(2)当 y=0 时,
0═﹣5x2+20x,
解得,x1=0,x2=4,
∵4﹣0=4,
∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是 4s;
(3)y=﹣5x2+20x=﹣5(x﹣2)2+20,
∴当 x=2 时,y 取得最大值,此时,y=20,
答:在飞行过程中,小球飞行高度第 2s 时最大,最大高度是 20m.
【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利 用二次函数的性质解答.
24.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D.过点 D 作 EF⊥AC,垂足为 E
,且交 AB 的延长线于点 F.
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)已知 AB=4,AE=3.求 BF 的长.
【分析】(1)作辅助线,根据等腰三角形三线合一得 BD=CD,根据三角形的中位线可得 OD∥
AC,所以得 OD⊥EF,从而得结论;
(2)证明△ODF∽△AEF,列比例式可得结论.
【解答】(1)证明:连接 OD,AD,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴OD⊥EF,
∴EF 是⊙O 的切线;
(2)解:∵OD∥AE,
∴△ODF∽△AEF,
∴ ,
∵AB=4,AE=3,
∴ ,
∴BF=2.
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质
和判定,圆的切线的判定,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.
25.如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点,
(1)求证:AC2=AB•AD;[来源:Z,xx,k.Com]
(2)求证:CE∥AD;
(3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
【分析】(1)由 AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似
三角形的对应边成比例,证得 AC2=AB•AD;
(2)由 E 为 AB 的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得 CE=
AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到 CE∥AD;
(3)易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 的值.
【解答】(1)证明:∵AC 平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=AB•AD;
(2)证明:∵E 为 AB 的中点,
∴CE= AB=AE ,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
(3)解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE= AB,
∴CE= ×6=3,
∵AD=4,
∴ ,
∴ .
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题
难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
26.(1)问题提出:苏科版《数学》九年级(上册)习题 2.1 有这样一道练习题:如图①,BD、CE
是△ABC 的高,M 是 BC 的中点,点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一个圆上?为什么?
在解 决此题时,若想要说明“点B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”,在连接MD、ME
的基础上,只需证明 ME=MD=MB=MC .
(2)初步思考:如图②,BD、CE 是锐角△ABC 的高,连接 DE.求证:∠ADE=∠ABC,小敏
在解答此题时,利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明.(请你根据小敏的思路完成证
明过程.)
(3)推广运用:如图③,BD、CE、AF 是 锐角△ABC 的高,三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂
心,连接 DE、EF、FD,求证:点 G 是△DEF 的内心.
【分析】(1)要证四个点在同一圆上,即证明四个点到定点距离相等.
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,即能证 ME=MD=MB=MC,得到四边
形 BCDE 为圆内接四边形,故有对角互补.
(3)根据内心定义,需证明 DG、EG、FG 分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE.由点 B、C、D、
E 四点共圆,可得同弧所对的圆周角∠CBD=∠CED.又因为∠BEG=∠BFG=90°,根据(2)
易证点 B、F、G、E 也四点共圆,有同弧所对的圆周角∠FBG=∠FEG,等量代换有∠CED=∠
FEG,同理可证其余两个内角的平分线.
【解答】解:(1)根据圆的定义可知,当点 B、C、D、E 到点 M 距离相等时,即他们在圆 M 上
故答案为:ME=MD=MB=MC
(2)证明:连接 MD、ME
∵BD、CE 是△ABC 的高
∴BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵M 为 BC 的中点
∴ME=MD= BC=MB=MC
∴点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上
∴∠ABC=∠CDE=180°
∵∠ADE+∠CDE=180°
∴∠ADE=∠ABC[来源:学科网]
(3)证明:取 BG 中点 N,连接 EN、FN
∵CE、AF 是△ABC 的高
∴∠BEG=∠BFG=90°
∴EN=FN= BG=BN=NG
∴点 B、F、G、E 在以点 N 为圆心的同一个圆上
∴∠FBG=∠FEG
∵由(2)证得点 B、C、D、E 在同一个圆上
∴∠FBG=∠CED
∴∠FEG=∠CED
同理可证:∠EFG=∠AFD,∠EDG=∠FDG
∴点 G 是△DEF 的内心
【点评】本题考查了圆的定义,直角三角形斜边上的中线等于斜边一半,圆内接四边形对角互补
,圆周角定理,内心的定义.第(3)题解题关键是选取适当的四点证明共圆,再利用圆周角定
理证明角相等
27.如图 1,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A(0,4),交 x 轴于点 B(4,0),点 P 是抛
物线上一动点,试过点 P 作 x 轴的垂线 1,再过点 A 作 1 的垂线,垂足为 Q,连接 AP.
(1)求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标;
(2)若△AQP∽△AOC,求点 P 的横坐标;
(3)如图 2,当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ 沿 AP 对折,点 Q 的对应点为
点 Q′,请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式,然后利用抛物线解析式得到一元二次方程,通
过解一元二次方程得到 C 点坐标;
(2)利用△AQP∽△AOC 得到 AQ=4PQ,设 P(m,﹣m2+3m+4),所以 m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|
,然后解方程 4(m2﹣3m)=m 和方程 4(m2﹣3m)=﹣m 得 P 点坐标;
(3)设 P(m,﹣m2+3m+4)(m> ),当点 Q′落在 x 轴上,延长 QP 交 x 轴于 H,如图 2,
则 PQ=m2﹣3m,证明 Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,利用相似比得到 Q′B=4m﹣12,则 OQ′=12
﹣3m,在 Rt△AOQ′中,利用勾股定理得到方程 42+(12﹣3m)2=m2,然后解方程求出 m 得到
此时 P 点坐标;当点 Q′落在 y 轴上,易得点 A、Q′、P、Q 所组成的四边形为正方形,利用 PQ
=PQ′得到|m2﹣3m|=m,然后解方程 m2﹣3m=m 和方程 m2﹣3m=﹣m 得此时 P 点坐标.
【解答】解:(1)把 A(0,4),B(4,0)分别代入 y=﹣x2+bx+c 得 ,解得
,
∴抛物线解析式为 y=﹣x2+3x+4,
当 y=0 时,﹣x2+3x+4=0,解得 x1=﹣1,x2=4,
∴C(﹣1,0);
故答案为 y=﹣x2+3x+4;(﹣1,0);
(2)∵△AQP∽△AOC,
∴ = ,
∴ = = =4,即 AQ=4PQ,
设 P(m,﹣m2+3m+4),
∴m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|,即 4|m2﹣3m|=m,
解方程 4(m2﹣3m)=m 得 m1=0(舍去),m2= ,此时P 点坐标为( , );
解方程 4(m2﹣3m)=﹣m 得 m1=0(舍去),m2= ,此时 P 点坐标为( , );
综上所述,点 P 的坐标为( , )或( , );
(3)设 P(m,﹣m2+3m+4)(m> ),
当点 Q′落在 x 轴上,延长 QP 交 x 轴于 H,如图 2,
则 PQ=4﹣(﹣m2+3m+4)=m2﹣3m,
∵△APQ 沿 AP 对折,点 Q 的对应点为点 Q',
∴∠AQ′P=∠AQP=90°,AQ′=AQ=m,PQ′=PQ=m2﹣3m,
∵∠AQ′O=∠Q′PH,
∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,
∴ = ,即 = ,解得 Q′B=4m﹣12,
∴OQ′=m﹣(4m﹣12)=12﹣3m,
在 Rt△AOQ′中,42+(12﹣3m)2=m2,
整理得 m2﹣9m+20=0,解得 m1=4,m2=5,此时 P 点坐标为(4,0)或(5,﹣6);
当点 Q′落在 y 轴上,则点 A、Q′、P、Q 所组成的四边形为正方形,
∴PQ=AQ′,
即|m2﹣3m|=m,
解方程 m2﹣3m=m 得 m1=0(舍去),m2=4,此时 P 点坐标为(4,0);
解方程 m2﹣3m=﹣m 得 m1=0(舍去),m2=2,此时 P 点坐标为(2,6),
综上所述,点 P 的坐标为(4,0)或(5,﹣6)或(2,6)
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质和折叠的性质;会利用待定系数法求函数解析式;会运用相似三角形的性质进行几何计算;理
解坐标与图形性质.会运用分类讨论的思想解决数学问题.