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  • 2021-11-06 发布

2020年中考数学专题复习:函数知识点总结

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初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴, 取向上为正方向;两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标 系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分, 分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、 纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当 ba  时,(a,b)和(b,a) 是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第二象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第三象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第四象限 0,0  yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 0 y ,x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 0 x ,y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上  x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标 的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y (2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x (3)点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx  知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一确 定的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示, 这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫 做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果 bkxy  (k,b 是常数,k  0),那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地,当一次函数 中的 b 为 0 时, kxy  (k 为常数,k 0)。这时,y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数 的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数 的图像是经 过原点(0,0)的直线。 k 的符 号 b 的符 号 函数图像 图像特征 k>0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、三象限, y 随 x 的增大而增大。 b<0 y 0 x 图像经过一、三、四象限, y 随 x 的增大而增大。 k<0 k<0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限, y 随 x 的增大而减小 b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限, y 随 x 的增大而减小。 注:当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数 kxy  有下列性质: (1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大,图像从左之右上升; (2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小,图像从左之右下降。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数 bkxy  有下列性质: (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大 (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小 (3)当 b>0 时,直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上 (4)当 b<0 时,直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 kxy  (k  0)中的常数 k。确 定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 (k 0)中的常数 k 和 b。解这类问 题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地,函数 x ky  (k 是常数,k  0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以 写成 1 kxy 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数,函数的取值范围也 是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或 第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0,函数 y 0,所以,它 的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标 轴。 3、 反比例函数的性质 反比 例函 数 )0(  kx ky k 的符 号 k>0 k<0 图像 y O x y O x 性质 ①x 的取值范围是 x  0, y 的取值范围是 y 0; ②当 k>0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x 0, y 的取值范围是 y 0; ②当 k<0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 x ky  中,只有一个待定系数, 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 若过反比例函数 )0(  kx ky 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,则所得的 矩形 PMON 的面积 S=PM PN= xyxy  。 kSkxyx ky  ,, 。 知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数, ,特别注意 a 不为零,那么 y 叫做 x 的二次函数。 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数, 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 a bx 2 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素): ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线 画出对称轴 (2)求抛物线 cbxaxy  2 与坐标轴的交点: 当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到 点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次 函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对 对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 知识点七、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: 2y ax 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c的性质: 二次函数 的图像可由 2y ax 的图像上下平移得到(平移规律:上加 下减)。 3.  2y a x h的性质: 二次函数 的图像可由 的图像左右平移得到(平移规律:左加 右减)。 4.  2y a x h k   的性质: 知识点八、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: 2y ax bx c   ( a ,b , c 为常数, 0a  ); 2. 顶点式: 2()y a x h k   ( a , h , k 为常数, 0a  ); 3. 两点式: 12( )( )y a x x x x   ( 0a  , 1x , 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写 成两点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 2 40b ac时,抛物线的解析式才可以用两 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a  向上  00, y 轴 0x  时,y 随 x 的增大而增大; 0x  时,y 随 x 的增大而减小; 0x  时, y 有最小值 0 . 0a  向下  00, y 轴 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 . 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  0 c, 轴 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值c . 向下  0 c, 轴 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值c . 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  0h, X=h xh 时, 随 的增大而增大;xh 时, 随 的增大而减小;xh 时, 有最小值 . 向下  0h, X=h xh 时, 随 的增大而减小;xh 时, 随 的增大而增大;xh 时, 有最大值 . 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  hk, X=h 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 k . 向下  hk, X=h 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 k . 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情 况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 知识点十、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当 a bx 2 时, a bacy 4 4 2最值 。 如果自变量的取值范围是 21 xxx  ,那么,首先要看 a b 2 是否在自变量取值范围 内,若在此范围内,则当 x= a b 2 时, ;若不在此范围内,则 需要考虑函数在 范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当 2xx  时, cbxaxy  2 2 2最大 ,当 1xx  时, cbxaxy  1 2 1最小 ;如果在此范围内, y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 则 当 时, cbxaxy  1 2 1最大 ,当 时, cbxaxy  2 2 2最小 。 知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数, 图像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性质 (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; (2)对称轴是 x= a b 2 , 顶点坐标是( , a bac 4 4 2 ); (3)在对称轴的左侧,即当 x< 时, y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧, 即当 x> 时,y 随 x 的增大而增大, 简记左减右增; (4)抛物线有最低点,当 x= 时,y 有最小 值, a bacy 4 4 2最小值 (1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (2)对称轴是 x= , 顶点坐标是( , ); (3)在对称轴的左侧,即当 x< 时,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧, 即当 x> 时,y 随 x 的增大而 减小,简记左增右减; (4)抛物线有最高点,当 x= 时, y 有最大值, a bacy 4 4 2最大值 2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 2 0ax bx c   是二次函数 2y ax bx c   当函数值 0y  时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 2 40b ac    时,图象与 x 轴交于两点    1200A x B x, , , 12()xx ,其中的 12xx, 是 一 元 二 次 方 程  2 00ax bx c a    的 两 根 . 这 两 点 间 的 距 离 2 21 4b acAB x x a    推导过程:若抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴两交点为    00 21 ,,, xBxA ,由于 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个根,故 a cxxa bxx  2121 ,     aa acb a c a bxxxxxxxxAB      444 22 21 2 21 2 2121 ② 当 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 0a  时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 0y  ; 2' 当 0a  时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 0y  . 记忆规律:一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ac4b2  ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当  >0 时,图像与 x 轴有两个交点;当  =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 <0 时,图像与 x 轴没有交点。 知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆) 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法) y 如图:点 A 坐标为(x1,y1)点 B 坐标为(x2,y2) 则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为    2 21 2 21 yyxx  A 0 B 2、二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ,确定其顶点坐标 hk, ; ② 保持抛物线 2y ax 的形状不变,将其顶点平移到 hk, 处,具体平移方法如下: 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2 y=ax 2+ky=ax2 ③平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成 八个字“左加右减,上加下减”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占 3 分,但 掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间) 3、直线斜率: 12 12tan xx yyk    4、设两条直线分别为, 1l : 11y k x b 2l : 22y k x b 若 12//ll,则有 1 2 1 2//l l k k且 12bb 。 若 1 2 1 2 1l l k k     知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 抛物线 cbxaxy  2 中, a b c,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 2axy  中的 完全一样. a >0 时,抛物线开口向上; a <0 时,抛物线开口向下; a 的绝对值越大,开口越小 (2)b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线 a bx 2 ,故:① 0b 时,对称轴为 y 轴;② 0a b (即 、 同号)时,对称轴 在 轴左侧;③ 0a b (即 、 异号)时,对称轴在 轴右侧.(口诀左同 右异) (3)c 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 0x 时, cy  ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0, c ): ① 0c ,抛物线经过原点; ② 0c ,与 轴交于正半轴; ③ 0c ,与 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 . 知识点十四、中考点击 考点分析: 内容 要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 Ⅰ 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别,理解图像与变量的关系 Ⅰ 3、一次函数的概念和图像 Ⅰ 4、一次函数的增减性、象限分布情况,会作图 Ⅱ 5、反比例函数的概念、图像特征,以及在实际生活中的应用 Ⅱ 6、二次函数的概念和性质,在实际情景中理解二次函数的意义,会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 Ⅱ 命题预测:函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选 择、填空的形式考查自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等, 一般占 3-6 分左右.一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选 择、解答题及综合题的形式考查,占 6 分左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题 形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,3—6 分;二次函数是初 中数学的一个十分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.要求:能通过对 实际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数 图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴, 并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值. 分析近年中考,预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的 变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同 时将注重考查二次函数,特别是二次函数的在实际生活中应用.