中考数学专题复习——压轴题含答案 42页

中考数学专题复习——压轴题 ‎1.（2008年四川省宜宾市）‎ 已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.‎ （1） 求该抛物线的解析式；‎ （2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；‎ （3） ‎△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.‎ ‎（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）‎ ‎1. 解：（ 1）由已知得：解得 c=3,b=2‎ ‎∴抛物线的线的解析式为 ‎(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）‎ 所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)‎ 设对称轴与x轴的交点为F 所以四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=9‎ ‎（3）相似 如图，BD=‎ BE=‎ DE=‎ 所以, 即： ,所以是直角三角形 所以,且,‎ 所以.‎ ‎.‎ ‎2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；‎ ‎(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；‎ ‎(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；‎ ‎(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.‎ y B C y T A C B O x O T A x ‎2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，‎ ‎ ∴△A´TA是等边三角形，且，‎ ‎ ∴，，‎ A´‎ y E ‎ ∴，‎ x O C T P B A ‎ 当A´与B重合时，AT=AB=，‎ ‎ 所以此时.‎ ‎ (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，‎ ‎ 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，‎ A´‎ y x ‎ 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)‎ ‎ 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)‎ P B E ‎ 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，.‎ F C ‎ (3)S存在最大值 A T O ‎ 当时，，‎ ‎ 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，‎ ‎∴当t=6时，S的值最大是.‎ 当时，由图，重叠部分的面积 ‎∵△A´EB的高是，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当t=2时，S的值最大是；‎ 当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，‎ ‎∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，‎ ‎∴‎ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是.‎ ‎ ‎ ‎3. （08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于 ‎，当点与点重合时，点停止运动．设，．‎ ‎（1）求点到的距离的长；‎ ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．‎ A B C D E R P H Q ‎3. 解：（1），，，．‎ 点为中点，．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2），．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 即关于的函数关系式为：．‎ ‎（3）存在，分三种情况：‎ A B C D E R P H Q M ‎2‎ ‎1‎ ‎①当时，过点作于，则．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，，‎ A B C D E R P H Q ‎，．‎ A B C D E R P H Q ‎②当时，，‎ ‎．‎ ‎③当时，则为中垂线上的点，‎ 于是点为的中点，‎ ‎．‎ ‎，‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎，．‎ 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．‎ ‎4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N P 图 3‎ O A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎．4. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ……………2分 ‎∴ =．（0＜＜4） ……………3分 A B C M N D 图 2‎ O Q ‎（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ． …………………5分 过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，． ‎ ‎∴ x＝． ‎ ‎∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分 A B C M N P 图 3‎ O ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ① 当0＜≤2时，． ‎ A B C M N P 图 4‎ O E F ‎∴ 当＝2时， ……………………………………8分 ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． ……………………………………………… 9分 ‎＝．……………………10分 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………11分 综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分 ‎5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ；‎ ‎（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由. ‎ x y B A O 图1‎ B A O P Q 图2‎ ‎5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）‎ ‎(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ‎②可能是矩形，mn=k即可 不可能是正方形，因为Op不能与OA垂直.‎ 解：（1）作BE⊥OA，‎ ‎∴ΔAOB是等边三角形 ‎∴BE=OB·sin60o=，‎ ‎∴B(,2)‎ ‎∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为 ‎（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,‎ ‎∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=‎ ‎6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=，∴B(,2)‎ ‎∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,‎ 以直线AB的解析式为 ‎（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,‎ ‎∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=‎ 如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°‎ ‎∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,‎ ‎∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=‎ ‎∴D(,)‎ ‎(3)设OP=x,则由（2）可得D()若ΔOPD的面积为：‎ 解得：所以P(,0)‎ ‎7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： ‎ ‎（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；‎ ‎②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．‎ ‎（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．‎ ‎7. 解: ‎ ‎(1)① ………………………………………………………………2分 ‎②仍然成立 ……………………………………………………1分 在图（2）中证明如下 ‎∵四边形、四边形都是正方形 ‎∴ ，， ‎ ‎∴…………………………………………………………………1分 ‎ ‎ ∴ （SAS）………………………………………………………1分 ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ …………………………………………………………………………1分 ‎（2）成立，不成立 …………………………………………………2分 简要说明如下 ‎∵四边形、四边形都是矩形，‎ 且，，，(，)‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴………………………………………………………………………1分 ‎∴‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………1分 ‎（3）∵ ∴‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴ ………………………………………………1分 ‎ ∴ ………………………………………………………………………1分 ‎8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线 平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．‎ ‎（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．‎ ‎①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；‎ ‎②当时，求S关于的函数解析式；‎ ‎（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎8. 解： ‎ ‎（1）① ……………………………………………………………………………2分，，S梯形OABC=12 ……………………………………………2分 ‎②当时，‎ 直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积 ‎ …………………………………………4分 ‎（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分 …（每个点对各得1分）……5分 ‎ 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：‎ ① ‎ 以点D为直角顶点，作轴 ‎ ‎ 设.（图示阴影）‎ ‎，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）‎ E点在0点与A点之间不可能；‎ ‎② 以点E为直角顶点 ‎ ‎ 同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.‎ 以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），‎ E点在A点下方不可能.‎ 综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、‎ P（8，4）、P（4，4）．‎ 下面提供参考解法二：‎ 以直角进行分类进行讨论（分三类）：‎ 第一类如上解法⑴中所示图 ‎，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得 ；‎ 第二类如上解法②中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得 ，‎ 第三类如上解法③中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即解得 ‎（与重合舍去）．‎ 综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、‎ P（8，4）、P（4，4）．‎ 事实上，我们可以得到更一般的结论：‎ 如果得出设，则P点的情形如下 直角分类情形 ‎9.(2008山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.‎ ‎（1）求证：△BDE≌△BCF； ‎ ‎（2）判断△BEF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.‎ ‎9.‎ ‎10.(2008山东烟台)如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.‎ ‎（1）求抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.‎ ‎10.‎ ‎11.2008淅江宁波)‎2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．‎ ‎（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．‎ ‎（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？‎ ‎（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？‎ ‎11. 解：（1）设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，‎ 由题意得， 2分 解得．‎ 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． 4分 ‎（2）（元），‎ 该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． 6分 ‎（3）设这批货物有车，‎ 由题意得， 8分 整理得，‎ 解得，（不合题意，舍去）， 9分 这批货物有8车． 10分 ‎①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形．‎ ‎②本题中所求边长或面积都用含的代数式表示．‎ ‎12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．‎ ‎（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：‎ 第一步 将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；‎ 第二步 将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．‎ 则的值是 ，的长分别是 ， ．‎ ‎（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．‎ ‎（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．‎ ‎（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．‎ A B C D B C A D E G H F F E ‎4开 ‎2开 ‎8开 ‎16开 图1‎ 图2‎ 图3‎ a ‎12. 解：（1）． 3分 ‎（2）相等，比值为． 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分）‎ ‎（3）设，‎ 在矩形中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． 6分 同理．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． 7分 ‎，‎ ‎， 8分 解得．‎ 即． 9分 ‎（4）， 10分 ‎． 12分 ‎13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．‎ ‎（1）求梯形ABCD的面积； ‎ ‎（2）求四边形MEFN面积的最大值． ‎ ‎（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，‎ 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． ‎ C D A B E F N M ‎13. 解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分 ‎∵ AB∥CD， ‎ ‎∴ DG＝CH，DG∥CH． ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，‎ ‎∴ △AGD≌△BHC（HL）． ‎ ‎∴ AG＝BH＝＝3． ………2分 ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ‎ ‎∴ DG＝4． ‎ ‎∴ ． ………………………………………………3分 C D A B E F N M G H ‎（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ‎ ‎∴ ME＝NF，ME∥NF． ‎ ‎∴ 四边形MEFN为矩形． ‎ ‎∵ AB∥CD，AD＝BC， ‎ ‎∴ ∠A＝∠B． ‎ ‎∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB（AAS）．‎ ‎∴ AE＝BF． ……………………4分 ‎ 设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分 ‎ ‎∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ‎ ‎∴ △MEA∽△DGA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ME＝． …………………………………………………………6分 ‎∴ ． ……………………8分 当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．……………9分 ‎（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． ‎ 若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． ‎ ‎ 即 7－2x．解，得 ． ……………………………………………11分 ‎∴ EF＝＜4． ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为 ‎14．（2008山东威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上． ‎ x O y A B ‎（1）求m，k的值； ‎ ‎（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， ‎ 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ‎ 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．　 ‎ 试求直线MN的函数表达式． ‎ x O y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ Q P ‎2‎ P1‎ Q1‎ ‎（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标 为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，‎ 则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为 ．‎ ‎ ‎ ‎14. 解：（1）由题意可知，．‎ 解，得 m＝3． ………………………………3分 ‎ x O y A B M1‎ N1‎ M2‎ N2‎ ‎∴ A（3，4），B（6，2）； ‎ ‎∴ k＝4×3=12． ……………………………4分 ‎ ‎（2）存在两种情况，如图： ‎ ‎①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）． ‎ ‎∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，‎ ‎∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，‎ 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．‎ 由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2）， ‎ ‎∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分 M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分 设直线M1N1的函数表达式为，把x＝3，y＝0代入，解得．‎ ‎∴ 直线M1N1的函数表达式为． ……………………………………8分 ‎②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）． ‎ ‎∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，‎ ‎∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2． ‎ ‎∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称． ‎ ‎∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分 设直线M2N2的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得，‎ ‎∴ 直线M2N2的函数表达式为． 　　 ‎ 所以，直线MN的函数表达式为或． ………………11分 ‎（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 ‎15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.‎ 如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.‎ (1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；‎ ‎(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.‎ A O B M D C 图12‎ y x ‎15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；‎ 则设抛物线的解析式为(a≠0) ‎ 又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 ‎ ‎ ∴y=x2-2x-3 3分 自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ 解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)‎ ‎ 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ‎ ∴，解之得：‎ ‎∴y=x2-2x-3 3分 自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，‎ ‎ 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=‎ ‎ 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4‎ ‎ ∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分 A O B M D C 解图12‎ y x E ‎∴切线CE的解析式为 8分 ‎(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) 9分 ‎ 由题意可知方程组只有一组解 ‎ 即有两个相等实根，∴k=-2 11分 ‎ ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 12分 ‎16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．‎ ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；‎ （1） 连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与 能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．‎ ‎16.‎ 解：（1），．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y 图3‎ O F A x B C y E Q P ‎（2）当时，过点作，交于，如图1，‎ 则，，‎ ‎，．‎ ‎（3）①能与平行．‎ 若，如图2，则，‎ 即，，而，‎ ‎．‎ ‎②不能与垂直．‎ 若，延长交于，如图3，‎ 则．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，而，‎ 不存在．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y E ‎17.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A O x y B F C 图16‎ ‎17. 解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．‎ ‎， 1分 点都在抛物线上，‎ ‎ ‎ 抛物线的解析式为 3分 顶点 4分 ‎（2）存在 5分 ‎ 7分 ‎ 9分 ‎（3）存在 10分 理由：‎ 解法一：‎ 延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．‎ ‎ 11分 A O x y B F C 图9‎ H B M 过点作于点．‎ 点在抛物线上，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ ‎，， 12分 设直线的解析式为 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分 解法二：‎ A O x y B F C 图10‎ H M G 过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．连接交于点，则点即为所求． 11分 过点作轴于点，则，．‎ ‎，‎ 同方法一可求得．‎ 在中，，，可求得，‎ 为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，‎ 垂直平分．‎ 即点为点关于的对称点． 12分 设直线的解析式为，由题意得 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 1‎ ‎18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．‎ ‎（1）判断点是否在轴上，并说明理由；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x O D E C F A B ‎18. 解：（1）点在轴上 1分 理由如下：‎ 连接，如图所示，在中，，，‎ ‎，‎ 由题意可知：‎ 点在轴上，点在轴上． 3分 ‎（2）过点作轴于点 ‎，‎ 在中，，‎ 点在第一象限，‎ 点的坐标为 5分 由（1）知，点在轴的正半轴上 点的坐标为 点的坐标为 6分 抛物线经过点，‎ 由题意，将，代入中得 ‎ 解得 所求抛物线表达式为： 9分 ‎（3）存在符合条件的点，点． 10分 理由如下：矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为．‎ 由题意可知为此平行四边形一边，‎ 又 边上的高为2 11分 依题意设点的坐标为 点在抛物线上 解得，，‎ ‎，‎ 以为顶点的四边形是平行四边形，‎ y x O D E C F A B M ‎，，‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，；‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，． 14分 ‎19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．‎ ‎（1）写出直线的解析式．‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎19. 解：（1）在中，令 x y A B C E M D P N O ‎，‎ ‎， 1分 又点在上 的解析式为 2分 ‎（2）由，得 4分 ‎，‎ ‎， 5分 ‎ 6分 ‎（3）过点作于点 ‎ 7分 ‎ 8分 由直线可得：‎ 在中，，，则 ‎， 9分 ‎ 10分 ‎ 11分 此抛物线开口向下，当时，‎ 当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． ‎ ‎20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.‎ ‎（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.‎ ‎20. 解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D. ‎ ‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎ ∵∣AB∣=,sin∠OAB=,‎ ‎ ∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB ‎ =×=3.‎ 又由勾股定理，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.‎ ‎∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（4，3）. ……3分 设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 ‎ y=ax2+bx(a≠0).‎ 由 ‎∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为 ……2分 ‎（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ‎ ①∵点C（4，-3）不是抛物线的顶点，‎ ‎∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .‎ 则直线CP1的函数表达式为y=-3.‎ 对于，令y=-3x=4或x=6.‎ ‎∴‎ 而点C（4，-3），∴P1(6,-3).‎ 在四边形P1AOC中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.‎ ‎∴点P1（6，-3）是符合要求的点. ……1分 ‎②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为 ‎ 将点C（4，-3）代入，得 ‎∴直线CO的函数表达式为 ‎ 于是可设直线AP2的函数表达式为 将点A（10，0）代入，得 ‎∴直线AP2的函数表达式为 由，即（x-10）（x+6）=0.‎ ‎∴‎ 而点A（10，0），∴P2（-6，12）.‎ 过点P2作P2E⊥x轴于点E，则∣P2E∣=12.‎ 在Rt△AP2E中，由勾股定理，得 而∣CO∣=∣OB∣=5.‎ ‎∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.‎ ‎∴点P2（-6，12）是符合要求的点. ……1分 ‎③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2‎ ‎ 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得 ‎∴直线CA的函数表达式为 ‎∴直线OP3的函数表达式为 由即x(x-14)=0.‎ ‎∴‎ 而点O(0,0),∴P3（14，7）.‎ 过点P3作P3E⊥x轴于点E，则∣P3E∣=7.‎ 在Rt△OP3E中，由勾股定理，得 而∣CA∣=∣AB∣=.‎ ‎∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.‎ ‎∴点P3（14，7）是符合要求的点. ……1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),‎ 使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. ……1分 ‎（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.‎ ‎ ①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.‎ 可设抛物线的函数表达式为（a＞0）.‎ 即 如图，过点M作MG⊥x轴于点G.‎ ‎∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(、N(0，-10ak2)、M ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ……2分 ‎②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，‎ ‎ 同理，可得 ……1分 综上所知，的值为3：20. ‎ ‎21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:‎ (1) 求m，n的值 (2) 若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由 ‎21.解：‎ ‎(1)m=-5,n=-3‎ ‎ (2)y=x+2‎ ‎(3)是定值.‎ 因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h，‎ 设△ABC AB边上的高为H,‎ 则利用面积法可得：‎ ‎（CM+CN）h=MN﹒H 又 H=‎ 化简可得 (CM+CN)﹒‎ 故 ‎ A C O B N D M L`‎ ‎22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式；‎ ‎(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；‎ ‎(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.‎ ‎（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）‎ ‎22. 解：（ 1）由已知得：解得 c=3,b=2‎ ‎∴抛物线的线的解析式为 ‎(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）‎ 所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)‎ 设对称轴与x轴的交点为F 所以四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=9‎ ‎（3）相似 如图，BD=‎ BE=‎ DE=‎ 所以, 即： ,所以是直角三角形 所以,且,‎ 所以.‎ ‎23.(天津市2008年)已知抛物线，‎ ‎（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．‎ ‎23. 解（Ⅰ）当，时，抛物线为，‎ 方程的两个根为，． ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分 ‎（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．‎ 对于方程，判别式≥0，有≤． 3分 ‎①当时，由方程，解得．‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分 ‎②当时， ‎ 时，，‎ 时，．‎ 由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，‎ 应有 即 解得．‎ 综上，或． 6分 ‎（Ⅲ）对于二次函数，‎ 由已知时，；时，，‎ 又，∴．‎ 于是．而，∴，即．‎ ‎∴． 7分 ‎∵关于的一元二次方程的判别式 ‎， ‎ x ‎∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分 又该抛物线的对称轴，‎ 由，，，‎ 得，‎ ‎∴．‎ 又由已知时，；时，，观察图象，‎ 可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分 ‎24.(2008年大庆市)‎ 如图①，四边形和都是正方形，它们的边长分别为（），且点在上（以下问题的结果均可用的代数式表示）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；‎ ‎（3）把正方形绕点旋转一周，在旋转的过程中，‎ 是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．‎ D C B A E F G G F E A B C D ‎①‎ ‎②‎ ‎.‎ ‎24. 解：（1）∵点在上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）连结， 由题意易知，‎ ‎∴.‎ ‎（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆.‎ 第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值；‎ 因为的边，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值.‎ 如图②所示时， ‎ 的最大值=‎ 的最小值=‎ 第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值；‎ 的最大值=.（如果答案为‎4a2或b2也可）‎ F1‎ O D C A B G F E F2‎ ‎25. （2008年上海市）已知，，（如图13）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．‎ ‎（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；‎ ‎（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．‎ B A D M E C 图13‎ B A D C 备用图 ‎25. 解：（1）取中点，联结，‎ 为的中点，，． （1分）‎ 又，． （1分）‎ ‎，得； （2分）（1分）‎ ‎（2）由已知得． （1分）‎ 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，‎ ‎，即． （2分）‎ 解得，即线段的长为； （1分）‎ ‎（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，‎ 又易证得． （1分）‎ 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．‎ ‎①当时，，．．‎ ‎，易得．得； （2分）‎ ‎②当时，，．‎ ‎．又，．‎ ‎，即，得．‎ 解得，（舍去）．即线段的长为2． （2分）‎ 综上所述，所求线段的长为8或2．‎ ‎26. （2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．‎ 如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点表示这所中学．点在点的北偏西的‎3km处，点在点的正西方向，点在点的南偏西的km处．‎ 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：‎ 方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；‎ 方案二：供水站建在乙村（线段某处），甲村要求管道建设到处，请你在图①中，画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；‎ 方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．‎ 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？‎ M A E C D B F 乙村 甲村 东 北 图①‎ M A E C D B F 乙村 甲村 图②‎ O O ‎26. 解：方案一：由题意可得：，‎ 点到甲村的最短距离为． （1分）‎ 点到乙村的最短距离为．‎ 将供水站建在点处时，管道沿铁路建设的长度之和最小．‎ 即最小值为． （3分）‎ 方案二：如图①，作点关于射线的对称点，则，连接交于点，则．‎ ‎，． （4分）‎ 在中，‎ ‎，，‎ ‎，两点重合．即过点． （6分）‎ 在线段上任取一点，连接，则．‎ ‎，‎ 把供水站建在乙村的点处，管道沿线路铺设的长度之和最小．‎ M A E C D B F 甲村 东 北 M A E C D B F ‎(第25题答案图①)‎ A G H ‎(第25题答案图②)‎ P O O N 即最小值为． （7分）‎ 方案三：作点关于射线的对称点，连接，则．‎ 作于点，交于点，交于点，‎ 为点到的最短距离，即．‎ 在中，，，‎ ‎．．‎ ‎，两点重合，即过点．‎ 在中，，． （10分）‎ 在线段上任取一点，过作于点，连接．‎ 显然．‎ 把供水站建在甲村的处，管道沿线路铺设的长度之和最小．‎ 即最小值为． （11分）‎ 综上，，供水站建在处，所需铺设的管道长度最短． （12分）‎ ‎27. （2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝‎4cm，BC＝‎3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为‎1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为‎2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC？‎ ‎（2）设△AQP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ 图②‎ A Q C P B 图①‎ A Q C P B ‎27. 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝‎4cm，BC＝‎3cm，∴AB＝‎‎5cm ‎∴AP＝（5－t）cm，‎ ‎∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，‎ ‎∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝‎ ‎∴当t为秒时，PQ∥BC ‎………………2分 ‎（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ‎∴AQ∶QD＝AB∶BC ‎∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝‎ ‎∴△APQ的面积：×AP×QD＝（5－t）×‎ ‎∴y与t之间的函数关系式为：y＝‎ ‎………………5分 ‎（3）由题意：‎ ‎ 当面积被平分时有：＝××3×4，解得：t＝‎ ‎ 当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1‎ ‎∴不存在这样t的值 ‎………………8分 ‎（4）过点P作PE⊥BC于E ‎ 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形 ‎∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝‎ ‎∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝‎ ‎∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形 此时，PE＝，BE＝，∴CE＝‎ ‎………………10分 在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝＝＝‎ ‎∴此菱形的边长为cm ………………12分 ‎28. （2008年江苏省南通市）已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C.‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.‎ ‎28. 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y＝－2.‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）‎ 从而k＝8×2＝16‎ ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上,‎ ‎∴mn＝k，B（－‎2m，－），C（－‎2m，－n），E（－m，－n）‎ ‎＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.‎ ‎∴＝――＝k.∴k＝4.‎ 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）‎ 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎，解得a＝b＝‎ ‎∴直线CM的解析式是y＝x＋.‎ ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是，‎ 同理 ‎∴p－q＝－＝－2‎ ‎29. （2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为‎31km．现要求：在一边长为‎30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：‎ ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？‎ ‎（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？‎ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为‎30km的正方形城区示意图，供解题时选用）‎ 图4‎ 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎29. 解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．‎ ‎ （3分）（图案设计不唯一）‎ ‎（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）‎ 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）‎ 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．‎ 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）‎ 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．‎ A D C B 图1‎ 图3‎ D C F B E A O B F D A E H O 图2‎ ‎ ‎