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- 2021-11-06 发布
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2019年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项,其中只有一个是正确的、请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑.
1.(3分)计算(﹣1)3的结果是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3
2.(3分)某几何体的俯视图如图所示,图中数字表示该位置上的小正方体的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)若一组数据为:10,11,9,8,10,9,11,9,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.9,9 B.10,9 C.9,9.5 D.11,10
4.(3分)若分式的值等于0,则x的值为( )
A.±1 B.0 C.﹣1 D.1
5.(3分)下列运算正确的是( )
A.a3+(﹣a)3=﹣a6 B.(a+b)2=a2+b2
C.2a2•a=2a3 D.(ab2)3=a3b5
6.(3分)若点P(m﹣1,5)与点Q(3,2﹣n)关于原点成中心对称,则m+n的值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
7.(3分)若α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,且+=﹣,则m等于( )
A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3
8.(3分)下列命题中假命题是( )
A.对顶角相等
B.直线y=x﹣5不经过第二象限
C.五边形的内角和为540°
D.因式分解x3+x2+x=x(x2+x)
9.(3分)如图,AD是⊙O的直径,=,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.(3分)将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠,折痕为AB,重叠部分为△ABC(图中阴影部分),若∠ACB=45°,则重叠部分的面积为( )
A.2cm2 B.2cm2 C.4cm2 D.4cm2
11.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,∠ACD=∠B,若AD=2BD,BC=6,则线段CD的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
12.(3分)如图,E是正方形ABCD的边AB的中点,点H与B关于CE对称,EH的延长线与AD交于点F,与CD的延长线交于点N,点P在AD的延长线上,作正方形DPMN,连接CP,记正方形ABCD,DPMN的面积分别为S1,S2,则下列结论错误的是( )
A.S1+S2=CP2 B.AF=2FD C.CD=4PD D.cos∠HCD=
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)有理数9的相反数是 .
14.(3分)将实数3.18×10﹣5用小数表示为 .
15.(3分)如图,直线a∥b,直线m与a,b均相交,若∠1=38°,则∠2= .
16.(3分)若随机掷一枚均匀的骰子,骰子的6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点,则点数不小于3的概率是 .
17.(3分)如图,在扇形OAB中,半径OA与OB的夹角为120°,点A与点B的距离为2,若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为 .
18.(3分)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,且b2﹣4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是 .
三、解答题(本大题共8小题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.)
19.(10分)(1)计算:﹣(﹣3)0+()﹣2﹣4sin30°;
(2)解不等式组:,并在数轴上表示该不等式组的解集.
20.(5分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
21.(6分)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线y=x+b经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.
(1)求k,b的值;
(2)求△ACE的面积.
22.(8分)为了增强学生的安全意识,某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试.阅卷后,学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计,发现考试成绩(x分)的最低分为51分,最高分为满分100分,并绘制了如下尚不完整的统计图表.请根据图表提供的信息,解答下列问题:
分数段(分)
频数(人)
频率
51≤x<61
a
0.1
61≤x<71
18
0.18
71≤x<81
b
n
81≤x<91
35
0.35
91≤x<101
12
0.12
合计
100
1
(1)填空:a= ,b= ,n= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励,按成绩从高分到低分设一、二、三等奖,并且一、二、三等奖的人数比例为1:3:6,请你估算全校获得二等奖的学生人数.
23.(8分)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
24.(8分)如图,在矩形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OE⊥OA交CD边于点E,对角线AC与半圆O的另一个交点为P,连接AE.
(1)求证:AE是半圆O的切线;
(2)若PA=2,PC=4,求AE的长.
25.(11分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,﹣5),对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;
(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.
26.(10分)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E.
(1)如图1,当∠CA′D=15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.
①写出旋转角α的度数;
②求证:EA′+EC=EF;
(2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,若AB=,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)
2019年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项,其中只有一个是正确的、请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑.
1.(3分)计算(﹣1)3的结果是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3
【考点】1E:有理数的乘方.菁优网版权所有
【分析】本题考查有理数的乘方运算.
【解答】解:(﹣1)3表示3个(﹣1)的乘积,
所以(﹣1)3=﹣1.
故选:A.
【点评】乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.
负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;﹣1的奇数次幂是﹣1,﹣1的偶数次幂是1.
2.(3分)某几何体的俯视图如图所示,图中数字表示该位置上的小正方体的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图;U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系,从正面看去,一共两列,左边有2竖列,右边是1竖列,结合四个选项选出答案.
【解答】解:从正面看去,一共两列,左边有2竖列,右边是1竖列.
故选:B.
【点评】
本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力.
3.(3分)若一组数据为:10,11,9,8,10,9,11,9,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.9,9 B.10,9 C.9,9.5 D.11,10
【考点】W4:中位数;W5:众数.菁优网版权所有
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得.
【解答】解:将数据重新排列为8,9,9,9,10,10,11,11,
∴这组数据的众数为9,中位数为=9.5,
故选:C.
【点评】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
4.(3分)若分式的值等于0,则x的值为( )
A.±1 B.0 C.﹣1 D.1
【考点】63:分式的值为零的条件.菁优网版权所有
【分析】化简分式==x﹣1=0即可求解;
【解答】解:==x﹣1=0,
∴x=1;
故选:D.
【点评】本题考查解分式方程;熟练掌握因式分解的方法,分式方程的解法是解题的关键.
5.(3分)下列运算正确的是( )
A.a3+(﹣a)3=﹣a6 B.(a+b)2=a2+b2
C.2a2•a=2a3 D.(ab2)3=a3b5
【考点】35:合并同类项;47:幂的乘方与积的乘方;49:单项式乘单项式;4C:完全平方公式.菁优网版权所有
【分析】利用完全平方公式,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则运算即可;
【解答】解:a3+(﹣a3)=0,A错误;
(a+b)2=a2+2ab+b2,B错误;
(ab2)3=a3b5,D错误;
故选:C.
【点评】本题考查整式的运算;熟练掌握完全平方公式,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键.
6.(3分)若点P(m﹣1,5)与点Q(3,2﹣n)关于原点成中心对称,则m+n的值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
【考点】R6:关于原点对称的点的坐标.菁优网版权所有
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得答案.
【解答】解:∵点P(m﹣1,5)与点Q(3,2﹣n)关于原点对称,
∴m﹣1=﹣3,2﹣n=﹣5,
解得:m=﹣2,n=7,
则m+n=﹣2+7=5.
故选:C.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
7.(3分)若α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,且+=﹣,则m等于( )
A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3
【考点】AB:根与系数的关系.菁优网版权所有
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β=2,αβ=m,再化简+=,代入即可求解;
【解答】解:α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,
∴α+β=2,αβ=m,
∵+===﹣,
∴m=﹣3;
故选:B.
【点评】本题考查一元二次方程;熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
8.(3分)下列命题中假命题是( )
A.对顶角相等
B.直线y=x﹣5不经过第二象限
C.五边形的内角和为540°
D.因式分解x3+x2+x=x(x2+x)
【考点】O1:命题与定理.菁优网版权所有[来源:学科网ZXXK]
【分析】由对顶角相等得出A是真命题;由直线y=x﹣5的图象得出B是真命题;由五边形的内角和为540°得出C是真命题;由因式分解的定义得出D是假命题;即可得出答案.
【解答】解:A.对顶角相等;真命题;
B.直线y=x﹣5不经过第二象限;真命题;
C.五边形的内角和为540°;真命题;
D.因式分解x3+x2+x=x(x2+x);假命题;
故选:D.
【点评】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义:正确的命题是真命题,错误的命题是假命题;属于基础题.
9.(3分)如图,AD是⊙O的直径,=,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【考点】M4:圆心角、弧、弦的关系;M5:圆周角定理.菁优网版权所有
【分析】根据圆周角定理即可求出答案.
【解答】解:∵=,∠AOB=40°,
∴∠COD=∠AOB=40°,
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°,
∴∠BOC=100°,
∴∠BPC=∠BOC=50°,
故选:B.
【点评】本题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
10.(3分)将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠,折痕为AB,重叠部分为△ABC(图中阴影部分),若∠ACB=45°,则重叠部分的面积为( )
A.2cm2 B.2cm2 C.4cm2 D.4cm2
【考点】PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】过B作BD⊥AC于D,则∠BDC=90°,依据勾股定理即可得出BC的长,进而得到重叠部分的面积.
【解答】解:如图,过B作BD⊥AC于D,则∠BDC=90°,
∵∠ACB=45°,
∴∠CBD=45°,
∴BD=CD=2cm,
∴Rt△BCD中,BC==2(cm),
∴重叠部分的面积为×2×2=2(cm),
故选:A.
【点评】本题主要考查了折叠问题,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
11.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,∠ACD=∠B,若AD=2BD,BC=6,则线段CD的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
【考点】S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】设AD=2x,BD=x,所以AB=3x,易证△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质可求出DE的长度,以及,再证明△ADE∽△ACD,利用相似三角形的性质即可求出得出=,从而可求出CD的长度.
【解答】解:设AD=2x,BD=x,
∴AB=3x,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴DE=4,=,
∵∠ACD=∠B,
∠ADE=∠B,
∴∠ADE=∠ACD,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACD,
∴=,
设AE=2y,AC=3y,
∴=,
∴AD=y,
∴=,
∴CD=2,
故选:C.
【点评】本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于中等题型.
12.(3分)如图,E是正方形ABCD的边AB的中点,点H与B关于CE对称,EH的延长线与AD交于点F,与CD的延长线交于点N,点P在AD的延长线上,作正方形DPMN,连接CP,记正方形ABCD,DPMN的面积分别为S1,S2,则下列结论错误的是( )
A.S1+S2=CP2 B.AF=2FD C.CD=4PD D.cos∠HCD=
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;LE:正方形的性质;P2:轴对称的性质;T7:解直角三角形.菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理可判断A;连接CF,作FG⊥EC,易证得△FGC是等腰直角三角形,设EG=x,则FG=2x,
利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG=2x,CF=2x,EC=3x,BC=x,FD=x,即可证得3FD=AD,可判断B;根据平行线分线段成比例定理可判断C;求得cos∠HCD可判断D.
【解答】解:∵正方形ABCD,DPMN的面积分别为S1,S2,
∴S1=CD2,S2=PD2,
在Rt△PCD中,PC2=CD2+PD2,
∴S1+S2=CP2,故A结论正确;
连接CF,
∵点H与B关于CE对称,
∴CH=CB,∠BCE=∠ECH,
在△BCE和△HCE中,
∴△BCE≌△HCE(SAS),
∴BE=EH,∠EHC=∠B=90°,∠BEC=∠HEC,
∴CH=CD,
在Rt△FCH和Rt△FCD中
∴Rt△FCH≌Rt△FCD(HL),
∴∠FCH=∠FCD,FH=FD,
∴∠ECH+∠ECH=∠BCD=45°,即∠ECF=45°,
作FG⊥EC于G,
∴△CFG是等腰直角三角形,
∴FG=CG,
∵∠BEC=∠HEC,∠B=∠FGE=90°,
∴△FEG∽△CEB,
∴==,
∴FG=2EG,
设EG=x,则FG=2x,
∴CG=2x,CF=2x,
∴EC=3x,
∵EB2+BC2=EC2,
∴BC2=9x2,
∴BC2=x2,
∴BC=x,
在Rt△FDC中,FD===x,
∴3FD=AD,
∴AF=2FD,故B结论正确;
∵AB∥CN,
∴=,
∵PD=ND,AE=CD,
∴CD=4PD,故C结论正确;
∵EG=x,FG=2x,
∴EF=x,
∵FH=FD=x,
∵BC=x,
∴AE=x,
作HQ⊥AD于Q,
∴HQ∥AB,
∴=,即=,
∴HQ=x,
∴CD﹣HQ=x﹣x=x,
∴cos∠HCD===,故结论D错误,
故选:D.
【点评】本题考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质,勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理,作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)有理数9的相反数是 ﹣9 .
【考点】14:相反数.菁优网版权所有
【分析】根据相反数的求法即可得解;
【解答】解:9的相反数是﹣9;
故答案为﹣9;
【点评】本题考查相反数;熟练掌握相反数的意义与求法是解题的关键.
14.(3分)将实数3.18×10﹣5用小数表示为 0.0000318 .
【考点】1J:科学记数法—表示较小的数;1K:科学记数法—原数.菁优网版权所有
【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n(1≤a<9)即可求解;
【解答】解:3.18×10﹣5=0.0000318;
故答案为0.0000318;
【点评】本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.
15.(3分)如图,直线a∥b,直线m与a,b均相交,若∠1=38°,则∠2= 142° .
【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】如图,利用平行线的性质得到∠2=∠3,利用互补求出∠3,从而得到∠2的度数.
【解答】解:如图,
∵a∥b,
∴∠2=∠3,
∵∠1+∠3=180°,
∴∠2=180°﹣38°=142°.
故答案为142°.
【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
16.(3分)若随机掷一枚均匀的骰子,骰子的6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点,则点数不小于3的概率是 .
【考点】X4:概率公式.菁优网版权所有
【分析】骰子六个面出现的机会相同,求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种,直接应用求概率的公式求解即可.
【解答】解:随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果,其中点数不小于3的有4种结果,
所以点数不小于3的概率为=,
故答案为:.
【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
17.(3分)如图,在扇形OAB中,半径OA与OB的夹角为120°,点A与点B的距离为2,若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为 .
【考点】MP:圆锥的计算.菁优网版权所有
【分析】利用弧长=圆锥的底面周长这一等量关系可求解.
【解答】解:连接AB,过O作OM⊥AB于M,
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠BAO=30°,AM=,
∴OA=2,
∵=2πr,
∴r=
故答案是:
【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式,建立准确的等量关系是解题的关键.
18.(3分)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,且b2﹣4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是 4 .
[来源:学§科§网]
【考点】H3:二次函数的性质;H6:二次函数图象与几何变换;H7:二次函数的最值;HA:抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
【分析】由(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|,∴①是正确的;从图象可以看出图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,②也是正确的;
根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的
x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;从图象上看,当x<﹣1或x>3,函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤时不正确的;逐个判断之后,可得出答案.
【解答】解:①∵(﹣1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|,∴①是正确的;
②从图象可知图象具有对称性,对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1,因此②也是正确的;
③根据函数的图象和性质,发现当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,因此③也是正确的;
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点,根据y=0,求出相应的x的值为x=﹣1或x=3,因此④也是正确的;
⑤从图象上看,当x<﹣1或x>3,函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4,因此⑤时不正确的;
故答案是:4
【点评】理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义,掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系;两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键;二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.
三、解答题(本大题共8小题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.)
19.(10分)(1)计算:﹣(﹣3)0+()﹣2﹣4sin30°;
(2)解不等式组:,并在数轴上表示该不等式组的解集.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;C4:在数轴上表示不等式的解集;CB:解一元一次不等式组;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
【分析】
(1)先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值,再计算乘法,最后计算加减可得;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:(1)原式=2﹣1+4﹣4×
=2﹣1+4﹣2
=3;
(2)解不等式6x﹣2>2(x﹣4),得:x>﹣,
解不等式﹣≤﹣,得:x≤1,
则不等式组的解集为﹣<x≤1,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
[来源:学.科.网]
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
20.(5分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
【考点】KB:全等三角形的判定;N3:作图—复杂作图.菁优网版权所有
【分析】先作一个∠D=∠A,然后在∠D的两边分别截取ED=BA,DF=AC,连接EF即可得到△DEF;
【解答】解:如图,
△DEF即为所求.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了全等三角形的判定.
21.(6分)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线y=x+b经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.
(1)求k,b的值;
(2)求△ACE的面积.
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;FA:待定系数法求一次函数解析式;G4:反比例函数的性质;G5:反比例函数系数k的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征;L8:菱形的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由菱形的性质可知B(6,0),C(9,4),点D(4,4)代入反比例函数y=,求出k;将点C(9,4)代入y=x+b,求出b;
(2)求出直线y=x﹣2与x轴和y轴的交点,即可求△AEC的面积;
【解答】解:(1)由已知可得AD=5,
∵菱形ABCD,
∴B(6,0),C(9,4),
∵点D(4,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=16,
将点C(9,4)代入y=x+b,
∴b=﹣2;
(2)E(0,﹣2),
直线y=x﹣2与x轴交点为(3,0),
∴S△AEC=2×(2+4)=6;
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质,菱形的性质;能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.
22.(8分)为了增强学生的安全意识,某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试.阅卷后,学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计,发现考试成绩(x分)的最低分为51分,最高分为满分100分,并绘制了如下尚不完整的统计图表.请根据图表提供的信息,解答下列问题:
分数段(分)
频数(人)
频率
51≤x<61
a
0.1
61≤x<71
18
0.18
71≤x<81
b
n
81≤x<91
35
0.35
91≤x<101
12
0.12
合计
100
1
(1)填空:a= 10 ,b= 25 ,n= 0.25 ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励,按成绩从高分到低分设一、二、三等奖,并且一、二、三等奖的人数比例为1:3:6,请你估算全校获得二等奖的学生人数.
【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;V8:频数(率)分布直方图;VB:扇形统计图.菁优网版权所有
【分析】(1)利用×这组的频率即可得到结论;
(2)根据(1)求出的数据补全频数分布直方图即可;
(3)利用全校2500名学生数×考试成绩为91≤x≤100考卷占抽取了的考卷数×获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论.
【解答】解:(1)a=100×0.1=10,b=100﹣10﹣18﹣35﹣12=25,n==0.25;
故答案为:10,25,0.25;
(2)补全频数分布直方图如图所示;
(3)2500××=90(人),
答:全校获得二等奖的学生人数90人.
【点评】本题考查的是频数分布直方图,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.直方图能清楚地表示出每个项目的数据,也考查了利用样本估计总体的思想.
23.(8分)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
(1)求这两年藏书的年均增长率;
(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?
【考点】AD:一元二次方程的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率;
(2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.
【解答】解:(1)设这两年藏书的年均增长率是x,
5(1+x)2=7.2,
解得,x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去),
答:这两年藏书的年均增长率是20%;
(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2﹣5)×20%=0.44(万册),
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:×100%=10%,
答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.
【点评】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.
24.(8分)如图,在矩形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OE⊥OA交CD边于点E,对角线AC与半圆O的另一个交点为P,连接AE.
(1)求证:AE是半圆O的切线;
(2)若PA=2,PC=4,求AE的长.
【考点】LB:矩形的性质;ME:切线的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)根据已知条件推出△ABO∽△OCE,根据相似三角形的性质得到∠BAO=∠OAE,过O作OF⊥AE于F,根据全等三角形的性质得到OF=OB,于是得到AE是半圆O的切线;
(2)根据切割线定理得到AF==2,求得AB=AF=2,根据勾股定理得到BC==2,AO==3,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵在矩形ABCD中,∠ABO=∠OCE=90°,
∵OE⊥OA,
∴∠AOE=90°,
∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°,
∴∠BAO=∠COE,
∴△ABO∽△OCE,
∴=,
∵OB=OC,
∴,
∵∠ABO=∠AOE=90°,
∴△ABO∽△AOE,
∴∠BAO=∠OAE,
过O作OF⊥AE于F,
∴∠ABO=∠AFO=90°,
在△ABO与△AFO中,,
∴△ABO≌△AFO(AAS),
∴OF=OB,
∴AE是半圆O的切线;
(2)解:∵AF是⊙O的切线,AC是⊙O的割线,
∴AF2=AP•AC,
∴AF==2,
∴AB=AF=2,
∵AC=6,
∴BC==2,
∴AO==3,
∵△ABO∽△AOE,
∴,
∴=,
∴AE=3.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
25.(11分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,﹣5),对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;
(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两点的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)函数表达式为:y=a(x=4)2+3,将点B坐标代入上式,即可求解;
(2)A(4,3)、B(0,﹣5),则点M(2,﹣1),设直线AB的表达式为:y=kx﹣5,将点A坐标代入上式,即可求解;
(3)分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.[来源:学§科§网]
【解答】解:(1)函数表达式为:y=a(x=4)2+3,
将点B坐标代入上式并解得:a=﹣,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x﹣5;
(2)A(4,3)、B(0,﹣5),则点M(2,﹣1),
设直线AB的表达式为:y=kx﹣5,
将点A坐标代入上式得:3=4k﹣5,解得:k=2,
故直线AB的表达式为:y=2x﹣5;
(3)设点Q(4,s)、点P(m,﹣m2+4m﹣5),
①当AM是平行四边形的一条边时,
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,[来源:Zxxk.Com]
同样点P(m,﹣m2+4m﹣5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4,s),
即:m﹣2=4,﹣m2+4m﹣5﹣4=s,
解得:m=6,s=﹣3,
故点P、Q的坐标分别为(6,1)、(4,﹣3);
②当AM是平行四边形的对角线时,
由中点定理得:4+2=m+4,3﹣1=﹣m2+4m﹣5+s,
解得:m=2,s=1,
故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1);
③当点Q在点A上方时,AQ=MP=2,
同理可得点Q的坐标为(4,5),
故点P、Q的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4,﹣3)或(4,1)或(4,5).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,避免遗漏.
26.(10分)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E.
(1)如图1,当∠CA′D=15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.
①写出旋转角α的度数;
②求证:EA′+EC=EF;
(2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,若AB=,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)
【考点】RB:几何变换综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题.
②连接A′F,设EF交CA′于点O.在EF时截取EM=EC,连接CM.首先证明△CFA′是等边三角形,再证明△FCM≌△A′CE(SAS),即可解决问题.
(2)如图2中,连接A′F,PB′,AB′,作B′M⊥AC交AC的延长线于M.证明△A′EF≌△A′EB′,推出EF=EB′,推出B′,F关于A′E对称,推出PF=PB′,推出PA+PF=PA+PB′≥AB′,求出AB′即可解决问题.
【解答】(1)①解:旋转角为105°.
理由:如图1中,
∵A′D⊥AC,
∴∠A′DC=90°,
∵∠CA′D=15°,
∴∠A′CD=75°,
∴∠ACA′=105°,
∴旋转角为105°.
②证明:连接A′F,设EF交CA′于点O.在EF时截取EM=EC,连接CM.
∵∠CED=∠A′CE+∠CA′E=45°+15°=60°,
∴∠CEA′=120°,
∵FE平分∠CEA′,
∴∠CEF=∠FEA′=60°,
∵∠FCO=180°﹣45°﹣75°=60°,
∴∠FCO=∠A′EO,∵∠FOC=∠A′OE,
∴△FOC∽△A′OE,
∴=,
∴=,
∵∠COE=∠FOA′,
∴△COE∽△FOA′,
∴∠FA′O=∠OEC=60°,
∴△A′OF是等边三角形,
∴CF=CA′=A′F,
∵EM=EC,∠CEM=60°,
∴△CEM是等边三角形,
∠ECM=60°,CM=CE,
∵∠FCA′=∠MCE=60°,
∴∠FCM=∠A′CE,
∴△FCM≌△A′CE(SAS),
∴FM=A′E,
∴CE+A′E=EM+FM=EF.
(2)解:如图2中,连接A′F,PB′,AB′,作B′M⊥AC交AC的延长线于M.
由②可知,∠EA′F=′EA′B′=75°,A′E=A′E,A′F=A′B′,
∴△A′EF≌△A′EB′,
∴EF=EB′,
∴B′,F关于A′E对称,
∴PF=PB′,
∴PA+PF=PA+PB′≥AB′,
在Rt△CB′M中,CB′=BC=AB=2,∠MCB′=30°,
∴B′M=CB′=1,CM=,
∴AB′===.
∴PA+PF的最小值为.
【点评】本题属于四边形综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2019/8/5 10:23:02;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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