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- 2021-11-06 发布
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第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
01 教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.
02 预习反馈
阅读教材P20~21“探究3”,完成下面的探究内容.
如图,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1 cm)
分析:封面的长宽之比是27∶21=9∶7,中央矩形的长宽之比也应是9∶7,若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm,由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=9∶7.
设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央的矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程(27-18x)(21-14x)=×27×21.
整理,得16x2-48x+9=0.
解方程,得x1=(不合题意,舍去),x2=.
3
上、下边衬的宽均为cm,左、右边衬的宽均为cm.
03 新课讲授
例 (教材P20探究3变式题)如图,学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道,使种植面积为504平方米,求小道的宽.
【思路点拨】 将图中纵向的两条路全部平移到图形的左边,横向的小路平移到图形的上方,则原图可以变换成如图所示的形状,种植面积和图中阴影矩形的面积相等.设小道的宽为x,则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来.根据矩形的面积公式就可以列出方程,解方程即可.
【解答】 设小道的宽为x米,依题意,得
(32-2x)(20-x)=504.
整理,得x2-36x+68=0,即(x-2)(x-34)=0.
解得x1=2,x2=34(舍).
答:小道的宽为2米.
【方法归纳】 这类问题,通常采用平移的方法,使剩余部分为一完整矩形.
【跟踪训练】 如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分),横、竖彩条的宽度比为3∶2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度.(精确到0.1 cm)
解:设横彩条的宽度为3x cm,则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意,得
(30-4x)(20-6x)=(1-)×20×30.
解得x1≈0.6,x2≈10.2(不合题意,舍去).
故3x≈1.8,2x≈1.2.
答:横彩条宽约为1.8 cm,竖彩条宽约为1.2 cm.
04 巩固训练
1.用长100 cm的金属丝围成一个矩形框子,框子的面积不可能是(D)
A.375 cm2 B.500 cm2 C.625 cm2 D.700 cm2
3
2.(21.3第3课时习题)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m,则可列方程为(C)
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
3.如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m2,则AB的长度是1m.(可利用的围墙长度超过6 m)
4.如图,一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四个角各截去一个正方形,制成高是5 cm,容积是500 cm3的无盖长方体容器,求这块铁皮的长和宽.
解:设这块铁皮的宽是x cm.根据题意,得
5(x-10)(2x-10)=500,
解得x1=15,x2=0(舍去).
所以x=15,2x=30,
答:这块铁皮的长是30 cm,宽是15 cm.
05 课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时,通常要先画出图形,利用图形的面积找相等关系列方程.
3
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