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  • 2021-11-06 发布

2009年四川省绵阳市中考数学试题及答案

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绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如果向东走‎80 m记为‎80 m,那么向西走‎60 m记为 A.-‎60 m B.︱-60︱m C.-(-60)m D.m ‎2.点P(-2,1)关于原点对称的点的坐标为 A.(2,1) B.(1,-2) C.(2,-1) D.(-2,1)‎ ‎3.右图中的正五棱柱的左视图应为 A. B. C. D.‎ ‎4.2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延,我们应通过注意个人卫生加强防范.研究表明,甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为‎0.00000156 m,用科学记数法表示这个数是 A.0.156×10-5 B.0.156×‎105 C.1.56×10-6 D.1.56×106 ‎ O M N P ‎5.一个钢管放在V形架内,右图是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为‎25 cm,∠MPN = 60°,则OP =‎ A.‎50 cm B.‎25cm C.cm D.‎50cm ‎6.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示:‎ 成绩/m ‎1.50‎ ‎1.61‎ ‎1.66‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.78‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数是 A.1.66 B.‎1.67 C.1.68 D.1.75‎ ‎7.如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60° 的菱形,剪口与折痕所成的角a 的度数应为 A.15°或30° B.30°或‎45° ‎C.45°或60° D.30°或60° y A B C D O x a " ‎8.小明在解关于x、y的二元一次方程组 时得到了正确结果 后来发现“Ä”“ Å”处被墨水污损了,请你帮他找出Ä、Å 处的值分别是 A.Ä = 1,Å = 1 B.Ä = 2,Å = 1‎ C.Ä = 1,Å = 2 D.Ä = 2,Å = 2‎ ‎9.已知是正整数,则实数n的最大值为 A.12 B.‎11 C.8 D.3‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的中心在原点,顶点A、C在反比例函数的图象上,AB∥y轴,AD∥x轴,若ABCD的面积为8,则k =‎ A.-2 B.‎2 ‎‎ ‎‎ C.-4 D.4‎ ‎11.如图,四边形ABCD是矩形,AB:AD = 4:3,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,则DE:AC =‎ A.1:3 B.3:‎8 C.8:27 D.7:25‎ ‎12.如图,△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D.‎ O2‎ O1‎ A P B C A B C D E 二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分.将答案直接填写在题中横线上.‎ ‎13.计算:(‎2a2)2 = .‎ ‎14.如图,直线a∥b,l与a、b交于E、F点,PF平分∠EFD交a于P点,若∠1 = 70°,则∠2 = .‎ ‎15.如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格,请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形(其中C、D为所在小正方形边的中点).‎ ‎2‎ ‎1‎ F E D b l P a D C A E B A B E C D ‎16.小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度.如图,他在同一水平线上选择了一点A,使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上.小明测得A处的仰角为∠A = 30°.已知楼房CD ‎21米‎,且与树BE之间的距离BC = ‎30米,则此树的高度约为 米.(结果保留两个有效数字,≈1.732)‎ ‎17.一天晚上,小伟帮妈妈清洗茶杯,三个茶杯只有花色不同,其中一个无盖(如图),突然停电了,小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起,则花色完全搭配正确的概率是 .‎ ‎18.将正整数依次按下表规律排成四列,则根据表中的排列规律,数2009应排的位置是第 行第 列.‎ 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 第2行 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ 第3行 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 第4行 ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎……‎ 三、解答题:本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)‎ ‎(1)计算:(-1)2009 + 3(tan 60°)-1-︱1-︱+(3.14-p)0.‎ ‎(2)先化简,再选择一个合适的x值代入求值:.‎ ‎20.新民场镇地处城郊,镇政府为进一步改善场镇人居环境,准备在街道两边植种行道树,行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况.为此,新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民,并将结果绘制成如下扇形统计图,其中∠AOB = 126°.‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ ‎120‎ ‎80‎ ‎40‎ 人数 香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种 其它 ‎10%‎ 柳 树 梧桐 ‎10%‎ A B 香樟 ‎40%‎ O 小叶榕 ‎280人 ‎ ‎ 请根据扇形统计图,完成下列问题:‎ ‎(1)本次调查了多少名居民?其中喜爱柳树的居民有多少人?‎ ‎(2)请将扇形统计图改成条形统计图(在图中完成);‎ ‎(3)请根据此项调查,对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议.‎ ‎21.已知关于x的一元二次方程x2 + 2(k-1)x + k2-1 = 0有两个不相等的实数根.‎ ‎(1)求实数k的取值范围;‎ ‎(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.‎ ‎22.李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔,目前,他所养的这两种种兔数量仍然相同,且A种种兔的数量比买入时增加了20只,B种种兔比买入时的2倍少10只.‎ ‎(1)求一年前李大爷共买了多少只种兔?‎ ‎(2)李大爷目前准备卖出30只种兔,已知卖A种种兔可获利15元/只,卖B种种兔可获利6元/只.如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔,且总共获利不低于280元,那么他有哪几种卖兔方案?哪种方案获利最大?请求出最大获利.‎ ‎23.已知抛物线y = ax2-x + c经过点Q(-2,),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、B两点,如图.‎ x A Q O B C P y ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求A、B两点的坐标;‎ ‎(3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.‎ Q P C B A O ‎24.如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60°,AB与PC交于Q点.‎ ‎(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)若∠ABP = 15°,△ABC的面积为4,求PC的长.‎ ‎25.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边OB上的动点(不包括端点),作∠AEF = 90°,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n).‎ ‎(1)若m = n时,如图,求证:EF = AE;‎ ‎(2)若m≠n时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF = AE?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)若m = tn(t>1)时,试探究点E在边OB的何处时,使得EF =(t + 1)AE成立?并求出点E的坐标.‎ x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案 一、选择题 ACBC ACDB BADD 二、填空题 ‎13.‎4a4 14.35° 15.如图所示 16.3.7 17. 18.670,3‎ 三、解答题 ‎19.(1)原式=-1 + 3()-1-(-1)+ 1 =-1 + 3÷-+ 1 + 1 = 1.‎ ‎(2) 原式 ‎====.‎ A B E C D 取x = 0,则原式=-1.‎ ‎(注:x可取除±1,±外的任意实数,计算正确均可得分)‎ ‎20.(1) ∵ ×100% = 35%,‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ ‎120‎ ‎80‎ ‎40‎ 人数 香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种 ‎∴ 280÷35% = 800,800×(1-40%-35%-10%-10%)= 40,即本次调查了800名居民,其中喜爱柳树的居民有40人.‎ ‎(2)如图.‎ ‎(3)建议多植种香樟树.(注:答案不惟一)‎ ‎21.(1)△= [ 2(k—1)] 2-4(k2-1)‎ ‎= 4k2-8k + 4-4k2 + 4 =-8k + 8.‎ ‎∵ 原方程有两个不相等的实数根,‎ ‎∴ -8k + 8>0,解得 k<1,即实数k的取值范围是 k<1.‎ ‎(2)假设0是方程的一个根,则代入得 02 + 2(k-1)· 0 + k2-1 = 0,‎ 解得 k =-1 或 k = 1(舍去).‎ 即当 k =-1时,0就为原方程的一个根.‎ 此时,原方程变为 x2-4x = 0,解得 x1 = 0,x2 = 4,所以它的另一个根是4.‎ ‎22.(1)设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只,则由题意可列方程为 ‎ x + 20 = 2x-10,解得 x = 30. 即一年前李大爷共买了60只种兔.‎ ‎(2)设李大爷卖A种兔x只,则卖B种兔30-x只,则由题意得 ‎ x<30-x, ①‎ ‎ 15x +(30-x)×6≥280, ②‎ 解 ①,得 x<15; 解 ②,得x≥, 即 ≤x<15.‎ ‎∵ x是整数,≈11.11, ∴ x = 12,13,14.‎ 即李大爷有三种卖兔方案:‎ 方案一 卖A种种兔12只,B种种兔18只;可获利 12×15 + 18×6 = 288(元);‎ 方案二 卖A种种兔13只,B种种兔17只;可获利 13×15 + 17×6 = 297(元);‎ 方案三 卖A种种兔14只,B种种兔16只;可获利 14×15 + 16×6 = 306(元).‎ 显然,方案三获利最大,最大利润为306元.‎ ‎23.(1)由题意得 解得 ,.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为.‎ ‎(2)令 y = 0,即 ,整理得 x2 + 2x-3 = 0.‎ 变形为 (x + 3)(x-1)= 0, 解得 x1 =-3,x2 = 1.‎ ‎∴ A(-3,0),B(1,0).‎ ‎(3)将 x =-l代入 中,得 y = 2,即P(-1,2).‎ 设直线PB的解析式为 y = kx + b,于是 2 =-k + b,且 0 = k + b.解得 k =-1,b = 1.‎ 即直线PB的解析式为 y =-x + 1.‎ 令 x = 0,则 y = 1, 即 OC = 1.‎ 又 ∵ AB = 1-(-3)= 4,‎ F E Q P C B A O ‎∴ S△ABC =×AB×OC =×4×1 = 2,即△ABC的面积为2.‎ ‎24. (1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°,‎ ‎∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°,‎ ‎∴ △ABC是等边三角形.‎ ‎(2)如图,过B作BD∥PA交PC于D,则 ∠BDP =∠APC = 60°.‎ H R G M N 又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, .‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD. ∴ .‎ ‎(3)设正△ABC的高为h,则 h = BC· sin 60°.‎ ‎∵ BC · h = 4, 即BC · BC· sin 60° = 4,解得BC = 4.‎ 连接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°,从而得∠OCE = 30°,‎ ‎∴ .‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°.‎ ‎∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°.‎ 如图,作等腰直角△RMN,在直角边RM上取点G,使∠GNM = 15°,则∠RNG = 30°,作GH⊥RN,垂足为H.设GH = 1,则 cos∠GNM = cos15° = MN.‎ ‎∵ 在Rt△GHN中,NH = GN · cos30°,GH = GN · sin30°.‎ 于是 RH = GH,MN = RN · sin45°,∴ cos15° =.‎ 在图中,作OF⊥PC于E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =.‎ ‎25.(1)由题意得m = n时,AOBC是正方形.‎ 如图,在OA上取点C,使AG = BE,则OG = OE.‎ ‎∴ ∠EGO = 45°,从而 ∠AGE = 135°.‎ 由BF是外角平分线,得 ∠EBF = 135°,∴ ∠AGE =∠EBF.‎ ‎∵ ∠AEF = 90°,∴ ∠FEB +∠AEO = 90°.‎ 在Rt△AEO中,∵ ∠EAO +∠AEO = 90°,‎ ‎∴ ∠EAO =∠FEB,∴ △AGE≌△EBF,EF = AE.‎ ‎(2)假设存在点E,使EF = AE.设E(a,0).作FH⊥x轴于H,如图.‎ 由(1)知∠EAO =∠FEH,于是Rt△AOE≌Rt△EHF.‎ ‎∴ FH = OE,EH = OA.‎ ‎∴ 点F的纵坐标为a,即 FH = a.‎ 由BF是外角平分线,知∠FBH = 45°,∴ BH = FH = a.‎ 又由C(m,n)有OB = m,∴ BE = OB-OE = m-a,‎ x O E B A y C F G ‎∴ EH = m-a + a = m.‎ 又EH = OA = n, ∴ m = n,这与已知m≠n相矛盾.‎ 因此在边OB上不存在点E,使EF = AE成立.‎ ‎(3)如(2)图,设E(a,0),FH = h,则EH = OH-OE = h + m-a.‎ 由 ∠AEF = 90°,∠EAO =∠FEH,得 △AOE∽△EHF,‎ ‎∴ EF =(t + 1)AE等价于 FH =(t + 1)OE,即h =(t + 1)a,‎ 且,即,‎ 整理得 nh = ah + am-a2,∴ .‎ H x O E B A y C F 把h =(t + 1)a 代入得 ,‎ 即 m-a =(t + 1)(n-a).‎ 而 m = tn,因此 tn-a =(t + 1)(n-a).‎ 化简得 ta = n,解得.‎ ‎∵ t>1, ∴ <n<m,故E在OB边上.‎ ‎∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件,此时E(,0).‎