2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24 3页

‎24.1.4 圆周角 ‎※教学目标※‎ ‎【知识与技能】‎ 理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并会通过它进行证明和计算.‎ ‎【过程与方法】‎ 经历圆周角定理的发现、探究与证明，使学生感悟分类讨论的数学思想，体会数学知识的一般形成过程.‎ ‎【情感态度】‎ ‎ 通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用．‎ ‎【教学重点】‎ ‎ 圆周角定理的理解与应用．‎ ‎【教学难点】‎ 运用分类讨论思想证明圆周角的定理．‎ ‎※教学过程※‎ 一、情境导入 ‎（课件展示海洋馆图片）在海洋馆里，人们可以通过圆弧形玻璃窗观看其中的海洋动物.‎ ‎ ‎ 问题1 如图，为圆弧形玻璃窗，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻 璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？‎ 问题2 如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)‎ 和同学乙的视角相同吗？‎ ‎（相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB）‎ 二、 探索新知 ‎ 1.圆周角的定义 ‎ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.‎ ‎ 探究1 判别下列各图形中的角是不是圆周角.‎ 归纳总结 圆周角必须具备的两个条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都要圆相交.‎ ‎ 2.圆周角定理 ‎ 探究2 分别量一下图中AB所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周 3‎ 上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？再分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？‎ ‎ 归纳总结 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎ 动手操作 学生先动手画圆周角，将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，再相互交流，比较探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台展示交流成果，教师再利电脑动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳圆心与圆周角具有的三种不同的位置关系.‎ ‎ （1）圆心在圆周角的一边上.‎ ‎ （2）圆心在圆周角的内角.‎ ‎（3）圆心在圆周角的外部.‎ 分析第（1）种情况：‎ 圆心在BAC的一条边上.‎ ‎．‎ 归纳总结 ‎ 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ 注意 （1）定理运用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”；（2）若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弧所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等，而是互补.‎ 3. 圆周角定理的推论 议一议 （1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度？‎ （2） 如果一条弧所对的圆周角是直角，那么这条弧所对的圆心角是多少度？‎ 归纳总结 ‎ 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.‎ 4. 圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.‎ 探究 圆内接四边形的角之间有何关系？‎ 如图，连接OB，OD.∵∠A所对的弧为,∠C所对的弧为，‎ 又和所对的圆心角的和是周角，∴∠A+∠C==180°.同理 ‎∠B+∠D=180°.‎ ‎ 由此可知圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.‎ 三、 掌握新知 例1 如图，圆O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交圆O于D.求BC，AD，BD的长.‎ ‎ 分析：根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．‎ 3‎ 解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中，，AB=10cm，AC=6cm，‎ ‎∴. ∴BC==8（cm）.又CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，∴.∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，，∴.∴AD=BD==cm.‎ ‎ 例2 如图，AB为圆O的直径，点C，D在圆O上，∠AOD=30°，求∠BCD的度数.‎ ‎ 分析：先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，再根据三角形内角和定理计算出∠A=75°，然后根据圆的内接四边形的性质求∠BCD的度数．‎ 解：∵OD=OA，∴∠A=∠ADO．∵∠AOD=30°，‎ ‎∴∠A=（180°-30°）=75°．∵∠A+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠BCD=180°-75°=105°．‎ 三、 巩固练习 1. 如图，∠A=50°，∠AOC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 ‎（ ）‎ A.70° B.110° C.90° D.120°. ‎ ‎ 2.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径是多少？‎ 答案：1.B ‎ 2. 连接OA，OB.‎ ‎∵∠C=30°，∴∠AOB=60°.‎ ‎ 又OA=OB ，∴△AOB是等边三角形.‎ ‎∴OA=OB=AB=2，即半径为2.‎ 五、归纳小结 ‎ 本节课所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？‎ ‎※布置作业※‎ ‎ 从教材习题24.1中选取．‎ ‎※教学反思※‎ 本节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念，在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求 学生会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.‎ 3‎