2013年浙江省杭州市中考数学试题（含答案） 14页

‎2013年浙江省杭州市中考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．‎ ‎1．（2013杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ 考点：轴对称图形．‎ 分析：根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．‎ 解答：解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B．不是轴对称图形，故本选项错误；‎ C．不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D．是轴对称图形，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．　‎ ‎2．（2013杭州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　 A．m3+m2=m5 B．m3m2=m6 C．（1﹣m）（1+m）=m2﹣1 D．‎ 考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；分式的基本性质．‎ 分析：根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断．‎ 解答：解：A．不是同类项，不能合并，故选项错误；‎ B．m3m2=m5，故选项错误；‎ C．（1﹣m）（1+m）=1﹣m2，选项错误；‎ D．正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方差公式的结构是关键．　‎ ‎3．（2013杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）‎ ‎　 A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C 考点：平行四边形的性质．‎ 分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠A+∠B=180°．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．　‎ ‎4．（2013杭州）若a+b=3，a﹣b=7，则ab=（　　）‎ ‎　 A．﹣10 B．﹣40 C．10 D．40‎ 考点：完全平方公式．‎ 专题：计算题．‎ 分析：联立已知两方程求出a与b的值，即可求出ab的值．‎ 解答：解：联立得：，‎ 解得：a=5，b=﹣2，‎ 则ab=﹣10．‎ 故选A．‎ 点评：此题考查了解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键．　‎ ‎5．（2013杭州）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（　　）‎ ‎　 A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同 ‎　 B．2012年杭州市的GDP比2008年翻一番 ‎　 C．2010年杭州市的GDP未达到5500亿元 ‎　 D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长 考点：条形统计图．‎ 分析：根据条形统计图可以算2010年～2011年GDP增长率，2011年～2012年GDP增长率，进行比较可得A的正误；根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP，可判断出B的正误；根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP，可判断出C的正误，根据条形统计图可直接得到2008～2012年杭州市的GDP逐年增长．‎ 解答：解：A．2010年～2011年GDP增长率约为：=，2011年～2012年GDP增长率约为=，增长率不同，故此选项错误；‎ B．2012年杭州市的GDP约为7900，2008年GDP约为4900，故此选项错误；‎ C．2010年杭州市的GDP超过到5500亿元，故此选项错误；‎ D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长，故此选项正确，‎ 故选：D．‎ 点评：本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．　‎ ‎6．（2013杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（　　）‎ ‎　 A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．‎ 考点：分式的乘除法．‎ 专题：计算题．‎ 分析：分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．‎ 解答：解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，‎ 乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），‎ 则k====1+，‎ ‎∵a＞b＞0，‎ ‎∴0＜＜1，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．　‎ ‎7．（2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）‎ ‎　 A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 ‎　 B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点　 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点　 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 考点：直线与圆的位置关系；命题与定理．‎ 分析：根据直线与圆的位置关系进行判断即可．‎ 解答：解：A．圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；‎ B．当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；‎ C．两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；‎ D．两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．　‎ ‎8．（2013杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ 考点：由三视图判断几何体．‎ 分析：由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2．根据正六棱柱的体积=底面积×高即可求解．‎ 解答：解：由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，‎ 所以该几何体的体积=6××62×2=108．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．　‎ ‎9．（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ 考点：解直角三角形．‎ 专题：计算题．‎ 分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．‎ 解答：解：根据题意画出图形，如图所示，‎ 在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，‎ ‎∴BC=ABsinA=2.4，‎ 根据勾股定理得：AC==3.2，‎ ‎∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，‎ ‎∴CD==．‎ 故选B 点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．　‎ ‎10．（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=‎ ‎①如果，那么0＜a＜1；‎ ‎②如果，那么a＞1；‎ ‎③如果，那么﹣1＜a＜0；‎ ‎④如果时，那么a＜﹣1．‎ 则（　　）‎ ‎　 A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③‎ 考点：二次函数与不等式（组）；命题与定理．‎ 分析：先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．‎ 解答：解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，‎ 所以，交点坐标为（1，1），‎ 根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），‎ ‎①如果，那么0＜a＜1正确；‎ ‎②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；‎ ‎③如果，那么a值不存在，故本小题错误；‎ ‎④如果时，那么a＜﹣1正确．‎ 综上所述，正确的命题是①④．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．　‎ 二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 ‎11．（2013杭州）32×3.14+3×（﹣9.42）= ．‎ 考点：有理数的混合运算．‎ 分析：根据32×3.14+3×（﹣9.42）=3×9.42﹣3×（﹣9.42）即可求解．‎ 解答：解：原式=3×9.42﹣3×（﹣9.42）=0．‎ 故答案是：0．‎ 点评：本题考查了有理数的混合运算，理解运算顺序是关键．　‎ ‎12．（2013杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 ．‎ 考点：实数大小比较．‎ 专题：计算题．‎ 分析：先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．‎ 解答：解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，‎ 所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．‎ 故答案为：﹣＜＜．‎ 点评：本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．　‎ ‎13．（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）‎ 考点：特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形．‎ 专题：探究型．‎ 分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．‎ 解答：解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，‎ ‎∴sinA==，故①错误；‎ ‎∴∠A=30°，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴cosB=cos60°=，故②正确；‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴tanA=tan30°=，故③正确；‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴tanB=tan60°=，故④正确．‎ 故答案为：③③④．‎ 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．　‎ ‎14．（2013杭州）杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则= 分杭州市某4所高中最低录取分数线统计表 考点：算术平均数．‎ 分析：先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线，再进行相减即可．‎ 解答：解：2011年的平均最低录取分数线=（438+435+435+435）÷4=435.75（分），‎ ‎2012年的平均最低录取分数线=（442+442+439+439）÷4=440.5（分），‎ 则=440.5﹣435.75=4.75（分）；‎ 故答案为：4.75．‎ 点评：此题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题，比较简单．　‎ ‎15．（2013杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）‎ 考点：圆锥的计算；点、线、面、体；圆柱的计算．‎ 分析：梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差．‎ 解答：解：AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3=12π；‎ AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2=8π，‎ 则|S1﹣S2|=4π．‎ 故答案是：4π．‎ 点评：本题考查了图形的旋转，理解梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键．　‎ ‎16．（2013杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）‎ 考点：切线的性质；等边三角形的性质．‎ 专题：分类讨论．‎ 分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；‎ 解答：解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，‎ ‎∵QN∥AC，AM=BM．‎ ‎∴N为BC中点，‎ ‎∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，‎ 分为三种情况：①如图1，‎ 当⊙P切AB于M′时，连接PM′，‎ 则PM′=cm，∠PM′M=90°，‎ ‎∵∠PMM′=∠BMN=60°，‎ ‎∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，‎ ‎∴QP=4cm﹣2cm=2cm，‎ 即t=2；‎ ‎②如图2，‎ 当⊙P于AC切于A点时，连接PA，‎ 则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，‎ ‎∴PM=1cm，‎ ‎∴QP=4cm﹣1cm=3cm，‎ 即t=3，‎ 当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，‎ 则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，‎ ‎∴P′N=1cm，‎ ‎∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，‎ 即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；‎ ‎③如图1，‎ 当⊙P切BC于N′时，连接PN′3‎ 则PN′=cm，∠PMN′N=90°，‎ ‎∵∠PNN′=∠BNM=60°，‎ ‎∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，‎ ‎∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，‎ 即t=8；‎ 故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．‎ 点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．　‎ 三．解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．‎ ‎17．（2013杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．‎ 考点：作图—复杂作图．‎ 分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．‎ 解答：解：如图所示：发现：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．‎ 点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．　‎ ‎18．（2013杭州）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．‎ 考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．‎ 分析：通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．‎ 解答：解：由求得 ‎，‎ 则2＜x＜4．‎ 解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，‎ ‎∵2＜＜3，‎ ‎∴3＜1+＜4，符合题意 ‎∴x=1+．‎ 点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．　‎ ‎19．（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．‎ 求证：△GAB是等腰三角形．‎ 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．‎ 专题：证明题．‎ 分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．‎ 解答：证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，‎ ‎∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，‎ 在△ADE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BCF（SAS），‎ ‎∴∠DAE=∠CBF，‎ ‎∴∠GAB=∠GBA，‎ ‎∴GA=GB，‎ 即△GAB为等腰三角形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．　‎ ‎20．（2013杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．‎ 考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．‎ 专题：分类讨论．‎ 分析：根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．‎ 解答：解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．‎ 分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，‎ ‎∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，‎ ‎∴抛物线开口向下，则a＜0，‎ ‎∵AB=16，且A（﹣6，0），‎ ‎∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，‎ ‎∴对称轴直线x==2，‎ 要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，‎ ‎∴x＞2；‎ ‎（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，‎ ‎∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，‎ ‎∴抛物线开口向上，则a＞0，‎ ‎∵AB=16，且A（6，0），‎ ‎∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，‎ ‎∴对称轴直线x==﹣2，‎ 要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，‎ ‎∴x＜﹣2．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论．　‎ ‎21．（2013杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片 ‎（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；‎ ‎（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；‎ ‎（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．‎ 考点：游戏公平性．‎ 分析：（1）由在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），直接利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）由无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．可知此游戏不公平；‎ ‎（3）可设计为：先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．‎ 解答：解：（1）∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），‎ ‎∴是20倍数或者能整除20的数有7个，‎ 则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为：；‎ ‎（2）不公平，‎ ‎∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，‎ 而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．‎ ‎∴不公平；‎ ‎（3）先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．‎ ‎（为保证每个数字每次被抽到的概率都是）‎ 点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．　‎ ‎22．（2013杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；‎ ‎②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．‎ ‎（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．‎ 考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；‎ ‎②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．‎ ‎（2）从数学思想上考虑解答．‎ 解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，‎ ‎∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，‎ 根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，‎ 又∵∠EDM=84°，‎ ‎∴∠A+3∠A=84°，‎ 解得，∠A=21°；‎ ‎②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，‎ ‎∴点B（3，），‎ ‎∵BC=3，‎ ‎∴点C（3，+2），‎ ‎∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，‎ ‎∴A（1，+2），‎ ‎∵点A也在反比例函数图象上，‎ ‎∴+2=k，‎ 解得，k=3；‎ ‎（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）‎ 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．　‎ ‎23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．‎ ‎（1）求证：∠APE=∠CFP；‎ ‎（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．‎ ‎①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；‎ ‎②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．‎ 考点：四边形综合题．‎ 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；‎ ‎（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．‎ ‎①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；‎ ‎②注意中心对称、轴对称的几何性质．‎ 解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，‎ ‎∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；‎ 而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，‎ 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，‎ ‎∴∠APE=∠CFP．‎ ‎（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，‎ ‎∴△APE∽△CPF，则．‎ 而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，‎ 又∵P为对称中心，则AP=CP=，‎ ‎∴AE===．‎ 如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，‎ P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．‎ S△APE==×2×=，‎ ‎∵阴影部分关于直线AC轴对称，‎ ‎∴△APE与△APN也关于直线AC对称，‎ 则S四边形AEPN=2S△APE=；‎ 而S2=2S△PFC=2×=2x，‎ ‎∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x，‎ ‎∴y===+﹣1．‎ ‎∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，‎ ‎∴2≤x≤4．‎ 令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a==，即x=2时，y取得最大值．‎ 而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．‎ ‎∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．‎ ‎②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，‎ 而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，‎ 则EB=BF，即AE=FC，‎ ‎∴=x，解得x=，‎ 代入x=，得y=﹣2．‎ 点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．　‎