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- 2021-11-06 发布
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2020 年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷
一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分.1~10 小题各 3 分,11~16 小题各 2 分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,在平面内作已知直线 m 的垂线,可作垂线的条数有( )
A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一平面内,过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线;但画已知直线的垂线,可以画无
数条.
【详解】在同一平面内,画已知直线的垂线,可以画无数条;
故选:D.
【点睛】此题主要考查在同一平面内,垂直于平行的特征,解题的关键是熟知垂直的定义.
2.墨迹覆盖了等式“ 3x 2x x ( 0x )”中的运算符号,则覆盖的是( )
A. + B. - C. × D. ÷
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案.
【详解】∵ 3x 2x x ( 0x ),
3 2x x x ,
∴覆盖的是:÷.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
3.对于① 3 (1 3 )x xy x y ,② 2( 3)( 1) 2 3x x x x ,从左到右的变形,表述正确的是( )
A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义进行判断即可;
【详解】①左边多项式,右边整式乘积形式,属于因式分解;
②左边整式乘积,右边多项式,属于整式乘法;
故答案选 C.
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解,准确理解因式分解的定义是解题的关键.
4.如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是( )
A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】D
【解析】
【分析】
分别画出所给两个几何体的三视图,然后比较即可得答案.
【详解】第一个几何体的三视图如图所示:
第二个几何体的三视图如图所示:
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同,
故选 D.
【点睛】本题考查了几何体的三视图,正确得出各几何体的三视图是解题的关键.
5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是 a 元/千克,发现这四个单价的中位
数恰好也是众数,则 a ( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据统计图中的数据结合中位数和众数的定义,确定 a 的值即可.
【详解】解:由条形统计图可知,前三次的中位数是 8
∵第四次又买的苹果单价是 a 元/千克,这四个单价的中位数恰好也是众数
∴a=8.
故答案为 B.
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数的定义,掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键.
6.如图 1,已知 ABC ,用尺规作它的角平分线.
如图 2,步骤如下,
第一步:以 B 为圆心,以 a 为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 D , E ;
第二步:分别以 D , E 为圆心,以b 为半径画弧,两弧在 ABC 内部交于点 P ;
第三步:画射线 BP .射线 BP 即为所求.
下列正确的是( )
A. a ,b 均无限制 B. 0a , 1
2b DE 的长
C. a 有最小限制,b 无限制 D. 0a , 1
2b DE 的长
【答案】B
【解析】
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断,即可得出结论.
【详解】第一步:以 B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 D , E ;
∴ 0a ;
第二步:分别以 D , E 为圆心,大于 1
2 DE 的长为半径画弧,两弧在 ABC 内部交于点 P ;
∴ 1
2b DE 的长;
第三步:画射线 BP .射线 BP 即为所求.
综上,答案为: 0a ; 1
2b DE 的长,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握作角平分线的方法.
7.若 a b¹ ,则下列分式化简正确的是( )
A. 2
2
a a
b b
B. 2
2
a a
b b
C.
2
2
a a
b b
D.
1
2
1
2
a a
bb
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 a≠b,可以判断各个选项中的式子是否正确,从而可以解答本题.
【详解】∵a≠b,
∴ 2
2
a a
b b
,选项 A 错误;
2
2
a a
b b
,选项 B 错误;
2
2
a a
b b
,选项 C 错误;
1
2
1
2
a a
bb
,选项 D 正确;
故选:D.
【点睛】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.
8.在如图所示的网格中,以点O 为位似中心,四边形 ABCD 的位似图形是( )
A. 四边形 NPMQ B. 四边形 NPMR
C. 四边形 NHMQ D. 四边形 NHMR
【答案】A
【解析】
【分析】
以 O 为位似中心,作四边形 ABCD 的位似图形,根据图像可判断出答案.
【详解】解:如图所示,四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ .
故选:A
【点睛】此题考查了位似图形的作法,画位似图形的一般步骤为:①确定位似中心;②分别连接并延长位
似中心和能代表原图的关键点;③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;顺次连接上述各点,
确定位似图形.
9.若 2 29 1 11 1
8 10 12k
,则 k ( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方差公式变形即可求解.
【详解】原等式 2 29 1 11 1
8 10 12k
变形得:
2 29 1 11 1
8 10 12k
9 1 9 1 11 1 11 1
8 10 12
8 10 10 12
8 10 12
10 .
故选:B.
【点睛】本题考查了平方差公式的应用,灵活运用平方差公式是解题的关键.
10.如图,将 ABC 绕边 AC 的中点O 顺时针旋转 180°.嘉淇发现,旋转后的 CDA 与 ABC 构成平行四
边形,并推理如下:
点 A ,C 分别转到了点C , A 处,
而点 B 转到了点 D 处.
∵CB AD ,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵ CB AD ,”和“∴四边形……”之间作补充.下列正确的是
( )
A. 嘉淇推理严谨,不必补充 B. 应补充:且 AB CD ,
C. 应补充:且 //AB CD D. 应补充:且OA OC ,
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答.
【详解】根据旋转的性质得: CB=AD,AB=CD,
∴四边形 ABDC 是平行四边形;
故应补充“AB=CD”,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质,牢记旋转前、后的图形全等,熟练掌握平行四
边形的判定方法是解题的关键.
11.若 k 为正整数,则 ( )k
k k
k k k
个
( )
A. 2kk B. 2 1kk C. 2 kk D. 2 kk
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解.
【详解】 ( )k
k k
k k k
个
2 kkk k k = 2kk ,
故选 A.
【点睛】此题主要考查幂的运算,解题的关键是熟知其运算法则.
12.如图,从笔直的公路 l 旁一点 P 出发,向西走 6km到达l ;从 P 出发向北走 6km也到达l .下列说法错.
误.的是( )
A. 从点 P 向北偏西 45°走3km 到达 l
B. 公路 l 的走向是南偏西 45°
C. 公路 l 的走向是北偏东 45°
D. 从点 P 向北走3km 后,再向西走3km 到达 l
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可.
【详解】解:如图所示,过 P 点作 AB 的垂线 PH,
选项 A:∵BP=AP=6km,且∠BPA=90°,∴△PAB 为等腰直角三角形,∠PAB=∠PBA=45°,
又 PH⊥AB,∴△PAH 为等腰直角三角形,
∴PH= 2 3 22
PA km,故选项 A 错误;
选项 B:站在公路上向西南方向看,公路l 的走向是南偏西 45°,故选项 B 正确;
选项 C:站在公路上向东北方向看,公路l 的走向是北偏东 45°,故选项 C 正确;
选项 D:从点 P 向北走3km 后到达 BP 中点 E,此时 EH 为△PEH 的中位线,故 EH= 1
2 AP=3,故再向西走
3km 到达l ,故选项 D 正确.
故选:A.
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点,方向角一般以观测者的位置为
中心,所以观测者不同,方向就正好相反,但角度不变.
13.已知光速为 300000 千米秒,光经过 t 秒(1 10t )传播的距离用科学记数法表示为 10 na 千米,则 n
可能为( )
A. 5 B. 6 C. 5 或 6 D. 5 或 6 或 7
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,
小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.
【详解】解:当 t=1 时,传播的距离为 300000 千米,写成科学记数法为: 53 10 千米,
当 t=10 时,传播的距离为 3000000 千米,写成科学记数法为: 63 10 千米,
∴n 的值为 5 或 6,
故选:C.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整
数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
14.有一题目:“已知;点O 为 ABC 的外心, 130BOC ,求 A .”嘉嘉的解答为:画 ABC 以及它的
外接圆O ,连接 OB ,OC ,如图.由 2 130BOC A ,得 65A .而淇淇说:“嘉嘉考虑的不
周全, A 还应有另一个不同的值.”,下列判断正确的是( )
A. 淇淇说的对,且 A 的另一个值是 115°
B. 淇淇说的不对, A 就得 65°
C. 嘉嘉求的结果不对, A 应得 50°
D. 两人都不对, A 应有 3 个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.
【详解】解:如图所示:
∵∠BOC=130°,
∴∠A=65°,
∠A 还应有另一个不同的值∠A′与∠A 互补.
故∠A′=180°−65°=115°.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆,正确分类讨论是解题关键.
15.如图,现要在抛物线 (4 )y x x 上找点 ( , )P a b ,针对b 的不同取值,所找点 P 的个数,三人的说法如
下,
甲:若 5b ,则点 P 的个数为 0;
乙:若 4b ,则点 P 的个数为 1;
丙:若 3b ,则点 P 的个数为 1.
下列判断正确的是( )
A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错
C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对
【答案】C
【解析】
【分析】
分别令 x(4-x)的值为 5,4,3,得到一元二次方程后,利用根的判别式确定方程的根有几个,即可得到点
P 的个数.
【详解】当 b=5 时,令 x(4-x)=5,整理得:x2-4x+5=0,△=(-4)2-4×5=-6<0,因此点 P 的个数为 0,甲的
说法正确;
当 b=4 时,令 x(4-x)=4,整理得:x2-4x+4=0,△=(-4)2-4×4=0,因此点 P 有 1 个,乙的说法正确;
当 b=3 时,令 x(4-x)=3,整理得:x2-4x+3=0,△=(-4)2-4×3=4>0,因此点 P 有 2 个,丙的说法不正确;
故选:C.
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程,解题的关键是将二次函数与直线交点个数,转化成一元二次
方程根的判别式.
16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别
是 1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大..的直
角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( )
A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理, 2 2 2 a b c ,则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积,再分别进行判断,即可得到
面积最大的三角形.
【详解】解:根据题意,设三个正方形的边长分别为 a、b、c,
由勾股定理,得 2 2 2 a b c ,
A、∵1+4=5,则两直角边分别为:1 和 2,则面积为: 1 1 2=12
;
B、∵2+3=5,则两直角边分别为: 2 和 3 ,则面积为: 1 62 3=2 2
;
C、∵3+4≠5,则不符合题意;
D、∵2+2=4,则两直角边分别为: 2 和 2 ,则面积为: 1 2 2 12
;
∵ 6 12
,
故选:B.
【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理的应用,以及三角形的面积公式,解题的关键是熟练掌握勾
股定理,以及正方形的性质进行解题.
二、填空题(本大题有 3 个小题,共 12 分.17~18 小题各 3 分;19 小题有 3 个空,每空 2 分)
17.已知: 18 2 2 2 2a b ,则 ab _________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求解.
【详解】∵ 18 2 3 2 2 2 2
∴a=3,b=2
∴ ab 6
故答案为:6.
【点睛】此题主要考查二次根式的运算,解题的关键是熟知其运算法则.
18.正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍,则 n _________.
【答案】12
【解析】
【分析】
先根据外角和定理求出正六边形的外角为 60°,进而得到其内角为 120°,再求出正 n 边形的外角为 30°,再
根据外角和定理即可求解.
【详解】解:由多边形的外角和定理可知,正六边形的外角为:360°÷6=60°,
故正六边形的内角为 180°-60°=120°,
又正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍,
∴正 n 边形的外角为 30°,
∴正 n 边形的边数为:360°÷30°=12.
故答案为:12.
【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识,熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类
题目的关键.
19.如图是 8 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,每个台阶凸出的角的顶点记作 mT ( m 为 1~8
的整数).函数 ky x
( 0x )的图象为曲线 L .
(1)若 L 过点 1T ,则 k _________;
(2)若 L 过点 4T ,则它必定还过另一点 mT ,则 m _________;
(3)若曲线 L 使得 1 8~T T 这些点分布在它的两侧,每侧各 4 个点,则 k 的整数值有_________个.
【答案】 (1). -16 (2). 5 (3). 7
【解析】
【分析】
(1)先确定 T1 的坐标,然后根据反比例函数 ky x
( 0x )即可确定 k 的值;
(2)观察发现,在反比例函数图像上的点,横纵坐标只积相等,即可确定另一点;
(3)先分别求出 T1~T8 的横纵坐标积,再从小到大排列,然后让 k 位于第 4 个和第 5 个点的横纵坐标积之
间,即可确定 k 的取值范围和 k 的整数值的个数.
【详解】解:(1)由图像可知 T1(-16,1)
又∵.函数 ky x
( 0x )的图象经过 T1
∴1 16
k
,即 k=-16;
(2)由图像可知 T1(-16,1)、T2(-14,2)、T3(-12,3)、T4(-10,4)、T5(-8,5)、T6(-6,6)、T7(-4,7)、T8
(-2,8)
∵ L 过点 4T
∴k=-10×4=40
观察 T1~T8,发现 T5 符合题意,即 m=5;
(3)∵T1~T8 的横纵坐标积分别为:-16,-28,-36,-40,-40,-36,-28,-16
∴要使这 8 个点为于 L 的两侧,k 必须满足-36<k<-28
∴k 可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35 共 7 个整数值.
故答案为:(1)-16;(2)5;(3)7.
【点睛】本题考查了反比例函数图像的特点,掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于 k 是解答本题
的关键.
三、解答题(本大题有 7 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.已知两个有理数:-9 和 5.
(1)计算: ( 9) 5
2
;
(2)若再添一个负整数 m ,且-9,5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m ,求 m 的值.
【答案】(1)-2;(2) 1m .
【解析】
【分析】
(1)根据有理数的混合运算法则即可求解;
(2)根据平均数的定义列出不等式即可求出 m 的取值,故可求解.
【详解】(1) ( 9) 5
2
= 4 22
;
(2)依题意得 ( 9) 5
3
m <m
解得 m>-2
∴负整数 m =-1.
【点睛】此题主要考查有理数、不等式及平均数,解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则.
21.有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A 区就会自动加上 2a ,同时 B 区就会自动减去3a ,且均显示化
简后的结果.已知 A , B 两区初始显示的分别是 25 和-16,如图.
如,第一次按键后, A , B 两区分别显示:
(1)从初始状态按 2 次后,分别求 A , B 两区显示的结果;
(2)从初始状态按 4 次后,计算 A , B 两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.
【答案】(1) 225 2a ; 16 6a ;(2) 24a 12a+9- ;和不能为负数,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,每按一次按键,屏幕的 A 区就会自动加上 2a , B 区就会自动减去3a ,可直接求出初始状
态按 2 次后 A,B 两区显示的结果.
(2)依据题意,分别求出初始状态下按 4 次后 A,B 两区显示的代数式,再求 A,B 两区显示的代数式的
和,判断能否为负数即可.
【详解】解:(1)A 区显示结果为: 2 2 225+a +a =25+2a ,
B 区显示结果为: 16 3a 3a= 16 6a﹣ - - ﹣ - ;
(2)初始状态按 4 次后 A 显示为: 2 2 2 2 225+a +a +a a 25 4a
B 显示为: 16 3a 3a 3a 3a= 16 12a﹣ - - - - ﹣ -
∴A+B= 225+4a +(-16 12a)
= 24a 12a+9-
= 2(2a 3)-
∵ 2(2a 3) 0- 恒成立,
∴和不能为负数.
【点睛】本题考查了代数式运算,合并同类项,完全平方公式问题,解题关键在于理解题意,列出代数式
进行正确运算,并根据完全平方公式判断正负.
22.如图,点O 为 AB 中点,分别延长OA到点C ,OB 到点 D ,使OC OD .以点O 为圆心,分别以OA,
OC 为半径在 CD 上方作两个半圆.点 P 为小半圆上任一点(不与点 A ,B 重合),连接OP 并延长交大半
圆于点 E ,连接 AE , CP .
(1)①求证: AOE POC ≌ ;
②写出∠1,∠2 和 C 三者间的数量关系,并说明理由.
(2)若 2 2OC OA ,当 C 最大时,直接..指出 CP 与小半圆的位置关系,并求此时 EODS扇形 (答案保留
).
【答案】(1)①见详解;②∠2=∠C+∠1;(2)CP 与小半圆相切, 4
3
.
【解析】
【分析】
(1)①直接由已知即可得出 AO=PO,∠AOE=∠POC,OE=OC,即可证明;
②由(1)得△AOE≌△POC,可得∠1=∠OPC,根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC,即可得出答
案;
(2)当 C 最大时,可知此时 CP 与小半圆相切,可得 CP⊥OP,然后根据 2 2 2OC OA OP ,可得
在 Rt△POC 中,∠C=30°,∠POC=60°,可得出∠EOD,即可求出 S 扇 EOD.
【详解】(1)①在△AOE 和△POC 中 =
AO PO
AOE POC
OE OC
∠ ∠ ,
∴△AOE≌△POC;
②∠2=∠C+∠1,理由如下:
由(1)得△AOE≌△POC,
∴∠1=∠OPC,
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC,
∴∠2=∠C+∠1;
(2)在 P 点的运动过程中,只有 CP 与小圆相切时∠C 有最大值,
∴当 C 最大时,可知此时CP 与小半圆相切,
由此可得 CP⊥OP,
又∵ 2 2 2OC OA OP ,
∴可得在 Rt△POC 中,∠C=30°,∠POC=60°,
∴∠EOD=180°-∠POC=120°,
∴S 扇 EOD=
2120
360
R
= 4
3
.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的外角,切线的性质,扇形面积的计算,掌握知识
点灵活运用是解题关键.
23.用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木
板,实验发现:木板承重指数W 与木板厚度 x (厘米)的平方成正比,当 3x 时, 3W .
(1)求W 与 x 的函数关系式.
(2)如图,选一块厚度为 6 厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设
薄板的厚度为 x (厘米),Q W W 厚 薄 .
①求Q 与 x 的函数关系式;
② x 为何值时,Q 是W薄 的 3 倍?
【注:(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围】
【答案】(1) 21
3W x ;(2)① 12 4Q x ;② 2cmx .
【解析】
【分析】
(1)设 W=kx2,利用待定系数法即可求解;
(2)①根据题意列出函数,化简即可;②根据题意列出方程故可求解.
【详解】(1)设 W=kx2,
∵ 3x 时, 3W
∴3=9k
∴k= 1
3
∴W 与 x 的函数关系式为 21
3W x ;
(2)①∵薄板的厚度为 xcm,木板的厚度为 6cm
∴厚板的厚度为(6-x)cm,
∴Q= 2 21 1(6 ) 4 123 3x x x
∴Q 与 x 的函数关系式为 12 4Q x ;
②∵Q 是W薄 的 3 倍
∴-4x+12=3× 21
3 x
解得 x1=2,x2=-6(不符题意,舍去)
经检验,x=2 是原方程的解,
∴x=2 时,Q 是W薄 的 3 倍.
【点睛】此题主要考查函数与方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解.
24.表格中的两组对应值满足一次函数 y kx b ,现画出了它的图象为直线l ,如图.而某同学为观察 k ,b
对图象的影响,将上面函数中的 k 与b 交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l .
x -1 0
y -2 1
(1)求直线l 的解析式;
(2)请在图上画出..直线l (不要求列表计算),并求直线l 被直线l 和 y 轴所截线段的长;
(3)设直线 y a 与直线 l ,l 及 y 轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接..写出 a 的值.
【答案】(1) l : 3 1y x= + ;(2)作图见解析,所截线段长为 2 ;(3) a 的值为 5
2
或 17
5
或 7
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法即可求解;
(2)根据题意得到直线l ,联立两直线求出交点坐标,再根据两点间的距离公式即可求解;
(3)分对称点在直线 l,直线l 和 y 轴分别列式求解即可.
【详解】(1)依题意把(-1,-2)和(0,1)代入 y kx b ,
得 2
1
k b
b
,
解得 3
1
k
b
,
∴直线 l 的解析式为 3 1y x= + ,
(2)依题意可得直线l 的解析式为 3y x= + ,
作函数图像如下:
令 x=0,得 y=3,故 B(0,3),
令 3 1
3
y x
y x
,
解得 1
4
x
y
,
∴A(1,4),
∴直线 l 被直线l 和 y 轴所截线段的长 AB= 2 2(1 0) (4 3) 2 ;
(3)①当对称点在直线 l 上时,
令 3 1a x= + ,解得 x= 1
3
a
,
令 3a x ,解得 x= 3a ,
∴2× 1
3
a
=a-3,
解得 a=7;
②当对称点在直线l 上时,
则 2×(a-3)= 1
3
a ,
解得 a=17
5
;
③当对称点在 y 轴上时,
则 1
3
a
+( 3a )=0,
解得 a= 5
2
;
综上: a 的值为 5
2
或 17
5
或 7.
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合,解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐
标的对称性.
25.如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3 和 5 的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:
裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错,则甲向东移动 1 个单位,同时乙向西移动 1 个单位;
②若甲对乙错,则甲向东移动 4 个单位,同时乙向东移动 2 个单位;
③若甲错乙对,则甲向西移动 2 个单位,同时乙向西移动 4 个单位.
(1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率 P ;
(2)从图的位置开始,若完成了 10 次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对 n 次,
且他最终..停留的位置对应的数为 m ,试用含 n 的代数式表示 m ,并求该位置距离原点O 最近时 n 的值;
(3)从图的位置开始,若进行了 k 次移动游戏后,甲与乙的位置相距 2 个单位,直接..写出 k 的值.
【答案】(1) 1
4P ;(2) 25 6m n ;当 4n 时,距离原点最近;(3) 3k 或 5
【解析】
【分析】
(1)对题干中三种情况计算对应概率,分析出正确的概率即可;
硬币朝上为正面、反面的概率均为 1
2
,
甲和乙猜正反的情况也分为三种情况:
①甲和乙都猜正面或反面,概率为 1
2
,
②甲猜正,乙猜反,概率为 1
4
,
③甲猜反,乙猜正,概率为 1
4
,
(2)根据题意可知乙答了 10 次,答对了 n 次,则打错了(10-n)次,再根据平移的规则推算出结果即可;
(3)刚开始的距离是 8,根据三种情况算出缩小的距离,即可算出缩小的总距离,分别除以 2 即可得到结
果;
【详解】(1)题干中对应的三种情况的概率为:
① 1 1 1 1 1+ =2 2 2 2 2 ;
② 1 1 1 1 1+ =2 4 2 4 4 ;
③ 1 1 1 1 1+ =2 4 2 4 4 ;
甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②,故 P= 1
4
.
(2)根据题意可知乙答了 10 次,答对了 n 次,则打错了(10-n)次,
根据题意可得,n 次答对,向西移动 4n,
10-n 次答错,向东移了 2(10-n),
∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n,
∴当 n=4 时,距离原点最近.
(3)起初,甲乙的距离是 8,
易知,当甲乙一对一错时,二者之间距离缩小 2,
当甲乙同时答对打错时,二者之间的距离缩小 2,
∴当加一位置相距 2 个单位时,共缩小了 6 个单位或 10 个单位,
∴6 2=3 或10 2=5 ,
∴ 3k 或 5k .
【点睛】本题主要考查了概率的求解,通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键.
26.如图 1 和图 2,在 ABC 中,AB AC , 8BC , 3tan 4C .点 K 在 AC 边上,点 M ,N 分别在 AB ,
BC 上,且 2AM CN .点 P 从点 M 出发沿折线 MB BN 匀速移动,到达点 N 时停止;而点Q 在 AC
边上随 P 移动,且始终保持 APQ B .
(1)当点 P 在 BC 上时,求点 P 与点 A 的最短距离;
(2)若点 P 在 MB 上,且 PQ 将 ABC 的面积分成上下 4:5 两部分时,求 MP 的长;
(3)设点 P 移动的路程为 x ,当 0 3x 及3 9x 时,分别求点 P 到直线 AC 的距离(用含 x 的式子
表示);
(4)在点 P 处设计并安装一扫描器,按定角 APQ 扫描 APQ 区域(含边界),扫描器随点 P 从 M 到 B
再到 N 共用时 36 秒.若 9
4AK ,请直接..写出点 K 被扫描到的总时长.
【答案】(1) 3 ;(2) 4
3MP ;(3)当 0 3x 时, 24 48
25 25d x ;当 3 9x 时, 3 33
5 5d x ;
(4) 23t s
【解析】
【分析】
(1)根据当点 P 在 BC 上时,PA⊥BC 时 PA 最小,即可求出答案;
(2)过 A 点向 BC 边作垂线,交 BC 于点 E,证明△APQ∽△ABC,可得
2
APQ
ABC
S AP
S AB
,根据 S
S
上
下
= 4
5
可
得
2 4= 9
APQ
ABC
S AP
S AB
,可得 2
3
AP
AB
,求出 AB=5,即可解出 MP;
(3)先讨论当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动,P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC,求解即可,再讨论当 3≤x≤9 时,
P 在 BN 上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,根据 d=CP·sinC 即可得出答案;
(4)先求出移动的速度= 9
36 = 1
4
,然后先求出从 Q 平移到 K 耗时,再求出不能被扫描的时间段即可求出时
间.
【详解】(1)当点 P 在 BC 上时,PA⊥BC 时 PA 最小,
∵AB=AC,△ABC 为等腰三角形,
∴PAmin=tanC· 2
BC = 3
4 ×4=3;
(2)过 A 点向 BC 边作垂线,交 BC 于点 E,
S 上=S△APQ,
S 下=S 四边形 BPQC,
∵ APQ B ,
∴PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC,
∴ AP AD PQ
AB AC BC
,
∴
2
APQ
ABC
S AP
S AB
,
当 S
S
上
下
= 4
5
时,
2 4= 9
APQ
ABC
S AP
S AB
,
∴ 2
3
AP
AB
,
AE= 2
BC · tan 3C ,
根据勾股定理可得 AB=5,
∴ 2 2
5 3
AP MP
AB
,
解得 MP= 4
3
;
(3)当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动,
P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC,
由(2)可知 sinC= 3
5
,
∴d= 3
5 PQ,
∵AP=x+2,
∴ 2
5
AP x PQ
AB BC
,
∴PQ= 2 85
x ,
∴d= 2 385 5
x = 24 48
25 25x ,
当 3≤x≤9 时,P 在 BN 上运动,
BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,
d=CP·sinC= 3
5
(11-x)=- 3
5 x+ 33
5
,
综上
24 48 0 325 25
3 33 3 95 5
x x
d
x x
;
(4)AM=2
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