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  • 2021-11-06 发布

中考卷-2020中考数学试题(解析版) (4)

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2020 年河北省初中毕业生升学文化课考试 数学试卷 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分.1~10 小题各 3 分,11~16 小题各 2 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图,在平面内作已知直线 m 的垂线,可作垂线的条数有( ) A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】 在同一平面内,过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线;但画已知直线的垂线,可以画无 数条. 【详解】在同一平面内,画已知直线的垂线,可以画无数条; 故选:D. 【点睛】此题主要考查在同一平面内,垂直于平行的特征,解题的关键是熟知垂直的定义. 2.墨迹覆盖了等式“ 3x 2x x ( 0x  )”中的运算符号,则覆盖的是( ) A. + B. - C. × D. ÷ 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案. 【详解】∵ 3x 2x x ( 0x  ), 3 2x x x  , ∴覆盖的是:÷. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握相关运算法则是解题关键. 3.对于① 3 (1 3 )x xy x y   ,② 2( 3)( 1) 2 3x x x x     ,从左到右的变形,表述正确的是( ) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义进行判断即可; 【详解】①左边多项式,右边整式乘积形式,属于因式分解; ②左边整式乘积,右边多项式,属于整式乘法; 故答案选 C. 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解,准确理解因式分解的定义是解题的关键. 4.如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是( ) A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同 C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【解析】 【分析】 分别画出所给两个几何体的三视图,然后比较即可得答案. 【详解】第一个几何体的三视图如图所示: 第二个几何体的三视图如图所示: 观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同, 故选 D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图,正确得出各几何体的三视图是解题的关键. 5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是 a 元/千克,发现这四个单价的中位 数恰好也是众数,则 a ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据统计图中的数据结合中位数和众数的定义,确定 a 的值即可. 【详解】解:由条形统计图可知,前三次的中位数是 8 ∵第四次又买的苹果单价是 a 元/千克,这四个单价的中位数恰好也是众数 ∴a=8. 故答案为 B. 【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数的定义,掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键. 6.如图 1,已知 ABC ,用尺规作它的角平分线. 如图 2,步骤如下, 第一步:以 B 为圆心,以 a 为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 D , E ; 第二步:分别以 D , E 为圆心,以b 为半径画弧,两弧在 ABC 内部交于点 P ; 第三步:画射线 BP .射线 BP 即为所求. 下列正确的是( ) A. a ,b 均无限制 B. 0a  , 1 2b DE 的长 C. a 有最小限制,b 无限制 D. 0a  , 1 2b DE 的长 【答案】B 【解析】 【分析】 根据作角平分线的方法进行判断,即可得出结论. 【详解】第一步:以 B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 D , E ; ∴ 0a  ; 第二步:分别以 D , E 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径画弧,两弧在 ABC 内部交于点 P ; ∴ 1 2b DE 的长; 第三步:画射线 BP .射线 BP 即为所求. 综上,答案为: 0a  ; 1 2b DE 的长, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握作角平分线的方法. 7.若 a b¹ ,则下列分式化简正确的是( ) A. 2 2 a a b b   B. 2 2 a a b b   C. 2 2 a a b b  D. 1 2 1 2 a a bb  【答案】D 【解析】 【分析】 根据 a≠b,可以判断各个选项中的式子是否正确,从而可以解答本题. 【详解】∵a≠b, ∴ 2 2 a a b b   ,选项 A 错误; 2 2 a a b b   ,选项 B 错误; 2 2 a a b b  ,选项 C 错误; 1 2 1 2 a a bb  ,选项 D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法. 8.在如图所示的网格中,以点O 为位似中心,四边形 ABCD 的位似图形是( ) A. 四边形 NPMQ B. 四边形 NPMR C. 四边形 NHMQ D. 四边形 NHMR 【答案】A 【解析】 【分析】 以 O 为位似中心,作四边形 ABCD 的位似图形,根据图像可判断出答案. 【详解】解:如图所示,四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ . 故选:A 【点睛】此题考查了位似图形的作法,画位似图形的一般步骤为:①确定位似中心;②分别连接并延长位 似中心和能代表原图的关键点;③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;顺次连接上述各点, 确定位似图形. 9.若   2 29 1 11 1 8 10 12k      ,则 k  ( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平方差公式变形即可求解. 【详解】原等式   2 29 1 11 1 8 10 12k      变形得:   2 29 1 11 1 8 10 12k          9 1 9 1 11 1 11 1 8 10 12       8 10 10 12 8 10 12      10 . 故选:B. 【点睛】本题考查了平方差公式的应用,灵活运用平方差公式是解题的关键. 10.如图,将 ABC 绕边 AC 的中点O 顺时针旋转 180°.嘉淇发现,旋转后的 CDA 与 ABC 构成平行四 边形,并推理如下: 点 A ,C 分别转到了点C , A 处, 而点 B 转到了点 D 处. ∵CB AD , ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵ CB AD ,”和“∴四边形……”之间作补充.下列正确的是 ( ) A. 嘉淇推理严谨,不必补充 B. 应补充:且 AB CD , C. 应补充:且 //AB CD D. 应补充:且OA OC , 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答. 【详解】根据旋转的性质得: CB=AD,AB=CD, ∴四边形 ABDC 是平行四边形; 故应补充“AB=CD”, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质,牢记旋转前、后的图形全等,熟练掌握平行四 边形的判定方法是解题的关键. 11.若 k 为正整数,则 ( )k k k k k k   个 ( ) A. 2kk B. 2 1kk  C. 2 kk D. 2 kk  【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解. 【详解】 ( )k k k k k k   个    2 kkk k k  = 2kk , 故选 A. 【点睛】此题主要考查幂的运算,解题的关键是熟知其运算法则. 12.如图,从笔直的公路 l 旁一点 P 出发,向西走 6km到达l ;从 P 出发向北走 6km也到达l .下列说法错. 误.的是( ) A. 从点 P 向北偏西 45°走3km 到达 l B. 公路 l 的走向是南偏西 45° C. 公路 l 的走向是北偏东 45° D. 从点 P 向北走3km 后,再向西走3km 到达 l 【答案】A 【解析】 【分析】 根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可. 【详解】解:如图所示,过 P 点作 AB 的垂线 PH, 选项 A:∵BP=AP=6km,且∠BPA=90°,∴△PAB 为等腰直角三角形,∠PAB=∠PBA=45°, 又 PH⊥AB,∴△PAH 为等腰直角三角形, ∴PH= 2 3 22 PA km,故选项 A 错误; 选项 B:站在公路上向西南方向看,公路l 的走向是南偏西 45°,故选项 B 正确; 选项 C:站在公路上向东北方向看,公路l 的走向是北偏东 45°,故选项 C 正确; 选项 D:从点 P 向北走3km 后到达 BP 中点 E,此时 EH 为△PEH 的中位线,故 EH= 1 2 AP=3,故再向西走 3km 到达l ,故选项 D 正确. 故选:A. 【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点,方向角一般以观测者的位置为 中心,所以观测者不同,方向就正好相反,但角度不变. 13.已知光速为 300000 千米秒,光经过 t 秒(1 10t  )传播的距离用科学记数法表示为 10 na  千米,则 n 可能为( ) A. 5 B. 6 C. 5 或 6 D. 5 或 6 或 7 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解:当 t=1 时,传播的距离为 300000 千米,写成科学记数法为: 53 10 千米, 当 t=10 时,传播的距离为 3000000 千米,写成科学记数法为: 63 10 千米, ∴n 的值为 5 或 6, 故选:C. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 14.有一题目:“已知;点O 为 ABC 的外心, 130BOC   ,求 A .”嘉嘉的解答为:画 ABC 以及它的 外接圆O ,连接 OB ,OC ,如图.由 2 130BOC A     ,得 65A  .而淇淇说:“嘉嘉考虑的不 周全, A 还应有另一个不同的值.”,下列判断正确的是( ) A. 淇淇说的对,且 A 的另一个值是 115° B. 淇淇说的不对, A 就得 65° C. 嘉嘉求的结果不对, A 应得 50° D. 两人都不对, A 应有 3 个不同值 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案. 【详解】解:如图所示: ∵∠BOC=130°, ∴∠A=65°, ∠A 还应有另一个不同的值∠A′与∠A 互补. 故∠A′=180°−65°=115°. 故选:A. 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆,正确分类讨论是解题关键. 15.如图,现要在抛物线 (4 )y x x  上找点 ( , )P a b ,针对b 的不同取值,所找点 P 的个数,三人的说法如 下, 甲:若 5b  ,则点 P 的个数为 0; 乙:若 4b  ,则点 P 的个数为 1; 丙:若 3b  ,则点 P 的个数为 1. 下列判断正确的是( ) A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对 【答案】C 【解析】 【分析】 分别令 x(4-x)的值为 5,4,3,得到一元二次方程后,利用根的判别式确定方程的根有几个,即可得到点 P 的个数. 【详解】当 b=5 时,令 x(4-x)=5,整理得:x2-4x+5=0,△=(-4)2-4×5=-6<0,因此点 P 的个数为 0,甲的 说法正确; 当 b=4 时,令 x(4-x)=4,整理得:x2-4x+4=0,△=(-4)2-4×4=0,因此点 P 有 1 个,乙的说法正确; 当 b=3 时,令 x(4-x)=3,整理得:x2-4x+3=0,△=(-4)2-4×3=4>0,因此点 P 有 2 个,丙的说法不正确; 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程,解题的关键是将二次函数与直线交点个数,转化成一元二次 方程根的判别式. 16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别 是 1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大..的直 角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据勾股定理, 2 2 2 a b c ,则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积,再分别进行判断,即可得到 面积最大的三角形. 【详解】解:根据题意,设三个正方形的边长分别为 a、b、c, 由勾股定理,得 2 2 2 a b c , A、∵1+4=5,则两直角边分别为:1 和 2,则面积为: 1 1 2=12   ; B、∵2+3=5,则两直角边分别为: 2 和 3 ,则面积为: 1 62 3=2 2   ; C、∵3+4≠5,则不符合题意; D、∵2+2=4,则两直角边分别为: 2 和 2 ,则面积为: 1 2 2 12    ; ∵ 6 12  , 故选:B. 【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理的应用,以及三角形的面积公式,解题的关键是熟练掌握勾 股定理,以及正方形的性质进行解题. 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 12 分.17~18 小题各 3 分;19 小题有 3 个空,每空 2 分) 17.已知: 18 2 2 2 2a b    ,则 ab  _________. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解. 【详解】∵ 18 2 3 2 2 2 2    ∴a=3,b=2 ∴ ab  6 故答案为:6. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算,解题的关键是熟知其运算法则. 18.正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍,则 n  _________. 【答案】12 【解析】 【分析】 先根据外角和定理求出正六边形的外角为 60°,进而得到其内角为 120°,再求出正 n 边形的外角为 30°,再 根据外角和定理即可求解. 【详解】解:由多边形的外角和定理可知,正六边形的外角为:360°÷6=60°, 故正六边形的内角为 180°-60°=120°, 又正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍, ∴正 n 边形的外角为 30°, ∴正 n 边形的边数为:360°÷30°=12. 故答案为:12. 【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识,熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类 题目的关键. 19.如图是 8 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,每个台阶凸出的角的顶点记作 mT ( m 为 1~8 的整数).函数 ky x  ( 0x  )的图象为曲线 L . (1)若 L 过点 1T ,则 k  _________; (2)若 L 过点 4T ,则它必定还过另一点 mT ,则 m  _________; (3)若曲线 L 使得 1 8~T T 这些点分布在它的两侧,每侧各 4 个点,则 k 的整数值有_________个. 【答案】 (1). -16 (2). 5 (3). 7 【解析】 【分析】 (1)先确定 T1 的坐标,然后根据反比例函数 ky x  ( 0x  )即可确定 k 的值; (2)观察发现,在反比例函数图像上的点,横纵坐标只积相等,即可确定另一点; (3)先分别求出 T1~T8 的横纵坐标积,再从小到大排列,然后让 k 位于第 4 个和第 5 个点的横纵坐标积之 间,即可确定 k 的取值范围和 k 的整数值的个数. 【详解】解:(1)由图像可知 T1(-16,1) 又∵.函数 ky x  ( 0x  )的图象经过 T1 ∴1 16 k  ,即 k=-16; (2)由图像可知 T1(-16,1)、T2(-14,2)、T3(-12,3)、T4(-10,4)、T5(-8,5)、T6(-6,6)、T7(-4,7)、T8 (-2,8) ∵ L 过点 4T ∴k=-10×4=40 观察 T1~T8,发现 T5 符合题意,即 m=5; (3)∵T1~T8 的横纵坐标积分别为:-16,-28,-36,-40,-40,-36,-28,-16 ∴要使这 8 个点为于 L 的两侧,k 必须满足-36<k<-28 ∴k 可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35 共 7 个整数值. 故答案为:(1)-16;(2)5;(3)7. 【点睛】本题考查了反比例函数图像的特点,掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于 k 是解答本题 的关键. 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.已知两个有理数:-9 和 5. (1)计算: ( 9) 5 2   ; (2)若再添一个负整数 m ,且-9,5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m ,求 m 的值. 【答案】(1)-2;(2) 1m   . 【解析】 【分析】 (1)根据有理数的混合运算法则即可求解; (2)根据平均数的定义列出不等式即可求出 m 的取值,故可求解. 【详解】(1) ( 9) 5 2   = 4 22    ; (2)依题意得 ( 9) 5 3 m   <m 解得 m>-2 ∴负整数 m =-1. 【点睛】此题主要考查有理数、不等式及平均数,解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则. 21.有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A 区就会自动加上 2a ,同时 B 区就会自动减去3a ,且均显示化 简后的结果.已知 A , B 两区初始显示的分别是 25 和-16,如图. 如,第一次按键后, A , B 两区分别显示: (1)从初始状态按 2 次后,分别求 A , B 两区显示的结果; (2)从初始状态按 4 次后,计算 A , B 两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由. 【答案】(1) 225 2a ; 16 6a  ;(2) 24a 12a+9- ;和不能为负数,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意,每按一次按键,屏幕的 A 区就会自动加上 2a , B 区就会自动减去3a ,可直接求出初始状 态按 2 次后 A,B 两区显示的结果. (2)依据题意,分别求出初始状态下按 4 次后 A,B 两区显示的代数式,再求 A,B 两区显示的代数式的 和,判断能否为负数即可. 【详解】解:(1)A 区显示结果为: 2 2 225+a +a =25+2a , B 区显示结果为: 16 3a 3a= 16 6a﹣ - - ﹣ - ; (2)初始状态按 4 次后 A 显示为: 2 2 2 2 225+a +a +a a 25 4a   B 显示为: 16 3a 3a 3a 3a= 16 12a﹣ - - - - ﹣ - ∴A+B= 225+4a +(-16 12a) = 24a 12a+9- = 2(2a 3)- ∵ 2(2a 3) 0- 恒成立, ∴和不能为负数. 【点睛】本题考查了代数式运算,合并同类项,完全平方公式问题,解题关键在于理解题意,列出代数式 进行正确运算,并根据完全平方公式判断正负. 22.如图,点O 为 AB 中点,分别延长OA到点C ,OB 到点 D ,使OC OD .以点O 为圆心,分别以OA, OC 为半径在 CD 上方作两个半圆.点 P 为小半圆上任一点(不与点 A ,B 重合),连接OP 并延长交大半 圆于点 E ,连接 AE , CP . (1)①求证: AOE POC ≌ ; ②写出∠1,∠2 和 C 三者间的数量关系,并说明理由. (2)若 2 2OC OA  ,当 C 最大时,直接..指出 CP 与小半圆的位置关系,并求此时 EODS扇形 (答案保留  ). 【答案】(1)①见详解;②∠2=∠C+∠1;(2)CP 与小半圆相切, 4 3  . 【解析】 【分析】 (1)①直接由已知即可得出 AO=PO,∠AOE=∠POC,OE=OC,即可证明; ②由(1)得△AOE≌△POC,可得∠1=∠OPC,根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC,即可得出答 案; (2)当 C 最大时,可知此时 CP 与小半圆相切,可得 CP⊥OP,然后根据 2 2 2OC OA OP   ,可得 在 Rt△POC 中,∠C=30°,∠POC=60°,可得出∠EOD,即可求出 S 扇 EOD. 【详解】(1)①在△AOE 和△POC 中 = AO PO AOE POC OE OC     ∠ ∠ , ∴△AOE≌△POC; ②∠2=∠C+∠1,理由如下: 由(1)得△AOE≌△POC, ∴∠1=∠OPC, 根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC, ∴∠2=∠C+∠1; (2)在 P 点的运动过程中,只有 CP 与小圆相切时∠C 有最大值, ∴当 C 最大时,可知此时CP 与小半圆相切, 由此可得 CP⊥OP, 又∵ 2 2 2OC OA OP   , ∴可得在 Rt△POC 中,∠C=30°,∠POC=60°, ∴∠EOD=180°-∠POC=120°, ∴S 扇 EOD= 2120 360 R   = 4 3  . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的外角,切线的性质,扇形面积的计算,掌握知识 点灵活运用是解题关键. 23.用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木 板,实验发现:木板承重指数W 与木板厚度 x (厘米)的平方成正比,当 3x  时, 3W  . (1)求W 与 x 的函数关系式. (2)如图,选一块厚度为 6 厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设 薄板的厚度为 x (厘米),Q W W 厚 薄 . ①求Q 与 x 的函数关系式; ② x 为何值时,Q 是W薄 的 3 倍? 【注:(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围】 【答案】(1) 21 3W x ;(2)① 12 4Q x  ;② 2cmx  . 【解析】 【分析】 (1)设 W=kx2,利用待定系数法即可求解; (2)①根据题意列出函数,化简即可;②根据题意列出方程故可求解. 【详解】(1)设 W=kx2, ∵ 3x  时, 3W  ∴3=9k ∴k= 1 3 ∴W 与 x 的函数关系式为 21 3W x ; (2)①∵薄板的厚度为 xcm,木板的厚度为 6cm ∴厚板的厚度为(6-x)cm, ∴Q= 2 21 1(6 ) 4 123 3x x x    ∴Q 与 x 的函数关系式为 12 4Q x  ; ②∵Q 是W薄 的 3 倍 ∴-4x+12=3× 21 3 x 解得 x1=2,x2=-6(不符题意,舍去) 经检验,x=2 是原方程的解, ∴x=2 时,Q 是W薄 的 3 倍. 【点睛】此题主要考查函数与方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解. 24.表格中的两组对应值满足一次函数 y kx b  ,现画出了它的图象为直线l ,如图.而某同学为观察 k ,b 对图象的影响,将上面函数中的 k 与b 交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l . x -1 0 y -2 1 (1)求直线l 的解析式; (2)请在图上画出..直线l (不要求列表计算),并求直线l 被直线l 和 y 轴所截线段的长; (3)设直线 y a 与直线 l ,l 及 y 轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接..写出 a 的值. 【答案】(1) l : 3 1y x= + ;(2)作图见解析,所截线段长为 2 ;(3) a 的值为 5 2 或 17 5 或 7 【解析】 【分析】 (1)根据待定系数法即可求解; (2)根据题意得到直线l ,联立两直线求出交点坐标,再根据两点间的距离公式即可求解; (3)分对称点在直线 l,直线l 和 y 轴分别列式求解即可. 【详解】(1)依题意把(-1,-2)和(0,1)代入 y kx b  , 得 2 1 k b b       , 解得 3 1 k b    , ∴直线 l 的解析式为 3 1y x= + , (2)依题意可得直线l 的解析式为 3y x= + , 作函数图像如下: 令 x=0,得 y=3,故 B(0,3), 令 3 1 3 y x y x      , 解得 1 4 x y    , ∴A(1,4), ∴直线 l 被直线l 和 y 轴所截线段的长 AB= 2 2(1 0) (4 3) 2    ; (3)①当对称点在直线 l 上时, 令 3 1a x= + ,解得 x= 1 3 a  , 令 3a x  ,解得 x= 3a  , ∴2× 1 3 a  =a-3, 解得 a=7; ②当对称点在直线l 上时, 则 2×(a-3)= 1 3 a  , 解得 a=17 5 ; ③当对称点在 y 轴上时, 则 1 3 a  +( 3a  )=0, 解得 a= 5 2 ; 综上: a 的值为 5 2 或 17 5 或 7. 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合,解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐 标的对称性. 25.如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3 和 5 的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则: 裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动. ①若都对或都错,则甲向东移动 1 个单位,同时乙向西移动 1 个单位; ②若甲对乙错,则甲向东移动 4 个单位,同时乙向东移动 2 个单位; ③若甲错乙对,则甲向西移动 2 个单位,同时乙向西移动 4 个单位. (1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率 P ; (2)从图的位置开始,若完成了 10 次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对 n 次, 且他最终..停留的位置对应的数为 m ,试用含 n 的代数式表示 m ,并求该位置距离原点O 最近时 n 的值; (3)从图的位置开始,若进行了 k 次移动游戏后,甲与乙的位置相距 2 个单位,直接..写出 k 的值. 【答案】(1) 1 4P  ;(2) 25 6m n  ;当 4n  时,距离原点最近;(3) 3k  或 5 【解析】 【分析】 (1)对题干中三种情况计算对应概率,分析出正确的概率即可; 硬币朝上为正面、反面的概率均为 1 2 , 甲和乙猜正反的情况也分为三种情况: ①甲和乙都猜正面或反面,概率为 1 2 , ②甲猜正,乙猜反,概率为 1 4 , ③甲猜反,乙猜正,概率为 1 4 , (2)根据题意可知乙答了 10 次,答对了 n 次,则打错了(10-n)次,再根据平移的规则推算出结果即可; (3)刚开始的距离是 8,根据三种情况算出缩小的距离,即可算出缩小的总距离,分别除以 2 即可得到结 果; 【详解】(1)题干中对应的三种情况的概率为: ① 1 1 1 1 1+ =2 2 2 2 2  ; ② 1 1 1 1 1+ =2 4 2 4 4  ; ③ 1 1 1 1 1+ =2 4 2 4 4  ; 甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②,故 P= 1 4 . (2)根据题意可知乙答了 10 次,答对了 n 次,则打错了(10-n)次, 根据题意可得,n 次答对,向西移动 4n, 10-n 次答错,向东移了 2(10-n), ∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n, ∴当 n=4 时,距离原点最近. (3)起初,甲乙的距离是 8, 易知,当甲乙一对一错时,二者之间距离缩小 2, 当甲乙同时答对打错时,二者之间的距离缩小 2, ∴当加一位置相距 2 个单位时,共缩小了 6 个单位或 10 个单位, ∴6 2=3 或10 2=5 , ∴ 3k  或 5k  . 【点睛】本题主要考查了概率的求解,通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键. 26.如图 1 和图 2,在 ABC 中,AB AC , 8BC  , 3tan 4C  .点 K 在 AC 边上,点 M ,N 分别在 AB , BC 上,且 2AM CN  .点 P 从点 M 出发沿折线 MB BN 匀速移动,到达点 N 时停止;而点Q 在 AC 边上随 P 移动,且始终保持 APQ B   . (1)当点 P 在 BC 上时,求点 P 与点 A 的最短距离; (2)若点 P 在 MB 上,且 PQ 将 ABC 的面积分成上下 4:5 两部分时,求 MP 的长; (3)设点 P 移动的路程为 x ,当 0 3x  及3 9x  时,分别求点 P 到直线 AC 的距离(用含 x 的式子 表示); (4)在点 P 处设计并安装一扫描器,按定角 APQ 扫描 APQ 区域(含边界),扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒.若 9 4AK  ,请直接..写出点 K 被扫描到的总时长. 【答案】(1) 3 ;(2) 4 3MP  ;(3)当 0 3x  时, 24 48 25 25d x  ;当 3 9x  时, 3 33 5 5d x   ; (4) 23t s 【解析】 【分析】 (1)根据当点 P 在 BC 上时,PA⊥BC 时 PA 最小,即可求出答案; (2)过 A 点向 BC 边作垂线,交 BC 于点 E,证明△APQ∽△ABC,可得 2 APQ ABC S AP S AB        ,根据 S S 上 下 = 4 5 可 得 2 4= 9 APQ ABC S AP S AB        ,可得 2 3 AP AB  ,求出 AB=5,即可解出 MP; (3)先讨论当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动,P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC,求解即可,再讨论当 3≤x≤9 时, P 在 BN 上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,根据 d=CP·sinC 即可得出答案; (4)先求出移动的速度= 9 36 = 1 4 ,然后先求出从 Q 平移到 K 耗时,再求出不能被扫描的时间段即可求出时 间. 【详解】(1)当点 P 在 BC 上时,PA⊥BC 时 PA 最小, ∵AB=AC,△ABC 为等腰三角形, ∴PAmin=tanC· 2 BC = 3 4 ×4=3; (2)过 A 点向 BC 边作垂线,交 BC 于点 E, S 上=S△APQ, S 下=S 四边形 BPQC, ∵ APQ B   , ∴PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC, ∴ AP AD PQ AB AC BC   , ∴ 2 APQ ABC S AP S AB        , 当 S S 上 下 = 4 5 时, 2 4= 9 APQ ABC S AP S AB        , ∴ 2 3 AP AB  , AE= 2 BC · tan 3C  , 根据勾股定理可得 AB=5, ∴ 2 2 5 3 AP MP AB   , 解得 MP= 4 3 ; (3)当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动, P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC, 由(2)可知 sinC= 3 5 , ∴d= 3 5 PQ, ∵AP=x+2, ∴ 2 5 AP x PQ AB BC   , ∴PQ= 2 85 x   , ∴d= 2 385 5 x    = 24 48 25 25x  , 当 3≤x≤9 时,P 在 BN 上运动, BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x, d=CP·sinC= 3 5 (11-x)=- 3 5 x+ 33 5 , 综上     24 48 0 325 25 3 33 3 95 5 x x d x x          ; (4)AM=2