九年级下册数学人教版知识要点汇总 8页

人教版九年级数学下册知识点总结 第二十六章、反比例函数 知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函 数的概念 （1）定义：形如 y＝ k x (k≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量 的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下 2 种基本形式： ①y＝ k x ；②y=kx-1; ③xy=k.(其中 k 为常数，且 k≠0) 例：函数 y=3xm+1，当 m=－2 时，则该函数是反比例函数． 2.反比例函 数 的 图 象 和性质 k 的符号 图象 经过象限 y 随 x 变化的情况 k>0 图 象 经 过 第 一、三象限 （x、y 同号） 每个象限内，函数 y 的值 随 x 的增大而减小. k<0 图 象 经 过 第 二、四象限 （x、y 异号） 每个象限内，函数 y 的值 随 x 的增大而增大. 3.反比例函 数的图象 特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴，但都不会与 x 轴和 y 轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称轴分 别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 4.待定系数 法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数 k 即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是 y=3/x 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页 5.系数 k 的 几何意义 （1）意义：从反比例函数 y＝ k x (k≠0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂 线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角 形的面积为 1/2|k|. （2）常见的面积类型： 失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则 k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为 3，则该反比 例函数解析式为： 3y x  或 3y x   6.与一次函 数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式， 利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函 数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系， 可采用假设法，分 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方 的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时，①要善于把点 的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直 接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形 面积；②也要注意系数 k 的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从 小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD 知识点三：反比例函数的实际应用 7 . 一 般 步 骤 （1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2 设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十七章、相似 知识点一：比例线段 1. 比例 线段 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a c b d  ， 那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例 的 基 本 性 质 (1)基本性质： a c b d  ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质： a c b d  a b b  ＝ c d d  ；（b、d≠0） (3)等比性质： a c b d  ＝…＝ m n ＝k(b＋d＋…＋n≠0) ... ... a c m b d n       ＝k.（b、d、···、n≠0） 3.平行线 分 线 段 成 比 例 定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比 例.即如图所示，若 l3∥l4∥l5，则 AB DE BC EF  . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若 AB∥CD，则 OA OB OD OC  . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形和原三角形相似． 如图所示，若 DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 4.黄金分 割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC AB ＝= 5－1 2 ≈0.618，那 么线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比． 例：把长为 10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 5( 5－1)cm 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5.相似三 角 形 的 判 定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形 相似． 如图，若∠A＝∠D， AC AB DF DE  ， 则 △ ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如 图 ， 若 AB AC BC DE DF EF   ，则△ABC∽△DEF. 6.相似 三角形的 性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的 比、对应角平分线的比和对应中线 的比等于相似比． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 9：4. (2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知 S△ADE:S△ABC=1:4，则 AF:AG=1：2. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十八章、锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数的定义 1. 锐 角 三 角函数 正弦: sinA＝ ∠A 的对边 斜边 ＝ a c 余弦: cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 ＝ b c 正切: tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ＝ a b . 2. 特 殊 角 的 三 角 函 数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA 1 2 2 2 3 2 cosA 3 2 2 2 1 2 tanA 3 3 1 3 知识点二 ：解直角三角形 3. 解 直 角 三 角 形 的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个 锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形． 4. 解 直 角 三 角 形 的 常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB= a c ，cosA＝sinB= b c ， tanA＝ a b . 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页 知识点三 ：解直角三角形的应用 5.仰角、俯 角 、 坡 度、坡角 和 方 向 角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方 的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡 比)，用字母 i 表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用α表示，则有 i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一 条铅垂线(向上为北向)，则从点 O 出发的视线与水平线或铅垂 线所夹的角，叫做观测的方向角． 6. 解 直 角 三 角 形 实 际 应 用 的 一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际 问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到 问题的解． 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： （1） 叠合式 （2）背靠式 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往 通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等， 列方程求解.例如 17 年 14 年中考题 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十九章、投影与视图 知识点一：三视图 内 容 1.三视图 主视图俯视图左视图 2. 三 视 图 的 对 应 关 系 (1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正； (2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐； (3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行． 3. 常 见 几 何 体 的 三 视 图 常 见 几 何 体 的 三视图 正方体：正方体的三视图都是正方形. 圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆. 圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆. 球的三视图都是圆. 例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体 的体积是 36 . 知识点二 ：投影 4.平行投影 由平行光线形成的投影． 在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角 形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页 程求出的影长． 例：小明和他的同学在太阳下行走，小明身高 1.4 米，他 的影长为 1.75 米，他同学的身高为 1.6 米，则此时他的 同学的影长为 2 米． 5.中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影． 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页