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- 2021-11-06 发布
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2019 年杭州市中考数学试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符
合题目要求)
1.计算下列各式,值最小的是 ( )
A. B. C. D.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 与 点 关 于 y 轴 对 称 , 则
( )
A. , B. , C. , D. ,
3. 如 图 , P 为 外 一 点 , PA 、 PB 分 别 切 于 A 、 B 两 点 , 若 , 则
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知九年级某班 30 位同学种树 72 棵,男生每人种 3 棵,女生每人种 2 棵,设男生 x 人,则
( )
A. B. C. D.
5.点点同学对数据 26,36,36,46,5■,52 进行统计分析,发现其中一个两位数被墨水涂污看不
到了,则计算结果与被涂污数字无关的是 ( )
A .平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差[来源:学科网 ZXXK]
6.如图, 在 中,D、E 分别在 AB 边和 AC 边上, ,M 为 BC 边上一点(不与 B、C
重 合 ) , 连 结 AM 交 DE 于 点 N , 则
( )
A. B. C. D.
第 3 题图 第 6 题图 第 9 题图
7.在 中,若一个内角等于另外两个角的差,则 ( )
O
B
A
P E
N
M
D
CB
A
2 0+1 9´ - 2 0 1 9+ ´ - 2 0 1 9+ - ´ 2 0 1 9+ + -
( ),2A m ( )3,b n
3m = 2n = 3m = - 2n = 2m = 3n = 2m = - 3n =
O O 3PA = PB =
( )2 3 72 30x x+ - = ( )3 2 72 30x x+ - = ( )2 3 30 72x x+ - = ( )3 2 30 72x x+ - =
ABC△ //DE BC
AD AN
AN AE= BD MN
MN CE= DN NE
BM MC= DN NE
MC BM=
ABC△
A.必有一个角等于 B. 必有一个角等于
C. 必有一个角等于 D. 必有一个角等于
8.已知一次函数 和 ,函数 和 的图像可能是 ( )
A. B. C. D.
9.如图,一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边,( ,点 A、B、C、D、O 在同一平面内),已知
, , . 则 点 A 到 OC 的 距 离 等 于
( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中,已知 ,设函数 的图像与 x 轴有 M 个好点,函数
的图像与 x 轴有 N 个交点,则 ( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.因式分解: .
12.某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x,第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y,则这
个数据的平均数等于 .
13.如图,一个圆锥形冰激凌外壳(不计厚度).已知其母线长为 ,底面圆半径为 ,则这个
冰激凌外壳的侧面积等于 (计算结果精确到个位).
y
x1O
y
x1O
y
x
1
O
y
x
1O
30° 45°
60° 90°
2y ax b= + 2y bx a= + 1y 2y
OC OB^
AB a= AD b= BOC xÐ =
sin sina x b x+ cos cosa x b x+ sin cosa x b x+ cos sina x b x+
a b¹ ( )( )y x a x b= + +
( )( )1 1y ax bx= + +
1M N= - 1M N= + 1M N= - 2M N= +
M N= 1M N= + M N= 1M N= -
21 x- =
( )m n+
12cm 3cm
2cm
第 13 题图 第 16 题图
14.在直角三角形 ABC 中,若 ,则 .
15.某函数满足当自变量 时,函数值 ;当自变量 时,函数值 ,写出一个满足条件
的函数表达式 .
16.如图,把矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠(点 E、H 在 AD 边上,点 F、G 在 BC 边上),使得点
B、点 C 落在 AD 边上同一点 P 处,点 A 的对称点为 ,点 D 的对称点为 ,若 ,
的面积为 4, 的面积为 1,则矩形的面积等于 .
三、解答题(本大题有 7 个小题,共 66 分)
17.(本题满分 6 分)
化简:
圆圆的解答如下:
圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确答案.
D1
A1
G
P
F
E
C
D
B
A
2AB AC= cosC =
1x = 0y = 0x = 1y =
A¢ D¢ 90FPGÐ = °
A EP¢△ D PH¢△
2
4 2 14 2
x
x x- -- -
( ) ( )2
2
2
4 2 1 4 2 2 44 2
2
x x x xx x
x x
- - = - + - -- -
= - +
质量(千克)
序号
-3
-2
-1
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
质量(千克)
序号54321
54
53
52
51
50
49
48
47
18.(本题满分 8 分)称重五筐水果的重量,若每筐以 50 千克为基准,超过部分的千克记为正数,
不足基准部分的千克记为负数,甲组为实际称重读数,乙组为记录数据,并把实际所得的数据整
理形成以下统计表和未完成的统计图(单位:千克)
⑴补充完整乙组数据的折线统计图;
⑵①甲、乙两组数据的平均数分别为 、 ,写出 与 之间的等量关系;
②甲、乙两组数据的平均数分别为 、 ,比较 与 的大小,并说明理由.
19.(本题满分 8 分)如图,在 中, .
⑴已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P 连结 AP,求证: ;
⑵以点 B 为圆心,线段 AB 为半径画弧,与 BC 边交于点 Q,连结 AQ,若 ,求 的
度数.
实际称重读数和记录数据统计表
4-1-32-2
5449475248
54321
乙组
甲组
数据
序号
P
CB
A
Q
A
B C
x甲 x乙 x甲 x乙
2S甲
2S乙
2S甲
2S乙
ABC△ AC AB BC< <
2APC BÐ = Ð
3AQC BÐ = Ð BÐ
20.(本题满分 10 分)方方驾驶小汽车匀速 地从 A 地行使到 B 地,行驶里程为 480 千米,设小汽车
的行使时间为 t(单位:小时),行使速度为 v(单位:千米/小时),且全程速度不超过 120 千
米/小时.
⑴求 v 关于 t 的函数表达式;
⑵方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 出发.
①方方需要当天 12 点 48 分至 14 点)间到达 B 地,求小汽车行使速度 v 的范围.
②方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地?说明理由.
21.(本题满分 10 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,正方形 CEFG 的面积为 ,点 E 在 CD
边上,点 G 在 BC 延长线上,设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 ,且 .
⑴求线段 CE 的长;
⑵ 若点 H 为 BC 的中点,连结 HD,求证: .
22.(本题满分 12 分)设二次函数 ( 、 是实数).
G
FE
H
D
C
B
A
1S
2S 1 2S S=
HD HG=
( )( )1 2y x x x x= - - 1x 2x
⑴甲求得当 时, ;当 时, ,乙求得当 时, .若甲求得的结果都
正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由;
⑵写出二次函数的 对称轴,并求出该函数的最小值,(用含 、 的代数式表示);
⑶已知二次函数的图像经过 , 两点(m、n 是实数),当 时,
求证: .
23.(本题满分 12 分)如图,锐角 内接于⊙O( ), 于点 D,连结 AO.
⑴若 .
①求证: ;
②当 时,求 面积的最大值;
⑵点 E 是 OA 上一点,且 ,记 , (m、n 是正数),
若 ,求证:
数学参考答案
一.选择题:本大题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.
O
E
D CB
A
0x = 1y = 1x = 0y = 1
2x = 1
2y = -
1x 2x
( )0 , m ( )1 , n 1 20 1x x< < <
10 16mn< <
ABC△ AB AC> OD BC^
60BACÐ = °
1
2OD OA=
1OA = ABC△
OE OD= ABC m OEDÐ = Ð ACB n OEDÐ = Ð
ABC ACBÐ <Ð 2 0m n- + =
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B C D A D C
二.填空题:本大题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.
11. 12. 13.113 14. ,
15. 或 或 等 16.
三.解答题:本大题有 7 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来源:学科网]
17.(本题满分6 分)
圆圆的解答不正确.正确解答如下:
原式
.
18.(本题满分 8 分)
(1)补全折线统计图,如图所示.
(2)① .
② ,理由如下:
因为
(1 )(1 )x x+ − mx ny
m n
+
+
3
2
2 5
5
1y x= − + 2 1y x= − + 1y x= − 10 6 5+
24 2( 2) 4
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x
x x x x x x
+ −= − −+ − + − + −
24 (2 4) ( 4)
( 2)( 2)
x x x
x x
− + − −= + −
( 2)
( 2)( 2)
x x
x x
− −= + −
2
x
x
= − +
50x x= +甲 乙
2 2S S=甲 乙
2 2 2 2 2 21[( 2 ) (2 ) ( 3 ) ( 1 ) (4 ) ]5S x x x x x= − − + − + − − + − − + −乙 乙 乙 乙 乙乙
,
所以 .
19.(本题满分 8 分)
(1)证明:因为点 P 在 AB 的垂直平分线上,
所以 PA=PB,
所以∠PAB=∠B,
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
(2)根据题意,得 BQ=BA,
所以∠BAQ=∠BQA,
设∠B=x,
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x,
所以∠BAQ=∠BQA=2x,
在△ABQ 中,x+2x+2x=180°,
解得 x=36°,即∠B=36°.
20.(本题满分 10 分)
(1)根据题意,得 ,
所以 ,
因为 ,
所以当 时, ,
2 2 2 2 21[(48 50 ) (52 50 ) (47 50 ) (49 50 ) (54 50 ) ]5 x x x x x= − − + − − + − − + − − + − −乙 乙 乙 乙 乙
2 2 2 2 21[(48 ) (52 ) (47 ) (49 ) (54 ) ]5 x x x x x= − + − + − + − + −甲 甲 甲 甲 甲
2S= 甲
2 2S S=甲 乙
480vt =
480v t
=
480 0>
120v ≤ 4t ≥
所以
(2)①根据题意,得 ,
因为 ,
所以 ,
所以
[来源:学#科#网]
②方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下:
若方方要在 11 点 30 分前到达 B 地,则 ,
所以 ,所以方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.
21.(本题满分 10 分)
根据题意,得 AD=BC=CD=1,∠BCD=90°.
(1)设 CE=x(0
480 480
6 4.8v≤ ≤
80 100v≤ ≤
3.5t <
480 1203.5v > >
5 1
2
−
5 1
2
−
1
2
5
2
5 1
2
−
1
2
5 1
2
− 5
2
22.(本题满分 12 分)
(1)乙求得的结果不正确,理由如下:
根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0),
所以 ,
当 时, ,
所以乙求得的结果不正确.
(2)函数图象的对称轴为 ,
当 时,函数有最小值 M,
(3)因为 ,
所以 , ,
所以
因为 ,并结合函数 的 图象,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以
23.(本题满分 12 分)
(1)①证明:连接 OB,OC,
( 1)y x x= −
1
2x = 1 1 1 1( 1)2 2 4 2y = × − = − ≠ −
1 2
2
x xx
+=
1 2
2
x xx
+=
2
1 2 1 2 1 2
1 2
( )
2 2 4
x x x x x xM x x
+ + − = − − = −
1 2( )( )y x x x x= − −
1 2m x x= 1 2(1 )(1 )n x x= − −
2 2
1 2 1 2 1 1 2 2(1 )(1 ) ( )( )mn x x x x x x x x= − − = − −
2 2
1 2
1 1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ]2 4 2 4x x= − − + ⋅ − − +
1 20 1x x< < < (1 )y x x= −
2
1
1 1 10 ( )2 4 4x< − − + ≤ 2
2
1 1 10 ( )2 4 4x< − − + ≤
10 16mn< ≤
1 2x x≠ 10 16mn< <
因为 OB=OC,OD⊥BC,
所以∠BOD= ∠BOC= ×2∠BAC=60°,
所以 OD= OB= OA
②作 AF⊥ BC,垂足为点 F,
所以 AF≤AD≤AO+OD= ,等号当点 A,O,D 在同一直线上
时取到
由①知,BC=2BD= ,
所以△ABC 的面积
即△ABC 面积的最大值是
(2)设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β,
因为△ABC 是锐角三角形,
所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°,[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
即 (*)
又因为∠ABC<∠ACB,
所以∠EOD=∠AOC+∠DOC
因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,
所以 (**)
由(*),(**),得 ,
即
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1 1 3 33 32 2 2 4BC AF= ⋅ ≤ × × =
3 34
( ) 180m n α β+ + =
2mα β= +
2( 1) 180m α β+ + =
2( 1)m n m+ = +
2 0m n− + =
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