2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题9 一元二次方程及其应用 14页

一元二次方程及其应用 一、选择题 ‎1. （2020·四川省攀枝花市·3分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C．0 D．1‎ ‎【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，‎ ‎∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，‎ 解得：，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．‎ ‎2. （2020•四川省自贡市•4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 （）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得，，得，故答案为A ‎（2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5分）下列关于x的方程有两个不相等实数根的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逐一计算，根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可得到答案．‎ ‎【详解】解：由所以方程有两个相等的实数根，故A不符合题意，‎ 由所以方程没有实数根，故B不符合题意，‎ 由所以方程没有实数根，故C不符合题意，‎ 由所以方程有两个不相等的实数根，故D符合题意，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．‎ ‎3.（2020•辽宁省营口市•3分）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）‎ A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 ‎ C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3‎ ‎【分析】利用因式分解法解方程．‎ ‎【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，‎ x﹣2＝0或x﹣3＝0，‎ 所以x1＝2，x2＝3．‎ 故选：D．‎ ‎4. (2020•山东省泰安市•4分)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x+a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(　　)‎ A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，69‎ ‎【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，则x2－8x+16＝5+16，即(x－4)2＝21，∴a＝－4，b＝21，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎5. (2020•山东省潍坊市•3分)关于x的一元二次方程x2+(k－3)x+1－k＝0根的情况，下列说法正确的是(　　)‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．无实数根 D．无法确定 ‎【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝(k－1)2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．‎ ‎【解答】解：△＝(k－3)2－4(1－k)＝k2－6k+9－4+4k＝k2－2k+5＝(k－1)2+4，‎ ‎∴(k－1)2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选A．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与△＝b2－4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．‎ ‎6.（2020年山东省滨州市3分）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 ‎【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，‎ ‎△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，‎ 不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，‎ 即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，‎ 所以方程没有实数根，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（A.B.c为常数，a≠0），当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．‎ ‎7.（2020•山东菏泽市•3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．3或4 D．7‎ ‎【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．‎ ‎【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，‎ 解得：k＝3；‎ 当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，‎ 解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．‎ ‎∴k的值为3或4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．‎ ‎8.（2020•山东聊城市•3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）‎ A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ ‎ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝‎ ‎【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣移项，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．‎ ‎【解答】解：由原方程，得 x2﹣x＝，‎ x2﹣x+＝+，‎ ‎（x﹣）2＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎9.（2020•山东临沂市•3分）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）‎ A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 ‎ C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2‎ ‎【分析】方程利用配方法求出解即可．‎ ‎【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，‎ 移项得：x2﹣4x＝8，‎ 配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，‎ 开方得：x﹣2＝±2，‎ 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎10. （2020•贵州省黔西南州•4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1‎ ‎【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，‎ ‎∴，‎ 解得：m≤2且m≠1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．‎ ‎2.（2020•安徽省•4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）‎ A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0‎ ‎【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．‎ ‎【解答】解：A.△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；‎ B.△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；‎ C.△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；‎ D.△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎11. （2020•四川省凉山州•4分）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）‎ A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2‎ ‎【分析】移项后利用因式分解法求解可得．‎ ‎【解答】解：∵x2＝2x，‎ ‎∴x2﹣2x＝0，‎ 则x（x﹣2）＝0，‎ ‎∴x＝0或x﹣2＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎1.（2020•江西省•3分）若关于的一元二次方程的一个根为 ‎，则这个一元二次方程的另一个根为 ．‎ ‎【解析】设一元二次方程的两根为，并设，根据，可得，∴另外一根为-2，故答案为-2‎ ‎2.（2020•辽宁省本溪市•3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．‎ ‎【分析】根据根的判别式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，‎ ‎∴k＜﹣1，‎ 故答案为：k＜﹣1‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．‎ ‎3. (2020•山东省威海市•3分)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为　 　．‎ ‎【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．‎ ‎【解答】解：4x(x－2)＝x－2，4x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(4x－1)＝0，‎ x－2＝0或4x－1＝0，解得x1＝2，x2＝．故答案为x1＝2，x2＝．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程－因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．‎ ‎4. (2020•山东省枣庄市•4分)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．‎ ‎【解答】解：把x＝0代入(a－1)x2－2x+a2－1＝0得a2－1＝0，解得a＝±1，‎ ‎∵a－1≠0，∴a＝－1．故答案为－1．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．‎ ‎5. （2020•山东淄博市•4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m ‎＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＜　．‎ ‎【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ‎∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，‎ 解得m＜，‎ 故答案为m＜．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎6. （2020•四川省成都市•4分）关的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．‎ ‎【详解】解：由题意知，△=≥0，‎ ‎∴，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎7. （2020•四川省甘孜州•4分）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．‎ ‎【详解】解：解方程得x1=2，x2=6，‎ 当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；‎ 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.‎ 故答案为：17．‎ ‎【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎8. 2020年青海省在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案．‎ ‎【详解】解：将，代入一元二次方程得，‎ 解得：，‎ ‎∵小明看错了一次项，‎ ‎∴c的值为6，‎ 将，代入一元二次方程得，‎ 解得：，‎ ‎∵小刚看错了常数项，‎ ‎∴b=-5，‎ ‎∴一元二次方程为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．‎ ‎9. （2020•甘肃省天水市•4分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．‎ ‎【详解】解：∵x2-8x+12=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴x1=2，x2=6，‎ ‎∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，‎ ‎∴三角形的第三边长是6，‎ ‎∴该三角形的周长为：2+5+6=13．‎ 故答案为：13．‎ ‎【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．‎ ‎10. （2020•北京市•2分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　1　．‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝22﹣4×1×k＝0，‎ 解得：k＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．‎ ‎12.（2020•贵州省黔西南州•3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了　10　个人．‎ ‎【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程．‎ ‎【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．‎ 依题意，得1+x+x（1+x）＝121，‎ 即（1+x）2＝121，‎ 解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．‎ 答：每轮传染中平均每人传染了10人．‎ ‎【点评】共有121人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题有区别．‎ ‎13. （2020•四川省泸州市•3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7‎ 所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ‎≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．‎ ‎14. （2020•四川省内江市•5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　﹣　．‎ ‎【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．‎ ‎【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得，‎ ‎（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，‎ 解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），‎ 当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，‎ 由根与系数的关系得：x1•x2＝，又x1＝﹣1，‎ ‎∴x2＝﹣‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．‎ ‎15. （2020•四川省乐山市•3分）已知，且．则的值是_________．‎ ‎【答案】4或-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．‎ ‎【详解】‎ 将两边同除以得：‎ 令 则 因式分解得：‎ 解得或 即的值是4或 故答案为：4或．‎ ‎【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．‎ 三、解答题 ‎1. （2020•四川省南充市•10分）已知，是一元二次方程的两个实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；‎ ‎（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，‎ ‎∴‎ 解得；‎ ‎（2）由一元二次方程根与系数关系，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即，解得．‎ 又由（1）知：，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．‎