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- 2021-11-06 发布
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浙江省衢州市2019年中考数学试卷(解析版)
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.在 ,0,1,-9四个数中,负数是( )
A. B. 0 C. 1 D. -9
【答案】 D
【考点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解:∵-9<0< <1,
∴负数是-9.
故答案为:D.
【分析】负数:任何正数前加上负号都等于负数;负数比零、正数小, 在数轴线上,负数都在0的左侧.
2.浙江省陆域面积为101800平方千米,其中数据101800用科学记数法表示为( )
A. 0.1018×105 B. 1.018×105 C. 0.1018×105 D. 1.018×106
【答案】 B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解:∵101800=1.018×105.
故答案为:B.
【分析】科学记数法:将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,由此即可得出答案.
3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
A B C D[来源:学科网]
【答案】 A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:从物体正面观察可得,
左边第一列有2个小正方体,第二列有1个小正方体.
故答案为:A.
【分析】主视图:从物体正面观察所得到的图形,由此观察即可得出答案.[来源:Zxxk.Com]
4.下列计算正确的是( )
A. a6+a6=a12 B. a6×a2=a8 C. a6÷a2=a3 D. (a6)2=a8
【答案】 B
【考点】同底数幂的乘法,同底数幂的除法,合并同类项法则及应用,幂的乘方
【解析】【解答】解:A.∵a6+a6=2a6 , 故错误,A不符合题意;
B.∵a6×a2=a6+2=a8 , 故正确,B符合题意;
C.∵a6÷a2=a6-2=a4 , 故错误,C不符合题意;
D.∵(a6)2=a2×6=a12 , 故错误,D不符合题意;
故答案为:B.
【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误;B.根据同底数幂的乘法:底数不变,指数相加,依此计算即可判断正确;C.根据同底数幂的除法:底数不变,指数相减,依此计算即可判断错误;D.根据幂的乘方:底数不变,指数相乘,依此计算即可判断错误.
5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是( )
A. 1 B. C. D.
【答案】 C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解:依题可得,
箱子中一共有球:1+2=3(个),
∴从箱子中任意摸出一个球,是白球的概率P= .
故答案为:C.
【分析】结合题意求得箱子中球的总个数,再根据概率公式即可求得答案.
6.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( )
A. (1,3) B. (1,-3) C. (-1,3) D. (-1,-3)
【答案】 A
【考点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
【解析】【解答】解:∵y=(x-1)2+3,
∴二次函数图像顶点坐标为:(1,3).
故答案为:A.
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵OC=CD=DE,
∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,
设∠O=∠ODC=x,
∴∠DCE=∠DEC=2x,
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x,
∵∠BDE=75°,
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°,
即x+180°-4x+75°=180°,
解得:x=25°,
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为:D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x,∠CDE=180°-4x,根据平角性质列出方程,解之即可的求得x值,再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
8.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D,现测得AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为( )
A. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm
【答案】 B
【考点】垂径定理的应用
【解析】解:连结OD,OA,如图,设半径为r,
∵AB=8,CD⊥AB,
∴AD=4,点O、D、C三点共线,
∵CD=2,
∴OD=r-2,
在Rt△ADO中,
∵AO2=AD2+OD2 , ,
即r2=42+(r-2)2 ,
解得:r=5,
故答案为:B.
【分析】连结OD,OA,设半径为r,根据垂径定理得AD=4,OD=r-2,在Rt△ADO中,由勾股定理建立方程,解之即可求得答案.
9.如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】 C
【考点】等边三角形的性质
【解析】解:如图,作BG⊥AC,
依题可得:△ABC是边长为2的等边三角形,
在Rt△BGA中,
∵AB=2,AG=1,
∴BG= ,
即原来的纸宽为 .
故答案为:C.
【分析】结合题意标上字母,作BG⊥AC,根据题意可得:△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△BGA中,根据勾股定理即可求得答案.
10.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C,设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
A B C D
【答案】 C
【考点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解:①当点P在AE上时,
∵正方形边长为4,E为AB中点,
∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x,
∴PE=x,
∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x,
②当点P在AD上时,
∵正方形边长为4,E为AB中点,
∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x,
∴AP=x-2,DP=6-x,
∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ,
=4×4- ×2×4- ×2×(x-2)- ×4×(6-x),
=16-4-x+2-12+2x,
=x+2,
③当点P在DC上时,
∵正方形边长为4,E为AB中点,
∴AE=2,
∵P点经过的路径长为x,
∴PD=x-6,PC=10-x,
∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×(10-x)×4=-2x+20,
综上所述:y与x的函数表达式为:
y= .
故答案为:C.
【分析】结合题意分情况讨论:①当点P在AE上时,②当点P在AD上时,③当点P在DC上时,根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.
二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)
11.计算: =________。
【答案】
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵原式= .
故答案为: .
【分析】根据分式加减法法则:同分母相加,分母不变,分子相加减,依此计算即可得出答案.
12.数据2,7,5,7,9的众数是________ 。
【答案】 7
【考点】众数
【解析】【解答】解:将这组数据从小到大排列为:2,5,7,7,9,
∴这组数据的众数为:7.
故答案为:7.
【分析】众数:一组数据中出现次数最多的数,由此即可得出答案.
13.已知实数m,n满足 ,则代数式m2-n2的值为________ 。
【答案】 3
【考点】代数式求值
【解析】【解答】解:∵m-n=1,m+n=3,
∴m2-n2=(m+n)(m-n)=3×1=3.
故答案为:3.
【分析】先利用平方差公式因式分解,再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
14.如图,人字梯AB,AC的长都为2米。当a=50°时,人字梯顶端高地面的高度AD是________米(结果精确到0.1m。参考依据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
【答案】 1.5
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解:在Rt△ADC中,
∵AC=2,∠ACD=50°,
∴sin50°= ,
∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.
故答案为:1.5.
【分析】在Rt△ADC中,根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
15.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点, ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F。若y= (k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________ 。
【答案】 24
【考点】相似三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】解:作FG⊥BE,作FH⊥CD,如图,设A(-2a,0),D(0,4b),
依题可得:△ADO≌△EDO,
∴OA=OE,
∴E(2a,0),
∵B为OE中点,[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴B(a,0),
∴BE=a,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),
∴△BEF∽△CDF,
∴ ,
又∵D(0,4b),
∴OD=4b,
∴FG=b,
又∵S△BEF= ·BE·FG=1,
∴即 ab=1,
∴ab=2,
∵C(3a,4b)在反比例函数y= 上,
∴k=3a×4b=12ab=12×2=24.
故答案为:24.
【分析】作FG⊥BE,作FH⊥CD,设A(-2a,0),D(0,4b),由翻折的性质得:△ADO≌△EDO,根据全等三角形性质得OA=OE,结合题意可得E(2a,0),B(a,0),由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),根据相似三角形判定和性质得 ,从而得FG=b,由三角形面积公式得 ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.
16.如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。
(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则 的值为________ .
(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 , 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 , 依此类推,…,摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 , …,则顶点F2019的坐标为________ .
【答案】 (1)
(2)( , )
【考点】探索图形规律
【解析】(1)依题可得,CD=1,CB=2,
∵∠BDC+∠DBC=90°,∠OBA+∠DBC=90°,
∴∠BDC=∠OBA,
又∵∠DCB=∠BOA=90°,
∴△DCB∽△BOA,
∴ ;
( 2 )根据题意标好字母,如图,
依题可得:
CD=1,CB=2,BA=1,
∴BD= ,
由(1)知 ,
∴OB= ,OA= ,
易得:
△OAB∽△GFA∽△HCB,[来源:学科网]
∴BH= ,CH= ,AG= ,FG= ,
∴OH= + = ,OG= + = ,
∴C( , ),F( , ),
∴由点C到点F横坐标增加了 ,纵坐标增加了 ,
……
∴Fn的坐标为:( + n, + n),
∴F2019的坐标为:( + ×2019, + ×2019)=( ,405 ),
故答案为: ,( ,405 ).
【分析】(1)根据题意可得CD=1,CB=2,由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA,根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA,由相似三角形性质即可求得答案.(2)根据题意标好字母,根据题意可得CD=1,CB=2,BA=1,在Rt△DCB中,由勾股定理求得
BD= ,由(1)知 ,从而可得OB= ,OA= ,结合题意易得:△OAB∽△GFA∽△HCB,根据相似三角形性质可得BH= ,CH= ,AG= ,FG= ,从而可得
C( , ),F( , ),观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了 ,纵坐标增加了 ,依此可得出规律:Fn的坐标为:( + n, + n),将n=2019代入即可求得答案.
三、解答题(本题共有8小题,第17~19小题每小题6分,第20-21小题每小题8分,第22~23小题每小题10分,第24小题12分,共66分。请务必写出解答过程)
17.计算:|-3|+(π-3)0- +tan45°
【答案】 解:原式=3+1-2+1 =3
【考点】算术平方根,实数的运算,0指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值,实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的绝对值,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,二次根式一一计算即可得出答案.
18.已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连结AE,AF.求证:AE=AF.
【答案】 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF.
∴AE=CF
【考点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD,∠B=∠D,根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF,由全等三角形性质即可得证.
19.如图,在4×4的方格子中,△ABC的三个顶点都在格点上,
(1)在图1中画出线段CD,使CD⊥CB,其中D是格点,
(2)在图2中画出平行四边形ABEC,其中E是格点.
【答案】 (1)解:如图,
线段CD就是所求作的图形.
(2)解:如图,
ABEC就是所求作的图形
【考点】作图—复杂作图
【解析】【分析】(1)过点C作CD⊥CB,且点D是格点即可.(2)作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.
20.某校为积极响应“南孔圣地,衢州有礼”城市品牌建设,在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程,要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。
(1)请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。
(2)在扇形统计图中,求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。
(3)若该校共有学生1200人,估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人?
【答案】 (1)解:学生共有40人
条形统计图如图所示.
(2)解:选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=36°
(3)解:参与“礼源”课程的学生约有1200× =240(人)
【考点】用样本估计总体,扇形统计图,条形统计图
【解析】【分析】(1)根据统计表和扇形统计图中的数据,由总数=频数÷频率,频数=总数×频率即可得答案.(2)由条形统计图中可得“礼行”学生人数,由 ×360°,计算即可求得答案.(3)由条形统计图知“礼源”的学生人数,根据 ×全校总人数,计算即可求得答案.
21.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若DE= ,∠C=30°,求 的长。
【答案】 (1)证明:如图,连结OD.
∵OC=OD,AB=AC,
∴∠1=∠C,∠C=∠B,
∴∠1=∠B,
∴DE⊥AB,
∴∠2+∠B=90°,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE为⊙O的切线.
(2)解:连结AD,∵AC为⊙O的直径.
∴∠ADC=90°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,BD=CD,
∴∠AOD=60°.
∵DE= ,
∴BD=CD=2 ,
∴OC=2,…6分
∴AD= π×2= π
【考点】圆周角定理,切线的判定,弧长的计算
【解析】【分析】(1)连结OD,根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B,由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°,等量代换得∠2+∠1=90°,由平角定义得∠DOE=90°,从而可得证.(2)连结AD,由圆周角定理得∠ADC=90°,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中,由直角三角形性质得BD=CD=2 ,在Rt△ADC中,由直角三角形性质得OA=OC=2,再由弧长公式计算即可求得答案.
22.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:
x(元)
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象。
(2)求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.
(3)设客房的日营业额为w(元)。若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元?
【答案】 (1)解:如图所示:
(2)解:设y=kx+b(k≠0),
把(200,60)和(220,50)代入,
得 ,解得
∴y= x+160(170≤x≤240)
(3)解:w=x·y=x·( x+160)= x2+160x.
∴对称轴为直线x= =160,
∵a= <0,
∴在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.
故当x=170时,w有最大值,最大值为12750元
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.(2)设y与x的函数表达式为y=kx+b,再从表中选两个点(200,60),(220,50)代入函数解析式,得到一个关于k、b的二元一次方程组,解之即可得出答案,由题意即可求得自变量取值范围.(3)设日营业额为w,由w=xy==- x2+160x,再由二次函数图像性质即可求得答案.
23.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x= ,y= ,那么称点T是点A,B的融合点。
例如:A(-1,8),B(4,-2),当点T(x,y)满是x= =1,y= =2时,则点T(1,2)是点A,B的融合点,
(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点。
(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点。
①试确定y与x的关系式。
②若直线ET交x轴于点H,当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标。
【答案】 (1)解: =2, =4
∴点C(2,4)是点A,B的融合点
(2)解:①由融合点定义知x= ,得t=3x-3.
又∵y= ,得t=
∴3x-3= ,化简得y=2x-1.
②要使△DTH为直角三角形,可分三种情况讨论:[来源:学科网ZXXK]
(i)当∠THD=90°时,如图1所示,
设T(m,2m-1),则点E为(m,2m+3).
由点T是点E,D的融合点,
可得m= 或2m-1= ,
解得m= ,∴点E1( ,6).
(ii)当∠TDH=90°时,如图2所示,
则点T为(3,5).
由点T是点E,D的融合点,
可得点E2(6,15).
(iii)当∠HTD=90°时,该情况不存在.
综上所述,符合题意的点为E1( ,6),E2(6,15)
【考点】定义新运算
【解析】【分析】(1)由题中融合点的定义即可求得答案.
(2)①由题中融合点的定义可得y=2x-1,.
②结合题意分三种情况讨论:(ⅰ)∠THD=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅱ)∠TDH=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅲ)∠HTD=90°时,由题意知此种情况不存在.
24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F、G。
(1)求CD的长。
(2)若点M是线段AD的中点,求 的值。
(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?
【答案】 (1)解:∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠DAC= ∠BAC=30°.
在Rt△ADC中,DC=AC·tan30°=2
(2)解:易得,BC=6 ,BD=4 .
由DE∥AC,得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM.
∵AM=DM,
∴△DFM≌△AGM,
∴AG=DF.
由DE∥AC,得△BFE∽△BGA,
∴
∴
(3)解:∵∠CPG=60°,过C,P,G作外接圆,圆心为Q,
∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。
① 当⊙Q与DE相切时,如图1,
过Q点作QH⊥AC,
并延长HQ与DE交于点P,连结QC,QG
设⊙Q的半径QP=r则QH= r,r+ r=2 ,
解得r= .
∴CG= × =4,AG=2.
易知△DFM∽△AGM,可得 ,则
∴DM= .
② 当⊙Q经过点E时,如图2,
过C点作CK⊥AB,垂足为K.
设⊙Q的半径QC=QE=r,则QK=3 -r.
在Rt△EQK中,12+( -r)2=r2 , 解得r= ,
∴CG= × =
易知△DFM∽△AGM,可得DM=
③ 当⊙Q经过点D时,如图3,
此时点M与点G重合,
且恰好在点A处,可得DM=4 .
综上所述,当DM= 或
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