人教版九年级下册数学单元测试题（第28章） 16页

人教版九年级下册数学单元测试题（第28章）‎ ‎(考试时间：120分钟　满分：120分)‎ 分数：____________　‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子中正确的是 (　A　)‎ A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ ‎2．a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边的长，且a∶b∶c＝1∶∶，则cos B的值为 (　B　)‎ A． B． C． D． ‎3．如图，过点C(－2，5)的直线分别交坐标轴于A，B两点，且点A的坐标为(0，2)，则tan ∠OAB的值是 (　B　)‎ A． B． C． D． 第3题图 ‎4．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为(　C　)‎ A．4 B．2 C．2 D．2 5． 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB与CD相交于点F，若AB＝3，sin ∠CAB＝，则DF的长度是 ‎ ‎(　A　)‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎ 　第5题图 ‎6．★如图，斜坡AB长40米，其坡度i＝1 ∶0.75，BF⊥AF，斜坡AB正前方一座建筑物ME上悬挂了一幅巨型广告牌，小明在斜坡AB的中点C测得广告顶部M的仰角为26.6°，他沿坡面CA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续沿直线行走10米来到D处，在D处测得广告底部N点的仰角为50°，此时小明距大楼底端E处20米．已知B，C，A，D，M，N在同一平面内，F，A，D，E在同一条直线上，则广告牌的高度MN是(精确到1米，参考数据：sin 50°≈0.77，tan 50°≈1.19，sin 26.6°≈0.45，tan 26.6°≈0.50) (　B　)‎ A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 第6题图 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为__4__．‎ ‎8．已知＋＝0，那么∠A＋∠B＝__90°__．‎ ‎9．长为4 m的梯子搭在墙上，与地面的夹角为45°，作业时调整为60°，则梯子的顶端沿墙面升高的距离为__2(－)__m．(墙足够高)‎ ‎10．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“超爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为____.‎ ‎ 第10题图 ‎11．如图是某修路工人在修补道路时在前方立的警示标志的侧面示意图，已知BC＝BD＝80 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为__75.2__cm.(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈‎ ‎0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到0.1 cm)‎ ‎12．★已知菱形ABCD中，AB＝5，cos ∠ABC＝，AE⊥CD，垂足为E，点P在对角线BD上，当△APE是直角三角形时，其斜边长为__4或5或__.‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．(1)(新余期末)计算：‎ ‎2sin 45°＋(π－2)0－＋|－1|；‎ 解：原式＝2×＋1－3＋1‎ ‎＝＋1－3＋1‎ ‎＝2－2.‎ ‎(2)如图，求tan B.‎ 解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵AC2＝AB2－BC2，‎ ‎∴AC＝＝9，‎ ‎∴tan B＝＝.‎ ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝5，解这个直角三角形．‎ 解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°.‎ ‎∵sin B＝，∴sin 30°＝，∴AB＝10.‎ ‎∴BC＝＝＝5.‎ ‎15．在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且sin A，cos B是方程4x2－4x＋1＝0的实数根，试判断△ABC的形状．‎ 解：∵4x2－4x＋1＝0，‎ ‎∴(2x－1)2＝0，‎ ‎∴x1＝x2＝.‎ ‎∴sin A＝，cos B＝，‎ ‎∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝90°.‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎16．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图①，图②，图③中添画(工具只能使用无刻度直尺)射线OA，使tan ∠AOB的值分别为1，2，3.‎ 解：如图所示，射线OA即为所求．‎ ‎17．如图，某商场营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两侧的距离AC的长(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.515，cos 31°≈0.857，tan 31°≈0.60).‎ 解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ cos∠BAC＝，‎ ‎∴AC＝AB·cos ∠BAC≈12×0.857≈10.3(米)，‎ 即大厅两侧的距离AC的长约为10.3米．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.‎ ‎(1)求线段CD的长；‎ ‎(2)求cos ∠ABE的值．‎ 解：(1)在△ABC中，‎ ‎∵∠ACB＝90°，sin A＝＝，BC＝8，‎ ‎∴AB＝10.‎ ‎∵D是AB中点，‎ ‎∴CD＝AB＝5.‎ (2) 在Rt△ABC中，‎ ‎∵AB＝10，BC＝8，‎ ‎∴AC＝＝6，‎ ‎∵D是AB中点，‎ ‎∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC.‎ 即CD·BE＝·AC·BC.∴BE＝，‎ 在Rt△BDE中，cos ∠DBE＝＝＝.‎ ‎∴cos ∠ABE的值为.‎ ‎19．共享单车为大众出行提供了方便，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为0.3 m，BE＝0.4 m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9 m时骑着比较舒适，求此时CE的长．(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.41)‎ 解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，‎ 由题意可知MN＝0.3 m，当CN＝0.9 m时，CM＝0.6 m，‎ Rt△BCM中，∠ABE＝70°，‎ sin ∠ABE＝sin 70°＝≈0.94，即≈0.94，‎ 解得BC≈0.638.‎ CE＝BC－BE＝0.638－0.4＝0.238(m)≈0.24(m)＝24(cm).‎ ‎20．(成都中考)成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，‎ 某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．(结果精确到1米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40).‎ 解：过点D作DE⊥AB于E，‎ 在Rt△BDE中tan ∠BDE＝，‎ ‎∴DE＝＝＝152.5(米).‎ ‎∵△ADE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE＝DE＝152.5米，‎ ‎∵∠DCB＝∠CBE＝∠BED＝90°，‎ ‎∴四边形BCDE是矩形，∴DC＝BE＝61米，‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝213.5米≈214米．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．(赣州模拟)小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图①所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB＝OA＝25 cm，OE ‎⊥AD于点E，OE＝12.5 cm.‎ ‎(1)求∠OAE的度数；‎ ‎(2)若保持显示屏OB与底板OA的夹角的大小不变，将电脑平放在桌面上，如图②中的B′O′A所示，则显示屏顶部B′比原来的顶部B大约下降了多少厘米？(最后结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，≈1.41，≈1.73)‎ 解：(1)∵OE⊥AD于点E，OA＝OB＝25 cm，OE＝12.5 cm.‎ 在Rt△OEA中，sin ∠OAE＝＝＝，‎ ‎∴∠OAE＝30°.‎ ‎(2)过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，‎ 过点B′作B′F⊥AD，交AD的延长线于点F.‎ ‎∵∠BOA＝135°，∠AOE＝60°，∠MOE＝90°，‎ ‎∴∠BOH＝360°－∠BOA－∠AOE－∠MOE＝75°.‎ 在Rt△BOH中，∵sin ∠BOH＝，‎ ‎∴BH＝BO·sin ∠BOH＝25×sin 75°‎ ‎≈25×0.97‎ ‎＝24.25(cm).‎ ‎∵∠B′O′A＝135°，‎ ‎∴∠B′O′F＝45°.‎ 在Rt△B′O′F中，∵sin ∠B′O′F＝.‎ ‎∴B′F＝B′O′·sin 45°＝25×≈25×0.705＝17.625(cm).‎ ‎∴BH＋OE－B′F＝24.25＋12.5－17.625＝19.125≈19.1(cm).‎ 答：显示屏顶部B′比原来的顶部B大约下降了19.1 cm.‎ ‎22．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船和观测点D(A，B，D在直线MN上)，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A，B北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东15°方向．(说明：结果取整数．参考数据：≈1.41，≈1.73)‎ ‎(1)求巡逻船B与观测点D间的距离；‎ ‎(2)已知观测点D处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C有没有触礁的危险？并说明理由．‎ 解：(1)作CE⊥MN于E，‎ 则∠ACE＝30°，∠BCE＝45°，∠DCE＝15°，‎ ‎∴AE＝AC＝60，CE＝BE＝＝＝60，∠ABC＝45°，‎ ‎∴AB＝BE＋AE＝60＋60.‎ ‎∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE＝30°＋15°＝45°，∴∠ACD＝∠ABC.‎ ‎∵∠CAD＝∠BAC，∴△CAD∽△BAC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得AD＝120(－1)，‎ ‎∴BD＝AB－AD＝60＋60－120(－1)≈76(海里).‎ 答：巡逻船B与观测点D间的距离约是76海里．(2)没有触礁的危险，理由：‎ 作DF⊥BC于F，‎ ‎∵∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF＝BD＝×76＝38≈54(海里).‎ ‎∵54＞45，‎ ‎∴没有触礁的危险．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．如图①，将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C.动点P从点B出发沿折线BC－CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO－Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P，Q同时停止运动．‎ ‎(1)求OC，BC的长；‎ ‎(2)设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎(3)当P在OC上，Q在y轴上运动时，如图②，设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．‎ 解：(1)∵∠AOB＝60°，∴OA＝OB cos 60°＝，‎ ‎∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝30°，‎ ‎∴OC＝＝2，‎ ‎∵∠COB＝∠CBO＝30°，‎ ‎∴BC＝OC＝2.∴OC，BC的长都是2.‎ ‎(2)S与t的函数关系式为 S＝ ‎(3)(ⅰ)当MO＝MP时，∠MOP＝∠MPO＝30°，‎ ‎∴PQ⊥OQ，∴OP＝2OQ，∴4－t＝2(t－2)，∴t＝.‎ ‎(ⅱ)当OP＝OM时，过P作PN⊥OQ于N，‎ 则∠QPN＝45°，∴PN＝QN，‎ ‎∴(4－t)＝t－2－(4－t)，解得t＝2＋.‎ ‎(ⅲ)当OP＝PM时，PQ∥y轴，‎ 此时∠MOP＝∠OMP＝30°，∴∠MPO＝120°，‎ ‎∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；‎ 综上，当t＝或2＋时，△OPM为等腰三角形．‎