2019年云南省中考数学模拟试卷（一）含答案解析 27页

‎2019年云南省中考数学模拟试卷（一）‎ 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎1．|﹣2|的相反数是　 　．‎ ‎2．在函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎3．若x、y为实数，且|x+3|+=0，则 的值为　 　．‎ ‎4．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是　 　（只需添加一个即可）‎ ‎5．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 　．‎ ‎6．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）‎ ‎7．一个数用科学记数法表示为2.37×105，则这个数是（　　）‎ A．237 B．2370 C．23700 D．237000‎ ‎8．下列运算正确的是（　　）‎ A．3a+2a=5a2 B．3﹣3= C．2a2•a2=2a6 D．60=0‎ ‎9．在正方形，矩形，菱形，平行四边形，正五边形五个图形中，中心对称图形的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　）‎ A．（4，3） B．（3，4） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎11．下面空心圆柱形物体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．某鞋店一天卖出运动鞋12双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：则这12双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（　　）‎ 码（cm）‎ ‎23.5‎ ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ ‎25.5‎ 销售量（双）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5‎ ‎14．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠‎ BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=4，则AE的长为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9个小题，满分70分）‎ ‎15．先化简，再求值：（1+）÷，其中x=﹣1．‎ ‎16．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：AB=DE．‎ ‎17．当前，“校园ipad现象已经受到社会的广泛关注，某教学兴趣小组对”“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查．小文将调查数据作出如下不完整的整理：‎ 频数分布表 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎　 　‎ 无所谓 ‎　 　‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ ‎（1）请求出共调查了多少人；并把小文整理的图表补充完整；‎ ‎（2）小丽要将调查数据绘制成扇形统计图，则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度？‎ ‎（3）若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．‎ ‎18．学校运动会上，九（1）班啦啦队买了两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元．甲种矿泉水比乙种矿泉水多买20瓶，且乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．求甲、乙两种矿泉水的价格．‎ ‎19．有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．‎ ‎（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；‎ ‎（2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．‎ ‎20．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求0到2小时期间y随x的函数解析式；‎ ‎（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．‎ ‎22．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．‎ ‎（1）求证：FG=FB．‎ ‎（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．‎ ‎23．如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．‎ ‎（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；‎ ‎（3）是否存在点C，使△‎ ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎1．|﹣2|的相反数是　﹣2　．‎ ‎【考点】15：绝对值；14：相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．‎ ‎【解答】解：|﹣2|的相反数是-2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎2．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥1　．‎ ‎【考点】E4：函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，‎ 解得：x≥1．‎ 故答案为：x≥1．‎ ‎　‎ ‎3．若x、y为实数，且|x+3|+=0，则 的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值．‎ ‎【分析】首先根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+3=0，且y﹣3=0，‎ 解得x=﹣3，y=3．‎ 则原式=﹣1．‎ 故答案是：﹣1．‎ ‎　‎ ‎4．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是　∠ABC=90°　（只需添加一个即可）‎ ‎【考点】LF：正方形的判定；L5：平行四边形的性质．‎ ‎【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．‎ ‎【解答】解：条件为∠ABC=90°，‎ 理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ 故答案为：∠ABC=90°．[来源:学科网]‎ ‎　‎ ‎5．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．‎ ‎【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】‎ 把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．‎ ‎【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，‎ ‎∴代入得：，‎ 解得：b=2，c=3，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣（x﹣1）2+4，‎ 顶点坐标为（1，4），‎ 故答案为：（1，4）．‎ ‎　‎ ‎6．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　　．‎ ‎【考点】1E：有理数的乘方．‎ ‎【分析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．‎ ‎【解答】解：设M=1+5+52+53+…+52015，‎ 则5M=5+52+53+54…+52016，‎ 两式相减得：4M=52016﹣1，‎ 则M=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）‎ ‎7．一个数用科学记数法表示为2.37×105，则这个数是（　　）‎ A．237 B．2370 C．23700 D．237000‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．把2.37的小数点向右移动5位，求出这个数是多少即可．‎ ‎【解答】解：2.37×105=237000．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．下列运算正确的是（　　）‎ A．3a+2a=5a2 B．3﹣3= C．2a2•a2=2a6 D．60=0‎ ‎【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（A）原式=5a，故A不正确；‎ ‎（C）原式=2a4，故C不正确；‎ ‎（D）原式=1，故D不正确；‎ 故选（B）‎ ‎　‎ ‎9．在正方形，矩形，菱形，平行四边形，正五边形五个图形中，中心对称图形的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】R5：中心对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：正方形，是中心对称图形；‎ 矩形，是中心对称图形；‎ 菱形，是中心对称图形；‎ 平行四边形，是中心对称图形；‎ 正五边形，不是中心对称图形；‎ 综上所述，是中心对称图形的有4个．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　）‎ A．（4，3） B．（3，4） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．‎ ‎【解答】解：由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2，可得A点向上平移了3个单位，‎ 由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2，可得A点向右平移了2个单位，‎ 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移3个单位，再向右平移2个单位，‎ 所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B′的坐标为（1+2，1+3），即为（3，4）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．下面空心圆柱形物体的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找出从几何体的左边看所得到的视图即可．‎ ‎【解答】解：从几何体的左边看可得，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．如图，下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示（　　）[来源:Zxxk.Com]‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．，可得答案．‎ ‎【解答】解：由数周轴示的不等式的解集，得﹣1＜x≤2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎13．某鞋店一天卖出运动鞋12双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：则这12双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（　　）‎ 码（cm）‎ ‎23.5‎ ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ ‎25.5‎ 销售量（双）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5‎ ‎【考点】W5：众数；W4：中位数．‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：由表可知25出现次数最多，故众数为25；‎ ‎12个数据的中位数为第6、7个数据的平均数，故中位数为=25，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=4，则AE的长为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，得出∠1=∠3，于是得到∠2=∠‎ ‎3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．‎ ‎【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图 ‎∵AB=AF，AO平分∠BAD，‎ ‎∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AF∥BE，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴AB=EB，‎ ‎∵BO⊥AE，‎ ‎∴AO=OE，‎ 在Rt△AOB中，AO===，‎ ‎∴AE=2AO=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9个小题，满分70分）‎ ‎15．先化简，再求值：（1+）÷，其中x=﹣1．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=•=，‎ 当x=﹣1时，原式=．‎ ‎　‎ ‎16．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：AB=DE．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；JA：平行线的性质．‎ ‎【分析】首先利用平行线的性质可以得到∠A=∠EDF，∠F=∠BCA，由AD=CF可以得到AC=DF，然后就可以证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质即可求解．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥DE，‎ ‎∴∠A=∠EDF 而BC∥EF，‎ ‎∴∠F=∠BCA，‎ ‎∵AD=CF，‎ ‎∴AC=DF，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF，‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎　‎ ‎17．当前，“校园ipad现象已经受到社会的广泛关注，某教学兴趣小组对”“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查．小文将调查数据作出如下不完整的整理：‎ 频数分布表 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎　0.1　‎ 无所谓 ‎　5　‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ ‎（1）请求出共调查了多少人；并把小文整理的图表补充完整；‎ ‎（2）小丽要将调查数据绘制成扇形统计图，则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度？‎ ‎（3）若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．‎ ‎【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）首先用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数，然后求无所谓的人数和赞成的频率即可；‎ ‎（2）赞成的圆心角等于赞成的频率乘以360°即可；‎ ‎（3）根据题意列式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，[来源:学.科.网]‎ 故调查的人数为：40÷0.8=50人；‎ 无所谓的频数为：50﹣5﹣40=5人，‎ 赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8=0.1；‎ 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎0.1‎ 无所谓 ‎5‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ 统计图为：‎ 故答案为：5.0.1；‎ ‎（2）∵赞成的频率为：0.1，‎ ‎∴扇形图中“赞成”的圆心角是360°×0.1=36°；‎ ‎（3）0.8×3000=2400人，‎ 答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人．‎ ‎　‎ ‎18．学校运动会上，九（1）班啦啦队买了两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元．甲种矿泉水比乙种矿泉水多买20瓶，且乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．求甲、乙两种矿泉水的价格．‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用．‎ ‎【分析】设甲种矿泉水的价格为x元，则乙种矿泉水价格为1.5x，根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，列出分式方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：设甲种矿泉水的价格为x元，则乙种矿泉水价格为1.5x，‎ 由题意得：﹣=20，‎ 解得：x=2，‎ 经检验x=2是原分式方程的解，‎ 则1.5x=1.5×2=3，‎ 答：甲、乙两种矿泉水的价格分别是2元、3元．‎ ‎　‎ ‎19．有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．‎ ‎（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；‎ ‎（2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据概率公式可得；‎ ‎（2）先画树状图展示12种等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果，其中抽到数字“﹣1”的只有1种，‎ ‎∴抽到数字“﹣1”的概率为；‎ ‎（2）画树状图如下：‎ 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果，‎ ‎∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为．‎ ‎　‎ ‎20．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求0到2小时期间y随x的函数解析式；‎ ‎（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？‎ ‎【考点】GA：反比例函数的应用；FH：一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；‎ ‎（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得相应的自变量的值，根据有理数的减法，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当x=12时，y==20，B（12，20），‎ ‎∵AB段是恒温阶段，‎ ‎∴A（2，12），‎ 设函数解析式为y=kx+b，代入（0，10），和（2，20），得 ‎，解得，‎ ‎0到2小时期间y随x的函数解析式y=5x+10；‎ ‎（2）把y=15代入y=5x+10，即5x+10=15，解得x1=1，‎ 把y=15代入y=，即15=，解得x2=16，‎ ‎∴16﹣1=15，[来源:Zxxk.Com]‎ 答：恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．‎ ‎【考点】LA：菱形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；‎ ‎（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠CAB=∠ACB，‎ ‎∴AB=CB，‎ ‎∴▱ABCD是菱形．‎ ‎∴AC⊥BD；‎ ‎（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14，‎ ‎∴AO=14×=，‎ 在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14，‎ ‎∴AE=AB=16，‎ ‎∴OE=AE﹣AO=16﹣=．‎ ‎　‎ ‎22．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．‎ ‎（1）求证：FG=FB．‎ ‎（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．‎ ‎【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠OAB=∠OBA，根据切线的性质，可得∠FBG+OBA=90°，根据等式的性质，可得∠FGB=∠FBG，根据等腰三角形的判定，可得答案；‎ ‎（2）根据平行线的性质，可得∠ACF=∠F，根据等角的正切值相等，可得AE，根据勾股定理，可得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∵OA⊥CD，‎ ‎∴∠OAB+∠AGC=90°．‎ ‎∵FB与⊙O相切，‎ ‎∴∠FBO=90°，‎ ‎∴∠FBG+OBA=90°，‎ ‎∴AGC=∠FBG，‎ ‎∵∠AGC=∠FGB，‎ ‎∴∠FGB=∠FBG，‎ ‎∴FG=FB；‎ ‎（2）如图，‎ 设CD=a，‎ ‎∵OA⊥CD，‎ ‎∴CE=CD=a．‎ ‎∵AC∥BF，‎ ‎∴∠ACF=∠F，‎ ‎∵tan∠F=‎ tan∠ACF==，即=，‎ 解得AE=a，‎ 连接OC，OE=4﹣a，‎ ‎∵CE2+OE2=OC2，‎ ‎∴（a）2+（4﹣a）2=4，‎ 解得a=，‎ CD=．‎ ‎　‎ ‎23．如图，射线AM平行于射线BN，∠‎ B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．‎ ‎（1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）；‎ ‎（3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】KY：三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）先根据勾股定理得出AC，进而得出CD，最后用三角形的面积公式即可；‎ ‎（2）先判断出∠FDC=∠ACB，进而判断出△DFC∽△CBA，得出，即可求出DF，即可；‎ ‎（3）分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=4，BC=a，‎ ‎∴AC==，‎ ‎∴CD=AC=，‎ ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴S△ACD=AC•CD=‎ ‎（2）如图1，过点D作DF⊥BN于点F，‎ ‎∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°，‎ ‎∴∠FDC=∠ACB，‎ ‎∵∠B=∠DFC=90°，‎ ‎∴∠FDC=∠ACB，‎ ‎∵∠B=∠DFC=90°，‎ ‎∴△DFC∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=BC=a，‎ ‎∴D到射线BN的距离为a；‎ ‎（3）存在，①当EC=EA时，‎ ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴EC=EA=AD，‎ ‎∵AB∥CE∥DF，‎ ‎∴BC=FC=a，‎ 由（2）知，△DFC∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴FC=AB=2，‎ ‎∴a=2，‎ ‎②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵AM∥BN，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∴∠1=∠4，‎ 由（2）知，∠3=∠4，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠AGD=∠DFC=90°，‎ ‎∴△ADG∽△DCF，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD==，AG=a+2，CD=，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=4+8，‎ 即：满足条件的a的值为2或4+8．‎ ‎　‎